1、16.3 角的平分线角的平分线 学习目标：学习目标： 1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（难点） 2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.(重点） 3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线. 学习重点：学习重点：角平分线的性质定理及其逆定理. 学习难点：学习难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用. 一、一、知识链接知识链接 1.角是轴对称图形吗？你能确定角的对称轴吗？试着在下图中画出ABC 的对称轴. 二、二、新知预习新知预习 2.在一张半透明的纸上画出一个角（AOB） ，将纸对折，使得这个角的两边重合，从中你能得什么结论？ 答：_. 3.按照下图所示的过程，将你画
2、出的AOB，依照上述方法对折后；设折痕为直线 OC；再折纸，设折痕为直线 n，直线 n 与边 OA，OB 分别交于点 D，E，与折线 OC 交于点 P；将纸展开平铺后，猜想线段 PD 与线段 PE，线段 OD 与线段 OE 分别具有怎样的数量关系，并说明理由. 猜想：_. 自主学习自主学习 得出结论：_. 下面我们就来证明折纸过程中发现的结论： 已知：如图，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为 D，E. 求证：PD=PE. 证明：在_和_中， _, _. _. 于是我们得到角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离_. 3.我们已经学习过
3、线段垂直平分线的性质的逆命题是一个真命题 （定理） .角平分线的性质定理的逆命题呢？ （1）角平分线的性质定理的逆命题： _. （2）根据这个逆命题的内容，画出图形； （3）解题图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想； 猜想：_. （4）设法验证你的猜想； 已知：如图，P 是 OC 上任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为 D，E 且 PD=PE. 求证：OC 是AOB 的平分线 证明：在_和_中， _, _. _. 于是我们得到角平分线性质定理的逆命题是一个_命题. 即_. 三、三、自学自测自学自测 1.如图，已知ABC 的周长是 21，OB，OC 分别平分ABC 和ACB，ODBC 于
4、D，且 OD=4，ABC 的面积是_ 2.如图，在ABC 中，B=45，AD 是BAC 的角平分线，EF 垂直平分 AD，交 BC 的延长线于点 F则FAC=_ 四、我的疑惑四、我的疑惑 _ _ _ _ _ 一、一、要点探究要点探究 探究点探究点 1：角平分线的性质定理角平分线的性质定理 问题问题 1：如图：在ABC 中，C90，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，F 在 AC 上，BDDF.证明：(1)CFEB；(2)ABAF2EB. 合作探究合作探究 【归纳总结】【归纳总结】 角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据， 在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等 【针对训练】【针对训
5、练】 如图所示，D 是ABC 外角ACG 的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为 E，F.求证：CECF. 问题问题 2：如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E，SABC7，DE2，AB4，则 AC的长是( ) A6 B5 C4 D3 【归纳总结】【归纳总结】 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高， 再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法 【针对训练】【针对训练】 如图，OP 是MON 的角平分线，点 A 是 ON 上一点，作线段 OA 的垂直平分线交 OM 于点 B，过点 A 作 CAON 交 OP 于点 C， 连结 BC， AB=10 cm， CA=4
6、cm， 则OBC 的面积为 _cm2 探究点探究点 2：角平分线的性质定理的逆定理角平分线的性质定理的逆定理 问题问题 1： 如图，BECF，DEAB 的延长线于点 E，DFAC 于点 F，且 DBDC，求证：AD 是BAC 的平分线 【归纳总结】【归纳总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 【针对训练】【针对训练】 如图，已知：ABC 的ABC 和ACB 的外角平分线交于点 D.求证：AD 是BAC 的平分线 （提示：作辅助线如图所示） 问题问题 2：如图所示，ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线，DE
7、AB，DFAC，垂足分别是 E、F，下面给出四个结论，AD 平分EDF；AEAF；AD 上的点到 B、C 两点的距离相等；到 AE、AF 距离相等的点，到 DE、DF 的距离也相等其中正确的结论有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【归纳总结】【归纳总结】运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等 【针对训练】【针对训练】 如图，在ABC 中，C=90，AD 平分BAC，DEAB 于 E，则下列结论：DA 平分CDE；BAC=BDE； DE 平分ADB； BE+AC=AB； A， D 两点一定在线段 EC 的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
8、A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 探究点探究点 3：用尺规作已知角的角平分线用尺规作已知角的角平分线 问题：问题：如图，ABCD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 M.若ACD120，求MAB 的度数 【归纳总结】【归纳总结】通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确 AM 是BAC 的角平分线是解题的关键 【针对训练】【针对训练】 如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为 30 m，40 m，50 m，现要把它分成面积比为3:4:5
9、 的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹. 二、课堂小结二、课堂小结 内容 角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果点 P 在AOB 的平分线上，且 PDOA 于点 D，PEOB 于点 E，那么 PD_ 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边距离_的点在角的平分线上 如果点 P 为AOB 内一点，PDOA 于点 D，PEOB 于点 E，且PDPE，那么点 P 在AOB 的平分线上. 角平分线的作法 (1)作法：以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；分别以 M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧相交
10、在AOB 的内部于点 C；画射线 OC，射线 OC 即为所求(2)上述作角平分线的理论依据是_ 1. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是 E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= _度，BE=_ . 当堂检测当堂检测 2.ABC 中, C=90,AD 平分CAB,且 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的距离是_. 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC 的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 4.如图所示，已知ABC 中，PEAB 交 BC 于点 E，PFAC 交 BC 于点 F，点 P
11、 是 AD 上一点，且点 D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等，判断 AD 是否平分BAC，并说明理由 5.如图，已知ABC 的外角CBD 和BCE 的平分线相交于点 F， 求证：点 F 在DAE 的平分线上 当堂检测参考答案：当堂检测参考答案： 1.60 BF 2.3 3.A 4. 解：AD 平分BAC理由如下： D 到 PE 的距离与到 PF 的距离相等， 点 D 在EPF 的平分线上 12 又PEAB，13 同理，24 34，AD 平分BAC 5.过点 F 作 FGAE 于 G，FHAD 于 H，FMBC 于 M. 点 F 在BCE 的平分线上，FGAE， FMBC. FGFM. 又点 F 在CBD 的平分线上，FHAD， FMBC， FMFH，FGFH.点 F 在DAE 的平分线上. .