1、第二十八章锐角三角函数第二十八章锐角三角函数 测试测试 1 锐角三角函数定义锐角三角函数定义 学习要求学习要求 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1如图所示，B、B是MAN 的 AN 边上的任意两点，BCAM 于 C 点，BCAM 于 C点，则BAC_，从而，又可得 _，即在 RtABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与_的比是一个_值； _，即在 RtABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与_的比也是一个_； _，即在 RtABC 中(C90)，当A 确定时，它的_与_的比还是一个_
2、第 1 题图 2如图所示，在 RtABC 中，C90 第 2 题图 _， _； _， _； ACBABCCB)()(BACBBACACACB斜边)(sinA斜边)(sinB斜边)(cosA斜边)(cosB_， _ 3 因为对于锐角的每一个确定的值， sin、 cos、 tan分别都有_与它_， 所以 sin、cos、tan都是_又称为的_ 4在 RtABC 中，C90，若 a9，b12，则 c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 5在 RtABC 中，C90，若 a1，b3，则 c_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，ta
3、nB_ 6在 RtABC 中，B90，若 a16，c30，则 b_， sinA_，cosA_，tanA_， sinC_，cosC_，tanC_ 7在 RtABC 中，C90，若A30，则B_， sinA_，cosA_，tanA_， sinB_，cosB_，tanB_ 二、解答题二、解答题 8已知：如图，RtTNM 中，TMN90，MRTN 于 R 点，TN4，MN3 求：sinTMR、cosTMR、tanTMR 9已知 RtABC 中，求 AC、AB 和 cosB 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 的邻边AA)(tan)(tan的对边BB,12,43tan,90BCAC10已知：如图，RtAB
4、C 中，C90D 是 AC 边上一点，DEAB 于 E 点 DEAE12 求：sinB、cosB、tanB 11已知：如图，O 的半径 OA16cm，OCAB 于 C 点， 求：AB 及 OC 的长 12已知：O 中，OCAB 于 C 点，AB16cm， (1)求O 的半径 OA 的长及弦心距 OC； (2)求 cosAOC 及 tanAOC 13已知：如图，ABC 中，AC12cm，AB16cm， 43sinAOC53sinAOC31sin A(1)求 AB 边上的高 CD； (2)求ABC 的面积 S； (3)求 tanB 14已知：如图，ABC 中，AB9，BC6，ABC 的面积等于 9
5、，求 sinB 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 15已知：如图，RtABC 中，C90，按要求填空： (1) _； (2) b_，c_； (3) a_，b_； (4)_，_； (5) _，_； (6)3，_，_ ,sincaA cAca,sin,coscbA ,tanbaA ,23sinBBcosBtan,53cosBBsinAtanBtanBsinAsin16已知：如图，在直角坐标系 xOy 中，射线 OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点 O 为圆心， OA 长为半径画弧， 交 y 轴于 B 点， 交 OM 于 P 点， 作 CAx 轴交 OM 于 C 点 设XO
6、M 求：P 点和 C 点的坐标(用的三角函数表示) 17已知：如图，ABC 中，B30，P 为 AB 边上一点，PDBC 于 D (1)当 BPPA21 时，求 sin1、cos1、tan1； (2)当 BPPA12 时，求 sin1、cos1、tan1 测试测试 2 锐角三角函数锐角三角函数 学习要求学习要求 1掌握特殊角(30，45，60)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角 2初步了解锐角三角函数的一些性质 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1填表 锐角 30 45 60 sin cos tan 二、解答题二、解答题
7、2求下列各式的值 (1) (2)tan30sin60sin30 (3)cos453tan30cos302sin602tan45 (4) 3求适合下列条件的锐角 (1) (2) o45cos230sin245sin30cos30tan130sin145cos22221cos33tan(3) (4) 4用计算器求三角函数值(精确到 0.001) (1)sin23_； (2)tan545340_ 5用计算器求锐角(精确到 1) (1)若 cos0.6536，则_； (2)若 tan(210317)1.7515，则_ 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 6已知：如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于
8、E，BE16cm， 求此菱形的周长 7已知：如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5 求：sinACB 的值 222sin33)16cos(61312sin A 8已知：如图，RtABC 中，C90，BAC30，延长 CA 至 D 点，使 ADAB求： (1)D 及DBC； (2)tanD 及 tanDBC； (3)请用类似的方法，求 tan22.5 9已知：如图，RtABC 中，C90，作DAC30，AD 交 CB 于 D 点，求： (1)BAD； (2)sinBAD、cosBAD 和 tanBAD 10已知：如图ABC 中，D 为BC 中点，且BAD90，求：sinCAD、cos
9、CAD、tanCAD 3 BCAC31tanB 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 11已知：如图，AOB90，AOOB，C、D 是上的两点，AODAOC，求证： (1)0sinAOCsinAOD1； (2)1cosAOCcosAOD0； (3)锐角的正弦函数值随角度的增大而_； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而_ 12已知：如图，CAAO，E、F 是 AC 上的两点，AOFAOE (1)求证：tanAOFtanAOE； (2)锐角的正切函数值随角度的增大而_ 13已知：如图，RtABC 中，C90，求证： (1)sin2Acos2A1； (2) 14化简：(其中 090) 15(1)通过计
10、算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： sin30_2sin15cos15； sin36_2sin18cos18； sin45_2sin22.5cos22.5； sin60_2sin30cos30； sin80_2sin40cos40； sin90_2sin45cos45 猜想：若 045，则 sin2_2sincos (2)已知：如图，ABC 中，ABAC1，BAC2请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论 16已知：如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，交 AD 于 H 点在底边 BC保持不变的情况下，当高 AD 变长或变短时，ABC 和HB
11、C 的面积的积 SABCSHBC的值是否随着变化?请说明你的理由 AAAcossintancossin21测试测试 3 解直角三角形解直角三角形(一一) 学习要求学习要求 理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测课堂学习检测 一、填空题一、填空题 1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在 RtABC 中，C90，ACb，BCa，ABc， 第 1 题图 三边之间的等量关系： _ 两锐角之间的关系： _ 边与角之间的关系： _； _； _； _ 直角三角形中成比例的线段(如图所示) 第小题图 在 RtABC 中，C90，CDAB 于 D CD2
12、_；AC2_； BC2_；ACBC_ 直角三角形的主要线段(如图所示) BAcossinBAsincosBAtan1tanBAtantan1 第小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_，斜边的中点是_ 若 r 是 RtABC(C90)的内切圆半径，则 r_ 直角三角形的面积公式 在 RtABC 中，C90， SABC_(答案不唯一) 2关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_(其中至少_)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_或斜边和_)及已知一边和一个锐角(_和一个锐角或_和一个锐角) 3填写下表： 已知条件
13、解法 一条边和 斜边 c 和锐角A B_，a_，b_ 一个锐角 直角边 a 和锐角A B_，b_，c_ 两条边 两条直角边 a 和 b c_，由_求A，B_ 直角边 a 和斜边 c b_，由_求A，B_ 二、解答题二、解答题 4在 RtABC 中，C90 (1)已知：a35，求A、B，b； (2)已知：，求A、B，c； 235c32a2b (3)已知：，求 a、b； (4)已知：求 a、c； (5)已知：A60，ABC 的面积求 a、b、c 及B 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 5已知：如图，在半径为 R 的O 中，AOB2，OCAB 于 C 点 (1)求弦 AB 的长及弦心距； (2)求O
14、 的内接正 n 边形的边长 an及边心距 rn 6如图所示，图中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图中 AB、BC 两段)，其中 CC BB3.2m结合图中所给的信息，求两段楼梯 AB 与 BC 的长度之和(结果保留到 0.1m)(参考数据：sin300.50，cos300.87，sin350.57，cos350.82) 32sinA6c, 9,23tanbB, 312S 7如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为 20cm，台阶面的宽为 30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为 12的斜坡，设原台阶的起点为 A，斜
15、坡的起点为 C，求 AC 的长度(精确到 1cm) 拓展、探究、思考拓展、探究、思考 8如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为 3m，冬天太阳光与水平面的夹角为 30 (1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离 BD 至少为多少米?(保留根号) (2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离 BD21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层? 9王英同学从 A 地沿北偏西 60方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地多少距离?
16、10已知：如图，在高 2m，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数) 测试测试 4 解直角三角形解直角三角形(二二) 学习要求学习要求 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测课堂学习检测 1已知：如图，ABC 中，A30，B60，AC10cm 求 AB 及 BC 的长 2已知：如图，RtABC 中，D90，B45，ACD60BC10cm求 AD 的长 3已知：如图，ABC 中，A30，B135，AC10cm 求 AB 及 BC 的长 4已知：如图，RtABC 中，A30，C90，BDC60，BC6cm求 AD 的长 综合、运用、诊断综合、运用、诊断 5
17、 已知： 如图， 河旁有一座小山， 从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为 30， 测得岸边点 D 的俯角为 45，又知河宽 CD 为 50m 现需从山顶 A 到河对岸点 C 拉一条笔直的缆绳 AC， 求山的高度及缆绳 AC 的长(答案可带根号) 6已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得灯塔 M 在北偏西 45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少?(精确到 0.1 海里，) 7已知：如图，在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点
18、；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点已知BAC60，DAE45点 D 到地面的垂直距离，求点 B 到地面的垂直距离 BC 8已知：如图，小明准备测量学校旗杆 AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆 AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长 BC20m，斜坡坡面上的影长 CD8m，太阳光线AD 与水平地面成 26角，斜坡 CD 与水平地面所成的锐角为 30，求旗杆 AB 的高度(精确到 1m) 732. 13 m23DE 9已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚 A 沿坡角为 30的山坡 AB 行走 400m，到达一个景点 B，再由 B 地沿山坡 BC 行走
19、320 米到达山顶 C， 如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 60求山高 CD(精确到 0.01 米) 10 已知： 如图， 小明准备用如下方法测量路灯的高度： 他走到路灯旁的一个地方， 竖起一根 2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为 2m问路灯高度为多少米? 11已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地 A 出发，沿北偏东 60方向走了 500到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m，到达目的地 C 点求 (1)A、C 两地之间的距离； (2)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向? m3 12
20、已知：如图，在 1998 年特大洪水时期，要加固全长为 10000m 的河堤大堤高 5m，坝顶宽 4m，迎水坡和背水坡都是坡度为 11 的等腰梯形现要将大堤加高 1m，背水坡坡度改为 11.5已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石? 拓展拓展、探究、思考、探究、思考 13已知：如图，在ABC 中，ABc，ACb，锐角A (1)BC 的长； (2)ABC 的面积 14已知：如图，在ABC 中，ACb，BCa，锐角A，B (1)求 AB 的长； (2)求证： .sinsinba 15已知：如图，在 RtADC 中，D90，A，CBD，ABa用含 a 及、的三角
21、函数的式子表示 CD 的长 16已知：ABC 中，A30，AC10，求 AB 的长 17 已知： 四边形 ABCD 的两条对角线 AC、 BD 相交于 E 点， ACa， BDb， BEC(090)，求此四边形的面积 测试测试 5 综合测试综合测试 1计算 (1) (2) 25BC45tan260tan60cos260cos30cos60tan30tan45sin30sin22222已知：如图，ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，AB32，BC12 求：sinACD 及 AD 的长 3已知：RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D 点，AB2m，BDm1， (1)用含 m 的代数式表
22、示 BC； (2)求 m 的值； 4已知：如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC6，BE2EC，DMAE 于 M 点求 DM 的长 5已知：如图，四边形 ABCD 中，A45，C90，ABD75，DBC 30，AB2a求 BC 的长 54cos A 6已知：如图，四边形 ABCD 中，AC90，D60，AB3，求 BC 的长 7已知：如图，ABC 内接于O，BCm，锐角A， (1)求O 的半径 R； (2)求ABC 的面积的最大值 8已知：如图，矩形纸片 ABCD 中，BCm，将矩形的一角沿过点 B 的直线折叠，使 A 点落在 DC 边上，落点记为 A，折痕交 AD 于 E，若ABE 求证：
23、35AD2sincosmEB答案与提示答案与提示 第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 测试测试 1 1BAC，AB，AC ，对边，斜边，固定； ，邻边，斜边，固定值； ，对边，邻边，固定值 2A 的对边，B 的对边， A 的邻边，B 的邻边， A 的对边，B 的邻边， 3唯一确定的值，对应，的函数，锐角三角函数 4 5 6 7 8 9 10 11AB2AC2AOsinAOC24cm， 12 13(1)CDACsinA4cm；(2) ABBCABACACBC,ca;cb,cb;ca,baab34,53,54,43,54,53,15. 3,1010,10103,31,10103,101
24、0,10815,178,1715,158,1715,178,34. 3,21,23,33,23,21,60o37tantan,43coscos,47sinsinNTMRNTMRNTMR53cos,20,16BABAC. 2tan,55cos,552sinBBBcm7422ACOAOC43tan,54cos)2( ;cm332,cm340) 1 (AOCAOCOCOA;cm32212CDABS(3) 14 15(1) (2) (3) (4) (5) (6) 16P(cos，sin)，C(1，tan)提示：作 PDx 轴于 D 点 17(1) (2) 提示：作 AEBC 于 E，设 AP2 422
25、tan B31sin B;sin Aa;cos,cosAbAc;tan,tanAaAb; 3,21;43,541010,10103. 31tan,211cos,231sin,231tan,7721cos,7211sin测试测试 2 1 锐角 30 45 60 sin cos tan 1 2(1)0； (2) (3) (4) 3(1)60；(2)30；(3)22.5；(4)46 4(1)0.391；(2)1.423 5(1)491111；(2)245244 6104cm提示：设 DE12xcm，则得 AD13xcm，AE5xcm利用 BE16cm 列方程 8x16解得 x2 7提示：作 BDCA
26、 延长线于 D 点 8(1)D15，DBC75； (2) (3) 9(1)15； (2) 10提示：作 DEBA，交 AC 于 E 点，或延长 AD 至 F，使 DF AD，连结 CF 11提示：作 CEOA 于 E，作 DFOA 于 F (3)增大， (4)减小 12(2)增大 13提示：利用锐角三角函数定义证 14原式 212223232221333;123; 222325413,721; 32tan, 32tanDBCD. 125 .22tan. 32tan,426cos,426sinBADBADBAD23,13132,13133cossin2cossin22 15(1)略sin22si
27、ncos (2) sin22sincos 16不发生改变，设BAC2，BC2m，则 测试测试 3 1a2b2c2； AB90； ADBD，ADAB，BDBA，ABCD： 一半，它的外心，(或) 或(h 为斜边上的高)或或或 (r 为内切圆半径) 2两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边 390A，sinA，cosA； 4(1)A45，B45，b35； (2)A60，B30，c4； (3) (4) 2)cos(sin|cossin|).450(sincos),9045(cossin,2sin212sin12121BEACSABC,cossin21ADBDADBCSABC.)t
28、an(tan422mmmSSHBCABC;,abbacbca2cbacbaabab21ch21Abcsin21Bacsin21).(21cbar;sin,tan,90oAaAaA;90,tan,22AbaAbac.90,sin,22BcaAacb;52, 4ba;133, 6ca(5) 5(1)AB2Rsin，OCRcos； (2) 6AB6.40 米，BC5.61 米，ABBC12.0 米 7约为 222cm 8(1)米 (2)4 层，提示：设甲楼应建 x 层则 9 106 米 测试测试 4 1 2cm 3提示：作 CDAB 延长线于 D 点 4cm 5山高 6约为 27.3 海里 7 8约
29、为 17m，提示：分别延长 AD、BC，设交点为 E，作 DFCE 于 F 点 9约 477.13m 1010m 11(1)AC1 000m； (2)C 点在 A 点的北偏东 30方向上 12面积增加 24m2，需用 240 000m2土石 13(1)提示：作 CDAB 于 D 点，则 CDbsin， ADbcos再利用 BC2CD2DB2的关系，求出 BC .30,64,62,26BcbanRrnRann180cos,180sin2318.2130tan3xm3100cm3310,cm3320BCAB)3515(cm25;cm)535(BCAB34m)31 (50,m)31 (25ACm33
30、.cos222bccbBC(2) 14(1)ABbcosacos. 提示：作 CDAB 于 D 点 (2)提示：由 bsinCDasin可得 bsinasin，从而 15提示：ABADBDCD tan(90)CD tan(90) CDtan(90)tan(90) ， 或 16或提示：AB 边上的高 CD 的垂足 D 点可能在 AB 边上(这时 AB ，也可能在 AB 边的延长线上(这时) 17 测试测试 5 1(1) (2) 2 3(1)或 (2) 4 5提示：作 BEAD 于 E 点 6BC6提示：分别延长 AB、DC，设它们交于 E 点 7(1)提示：作O 的直径 BA ，连结 AC (2)提示：当 A 点在优弧 BC 上且 AOBC 时，ABC 有面积的最大值 8提示： abc sin21sinsinba)90tan()90tan(aCDtantantantanaCD535. 535)535535AB.sin21ab;23 25255,855sinADACD) 1(2mmBC56mBC725m518aBC2sin2mR2tan42m2sincossincoscosmBCABCBAEB