1、第22章二次函数一、选择题1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）A. B. C. D. 2. 抛物线y=（x+2）23的顶点坐标是（ ）A. （2，3）B. （2，3）C. （2，3）D. （2，3）3. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度4. 若二次函数yx22xm与x轴无交点，则一次函数y（m+1）x+m1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 抛物线y=2x2；y=2
2、（x+1）25；y=3（x+1）2；y=（x+1）25其中， 形状相同是（ ）A B. C. D. 6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A. b24acB. ac0C. 2ab=0D. ab+c=07. 下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）A. 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B. 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份变化关系C. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D. 圆周长与圆的半径之间的关系8. 将进价为 元/个的
3、某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（ ）A. B. C. D. 9. 若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则的值为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 010. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象如图所示，下列结论：ac0；当x1时，y随x的增大而减小；2a+b=0；b2-4ac0；4a-2b+c0，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题11. 写出经过点（0，0），（2，0）的一个二次函数的解析式_（写一个即可）12. 将抛物线y2x2平移，使顶
4、点移动到点P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h30t5t2，小球运动中的最大高度是_米14. 抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线_；再向_平移_个单位长度得到抛物线 15. 如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为_16. 如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_17. 已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论： ； ； ，其中正确的结论有_（填序号）
5、18. 抛物线y=x+2x-3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，如图在这个新图象上有一点P，能使得SABP=6，则点P的坐标为_.三、解答题19. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 位于点 的左侧）， 为顶点，直线 经过点 ，与 轴交于点 （1）求线段 的长；（2）沿直线 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点 在反比例函数 的图象上求新抛物线对应的函数表达式20. 为了“创建文明城市，建设美丽台州”，我市某社区将辖区内一块不超过1000平方米的区域进行美化经调查，美化面积为100平方米时，
6、每平方米的费用为300元每增加1平方米，每平方米的费用下降0.2元。设美化面积增加x平方米，美化所需总费用为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为多少元；（3）当美化面积增加多少平方米时，美化所需费用最高?最高费用是多少元?21. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB4米，顶部C离地面高度为4.4米现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点
7、B的坐标；（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围23. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请
8、说明理由第22章二次函数一、选择题1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如( a0)的函数叫二次函数，直接判断即可【详解】解：A、符合二次函数的定义，本选项符合题意；B、是一次函数，不符合题意；C、是反比例函数，不符合题意；D、不是二次函数，不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键2. 抛物线y=（x+2）23的顶点坐标是（ ）A. （2，3）B. （2，3）C. （2，3）D. （2，3）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的性质，直接可得结果；【详解】抛物线y=（x+
9、2）23为抛物线解析式的顶点式，抛物线顶点坐标是（2，3）故选：D【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键3. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ）A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键4.
10、 若二次函数yx22xm与x轴无交点，则一次函数y（m+1）x+m1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先根据判别式的意义得到（2）24（m）0，解得m1，然后根据一次函数的性质进行判断【详解】二次函数yx22xm与x轴无交点，（2）24（m）0，解得m1，m+10，m10，一次函数y（m+1）x+m1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限故选A【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了一次函数的性质5. 抛物线y=2x2
11、；y=2（x+1）25；y=3（x+1）2；y=（x+1）25其中， 形状相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可以二次函数中的二次项系数相同，则形状相同，从而可以解答本题【详解】解：y=2x2 的二次项系数是 2，y=2（x+1）25 的二次项系数是 2，y=3（x+1）2 的二次项系数是 3，y=（x+1）25 的二次项系数是 1，y=2x2 与 y=2（x+1）25 的形状相同， 故选A【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答6. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的
12、对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（）A. b24acB. ac0C. 2ab=0D. ab+c=0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】抛物线与x轴有两个交点，即，所以A选项错误；抛物线开口向上，a0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，ac0，所以B选项错误；二次函数图象的对称轴是直线x=1，所以C选项错误；抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），所以D选项正确；故选D【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键7. 下列函数关系中，可以看作二次函数（）
13、模型的是（）A. 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B. 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C. 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D. 圆的周长与圆的半径之间的关系【答案】C【解析】【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2r，是正比例函数，错误，故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键.8. 将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已
14、知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由售价为x元/个，则可表示出此时一个的利润及销售数量，根据利润为9000元，可列方程【详解】解：设售价为x元，则（x90）50010（x100）9000，故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，由售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解9. 若抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则的值为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 0【答案】A【解析】【分析】因为这个抛物线过点A(m，n)，B(m+6，n)，可以直接看出对称轴是
15、直线x=m+3，故设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，直接将A(m，n)代入，所以n=3【详解】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m+6，n)，该抛物线的对称轴是直线：x=m+3，设抛物线解析式为y=(x-m-3)2，把A(m，n)代入，得n=(m-m-3)2，解得n=9故选A【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键10. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：ac0；当x1时，y随x的增大而减小；2a+b=0；b2-4ac0；4a-2b+c0，其中正确的个数是（
16、）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a0、c0，进而可得出ac0，结论错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x1时，y随x的增大而增大，结论错误；由抛物线对称轴为直线x=1，即可得出b=-2a，进而可得出2a+b=0，结论正确；由a0、c0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）0，结论错误；由当x=-2时，y0可得出4a-2b+c0，结论正确综上即可得出结论【详解】解：抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，a0，c0，ac0，结论错误；抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，当x1时，y
17、随x的增大而增大，结论错误；抛物线对称轴为直线x=1，b=-2a，2a+b=0，结论正确；a0，c0，b=-2a，b2-3ac=4a2-3ac=a（4a-3c）0，结论错误；当x=-2时，y0，4a-2b+c0，结论正确故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键二、填空题11. 写出经过点（0，0），（2，0）的一个二次函数的解析式_（写一个即可）【答案】yx2+2x（答案不唯一）【解析】【分析】设此二次函数的解析式为yax（x+2），令a1即可【详解】抛物线过点（0，0），（2，0），可设此二次函数的解析式为yax（x+2），把a
18、1代入，得yx2+2x故答案为yx2+2x（答案不唯一）【点睛】本题考查是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一12. 将抛物线y2x2平移，使顶点移动到点P（3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_【答案】y2（x+3）2+1【解析】【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式【详解】抛物线y2x2平移，使顶点移到点P（3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y2（x+3）2+1故答案为y2（x+3）2+1【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
19、原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h30t5t2，小球运动中的最大高度是_米【答案】45【解析】【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h30t5t2的顶点坐标即可【详解】解：h5t2+30t5（t26t+9）+455（t3）2+45，a50，图象的开口向下，有最大值， 当t3时，h最大值45故答案为：45【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果14.
20、抛物线 向上平移 个单位长度，得到抛物线_；再向_平移_个单位长度得到抛物线 【答案】 . . 下 . 5#五【解析】【分析】根据二次函数的平移规则，即可得到答案【详解】解：抛物线向上平移4个单位长度得到抛物线，再向下平移5个单位长度得到抛物线 故答案为：；下；5【点睛】本题考查了二次函数的平移规则，解题的关键是掌握平移的规则15. 如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为_【答案】0【解析】【分析】根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为，代入解析式求解即可；【详解】如解图，设抛物线与轴的另一个交点是，抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与轴的一个交点是，与轴
21、的另一个交点，把(，0)代入解析式得：，故答案为：0【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，准确分析计算是解题的关键16. 如图，RtOAB的顶点A（2，4）在抛物线y=ax2上，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_【答案】（，2）【解析】【详解】点A（2，4）在抛物线y=ax2上，解得：，将RtOAB绕点O顺时针旋转90，得到OCD，当y=2时，解得：或（舍去），点P的坐标故答案为：（，2）17. 已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论： ； ； ，其中正确的结论有_（填序号）【答案】【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称
22、轴、与x轴、y轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可【详解】解：由图可知，x1时，a+b+c0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，故正确；抛物线开口向下，a0，抛物线对称轴为直线x1，b2a0，故错误；综上所述，结论正确的是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数yax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定18. 抛物线y=x+2x-3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，如图在这个新图象上有一点P，能使得SABP=6，则点P的坐
23、标为_.【答案】（- 1+，3）或（-1-，3）或（-2,3）或（0，3）【解析】【分析】先求出A，B两点的坐标，从而求出AB的长，再根据面积计算公式列方程 求解即可.【详解】把y=0代入y=x+ 2x -3得x+2x-3=0，解得x=-3,x=1A（-3,0），B（1,0），AB=4.y=x+2x-3=(x+1)-4,M（-1，-4）将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，此时向上翻折部分的抛物线的顶点坐标为（-1，4）由于抛物线翻折，开口方向改变，形状不变，则向上翻折部分抛物线的式为y=-（x+1）+4= -x-2x+3（-3x1）设点P的横坐标为a，当点P在原抛物线y=x+2x-3上时（x
24、轴上方的部分），可得4(a+2a-3)=6，解得a=-1+，a=-1-,P（-1+，3）P（-1-，3），当点P在新抛物线y=-x-2x+3上时（x轴上方的部分），可得4(-a-2a+3)=6，解得a=-2，a=0，P（-2,3），P(0,3).综上，点P的坐标为（-1+，3）或（-1-，3）或（-2，3）或(0，3).【点睛】本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想三、解答题19. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 位于点 的左侧）， 为顶点，直线 经过点 ，与 轴交于点 （1）求线段 的长；（2）沿直线 方向平移该抛物线
25、得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 ，若点 在反比例函数 的图象上求新抛物线对应的函数表达式【答案】（1） （2）新抛物线对应的函数表达式为：或【解析】【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式，得到点D的坐标，再根据勾股定理计算即可；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：，可得C（m，n），根据题意求出直线CC的解析式，然后把点C分别代入直线CC的解析式和反比例函数 的解析式中计算即可【小问1详解】解：由得，点A位于点B的左侧，A（2，0），直线yxm经过点A，2m0，解得：m2，直线AD解析式为：yx2，点D的坐标为（0，2），AD；小问2详解】设新抛物线对应
26、的函数表达式为：，C（m，n），由题意得：CC平行于直线AD，且经过C（0，4），直线CC的解析式为：yx4，nm4，点C在反比例函数的图象上，解得：或，新抛物线对应的函数表达式为或，新抛物线对应的函数表达式为：或【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键20. 为了“创建文明城市，建设美丽台州”，我市某社区将辖区内一块不超过1000平方米的区域进行美化经调查，美化面积为100平方米时，每平方米的费用为300元每增加1平方米，每平方米的
27、费用下降0.2元。设美化面积增加x平方米，美化所需总费用为y元（1）求y与x的函数关系式；（2）当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为多少元；（3）当美化面积增加多少平方米时，美化所需费用最高?最高费用是多少元?【答案】（1）；（2）当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为56000元；（3）当美化面积增加700平方米时，费用最高，最高为128000元【解析】【分析】（1）设美化面积增加x平方米，所以美化面积为100+x;每平方米的费用为300元，每增加1平方米，每平方米的费用下降0.2元，所以每平方米的费用为（300-0.2x）元，故总费用y与美化面积增加x的关系式为再化简即可；（
28、2）把x=100代入解析式即可求解；（3）代入顶点坐标公式：当，y取最大值求解即可【详解】（1）依题意得：故y与x的函数关系式为：（2）令x=100代入，得y=56000.所以当当美化面积增加100平方米时，美化的总费用为56000元（3）因此当时，费用最高，最高为128000元【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题关键在于理解题意列出二次函数的解析式，再利用二次函数的最值解决生活中的最值问题21. 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB4米，顶部C离地面高度为4.4米现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米请通过计算，判断这辆汽车能否顺
29、利通过大门？【答案】这辆汽车正好可以通过大门【解析】【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可如果设C点是原点，抛物线的对称轴为y轴，过点C且垂直于对称轴的直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么可得A、 B两点的坐标；可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得函数解析式，那么大门顶部宽2.4米的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8（米），因此这辆汽车正好可以通过大门【详解】设C点是原点，抛物线的对称轴为y轴，过点C且垂直于对称轴的直线为x轴，建立
30、平面直角坐标系，如图所示，则 A（-2，-4.4），B（2，-4.4），设这个函数为y=kx2，将A的坐标代入，得y=-1.1x2，E、F两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，将x=1.2代入函数式，得y-1.6，GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8（米），因此这辆汽车正好可以通过大门【点睛】本题是二次函数的实际应用，考查了求二次函数解析式，关键是建立适当的平面直角坐标系，求得二次函数解析式22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P(0，2)，Q，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数
31、图象，求a的取值范围【答案】（1）；（2）点B的坐标为；（3）或【解析】【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；（2）先求出点A坐标，再求出其对称性即可求解；（3）根据题意作图，根据函数图象的性质即可求解【详解】解：（1）由抛物线，可知抛物线的对称轴为直线（2）抛物线与y轴交于点A，令x=0，y=1点A的坐标为点B是点A关于直线的对称点， 点B的坐标为（3）点A ，点B ，点 P，点Q，点 P在点A 的上方，点Q在直线上 当时，点Q在点A的右侧（i）如图1，当，即时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；（ii）如图2，当，即时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，结合函数
32、图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点当时，点Q在点B的左侧（i）如图3，当，即时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；（ii）如图4，当，即时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点 综上所述，a的取值范围是或【点睛】此题主要考查二次函数的图象综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意画图求解23. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，
33、当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）t=或2；（3）存在，t=， N（2，-3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：当QPB90时；当PQB90时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可（3）首先延
34、长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可【详解】（1）二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，解得：，二次函数解析式是：（2），点C的坐标是（0，3），BC=，设BC所在的直线的解析式是：，则：，解得：，BC所在的直线的解析式是：，经过t秒，AP=t，BQ=t，点P的坐标是（t1，0），设点Q的坐标是（x，y），OB=OC=3，OBC=OCB=45，则y=-tsin45=-t，BP=tcos45=t，x=3t，点Q的坐标是（3t，-t），如图1，当QPB=90时，点P和点Q的横
35、坐标相同，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，-t），t1=3t，解得t=2，即当t=2时，BPQ为直角三角形；如图2，当PQB=90时，PBQ=45，BP=BQ，BP=3（t1）=4t，BQ=t，4t=，即4t=2t，解得t=，即当t=时，BPQ为直角三角形综上，可得当BPQ为直角三角形，t=或2（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，设PQ所在的直线的解析式是，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，-t），解得：，PQ所在的直线的解析式是，点M的坐标是（0，），=-，PQ的中点H的坐标是（1，-），假设PQ的中点恰为MN的中点，120=2，-=，点N的坐标是
36、（2，），又点N在抛物线上，=，点N的坐标是（2，-3），解得t=或t=，t2，t=当t2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上是否存在一点N（2，-3），使得PQ的中点恰为MN的中点【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握