1、28.5 弧长和扇形面积的计算弧长和扇形面积的计算 学习目标：学习目标： 1.理解并掌握扇形的弧长的计算公式并会进行计算. 2.理解并掌握扇形的面积的计算公式并会进行计算. 3 能够根据圆锥侧面展开图进行相关计算. 学习重点：学习重点：扇形的弧长和面积的计算公式的推导. 学习难点：学习难点：扇形的弧长和面积的计算公式的运用. 一、知识链接一、知识链接 1.圆的半径为 r，则圆的周长公式为_,圆的面积公式为_. 2.弧是圆的一部分，弧分为_和_. 二、新知预习二、新知预习 3.【概念学习】一条弧和经过这条弧两个端点的半径所组成的图形叫做扇形扇形.如图，在同一圆中，一个扇形对应一个圆心角，反过来一
2、个圆心角对应一个扇形. 4.扇形的面积如何计算呢？ 已知半径为 r 的O，它的周长为 2r，面积为r2，圆心角为 360. 按下表给定的圆心角，计算所对的弧长及扇形的面积，填写下表： 给定的圆心角 180 90 1 n 占整个圆的比例 21360180 36090=41 所对的弧长 2r2=r ？ 自主学习自主学习 扇形的面积 r22 ？ 【归纳】【归纳】设 n圆心角所对的弧的长度为 l,所对扇形的面积为 S,则 l=_. S=_或_. 5.【概念学习】圆锥的相关概念 (1)我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线（如图 PA） ,圆锥的顶点与地面圆心之间的线段叫做圆锥的高
3、（如图 PO） . (2)我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样的道理，要求圆锥的侧面积，需沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个_. (3)设圆锥的母线长为 L，底面圆的半径为 r，如图所示，那么这个扇形的半径即为圆锥的母线长为_，这个扇形的弧长是圆锥地面圆的_. 三、自学自测三、自学自测 1.已知扇形的圆心角为 120，半径为 2，则这个扇形的面积 S扇形=_ . 2.已知扇形面积为13 ，圆心角为 60，则这个扇形的半径 R=_ 四、我的疑惑四、我的疑惑 _ _ _ 一、一、要点探究要点探究 探究点探究点 1：扇形的：扇形的面积及弧长面积及弧长
4、 （一）扇形的弧长（一）扇形的弧长 例例 1：在半径为 1cm 的圆中，圆心角为 120 的扇形的弧长是_cm. 【归纳总结】【归纳总结】半径为 r 的圆中，n 的圆心角所对的弧长为 lnR180，要求出弧长关键弄清 公式中各项字母的含义 【针对训练】【针对训练】 如图，O 的半径为 6cm，直线 AB 是O 的切线，切点为点 B，弦 BCAO.若A30 ，合作探究合作探究 则劣弧BC的长为_cm. 例例 2：如图， RtABC的边BC位于直线l上，AC 3， ACB90， A30.若 RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转， 当点A第 3 次落在直线l上时， 点A所经过的路线的长为_(结果用
5、含的式子表示) 【归纳总结】【归纳总结】此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长 【针对训练】【针对训练】 1.如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿直线 l 向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动 6次后，正方形的中心 O 经过的路线长是_cm.(结果保留 ) （二）（二）扇形的面积扇形的面积 例 3：指一个扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的面积为_(结果保留) 【归纳总结】【归纳总结】公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个扇形面积还有另外一种求法S12lr，其中l是弧长，r是半径
6、 【针对训练】【针对训练】 2.如图，把一个斜边长为 2 且含有 30角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转 90到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( ) A B. 3 C.3432 D.111234 例例 4：如图，半径为 1cm、圆心角为 90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) Acm2 B.23cm2 C.12cm2 D.23cm2 【归纳总结】【归纳总结】求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算 【针对训练】【针对训练】 3.如图，矩形 ABCD 中，AB1cm
7、，BC2cm，以 B 为圆心，BC 为半径作圆弧交 AD 于F，交 BA 延长线于 E，求扇形 BCE 被矩形所截剩余部分的面积 探究点探究点 2：圆锥侧面展开图的相关计算：圆锥侧面展开图的相关计算 例例 5：小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为 9cm，母线长为 30cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( ) A270cm2 B540cm2 C135cm2 D216cm2 【归纳总结】【归纳总结】 把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤， 体现了空间图形和平面图形的转化思想 同时还应抓住两个对应关系， 即圆锥的底面周长对应着扇形的
8、弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决 例例 6： 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面， 已知扇形的半径为 5cm， 弧长是 6cm，那么这个圆锥的高是( ) A4cm B6cm C8cm D2cm 【归纳总结】【归纳总结】1.圆锥的母线长为扇形的半径；2.圆锥的底面圆周长为扇形的弧长 【针对训练】【针对训练】 4.圆锥的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则此圆锥的高线为（ ） A6cm B8cm C10cm D12cm 5.一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( ) A120 B180 C240 D300 6.在半径为
9、 50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，用剩余部分制作成一个底面直径为 80cm，母线长为 50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A228 B144 C72 D36 7.圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为 58cm，高 为 20cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到 0.1cm2） 二、课堂小结二、课堂小结 内容 运用策略 弧长公式 n的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 为_. 在弧长公式_中有三个量，l，n，R，已知其中的任意两个量即可求第三个量 扇形面积扇形面积 圆心角为 n 的扇形面积公式是_;扇形
10、面积的另一计算公式是_. 扇形的面积公式可以与三角形的面积公 式 类 比 记 忆 ， 扇 环 的 面 积_,其中_分别为两个扇环的弧长， _为两个扇形的半径差 圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长 l，底面圆的半径为 r，因此圆锥的侧面积为_ ， 圆 锥 的 全 面 积 为_. 在计算圆锥的侧面积时候，要注意各元素之间的对应关系，千万不要错认为圆锥底面圆的半径等于扇形半径或把母线长当成扇形的弧长. 几种常见于扇形相关的阴影部分面积的求法 1.(1)已知扇形的圆心角为 45，弧长等于2，则该扇形的半径是_； (2)如果一个扇形的半径是 1，弧长是3，那么此扇形的圆心角的大
11、小为_ 2.已知扇形的面积为 12，半径等于 6，则它的圆心角等于_ 3.有一个底面半径为 3cm、母线长为 10cm 的圆锥，则其侧面积是_cm2. 4.如果一个扇形的半径是 1，弧长是3，那么此扇形的圆心角的大小为( ) 当堂检测当堂检测 A30 B45 C60 D90 5.如图所示的 5 个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从 A 点到 B点， 甲虫沿弧 ADA1， 弧 A1EA2， 弧 A2FA3， 弧 A3GB 的路线爬行， 乙虫沿弧 ACB 的路爬行，则下列结论正确的是( ) A甲先到 B 点 B乙先到 B 点 C甲、乙同时到 B 点 D无法确定 6.某校编排的
12、一个舞蹈需要五把和图 1 形状大小完全相同的绸扇 学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成图 2 所示的一朵圆形的花请你算一算：再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布？(单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果用含 的式子表示) 7.如图，一个圆锥的高为 3 3cm，侧面展开图是半圆 求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比； (2)BAC 的度数； (3)圆锥的侧面积(结果保留 ) 当堂检测参考答案：当堂检测参考答案： 1.（1）2 （2）60 2.120 3.30 4.C 5.C 6.三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆，所以可得扇形的圆心角为 120 ， 因为大扇形的半径为 30cm， 则 S大扇形nr2360120302360300， S小扇形nr236012012236048， S绸面S大扇形S小扇形30048252， 所以，两把绸扇所需的绸布面积是 2S绸面2252504(cm2) 7.(1)设此圆锥的高为 h，底面半径为 r，母线长 ACl. 2rl，lr2. (2)lr2，AOBC， 圆锥高与母线的夹角为 30 ，则BAC60 . (3)由图可知 l2h2r2，h3 3cm， (2r)2(3 3)2r2，即 4r227r2， 解得 r3(cm)l2r6(cm) 圆锥的侧面积为1223618(cm2)