1、28.4 垂径定理垂径定理* 学习目标：学习目标： 1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. 2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. 学习重点：学习重点：垂径定理及其推论的推导. 学习难点：学习难点：垂径定理及其推论的运用. 一、知识链接一、知识链接 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦_，所对的弧也_. 2.圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_. 3.半圆（或直径）所对的圆周角是_,90 的圆周角所对的弦是_. 二、新知预习二、新知预习 3.如图，在O 中，CD 为直径，AB 为弦，且 CDAB，垂足为 E.如果将O 沿 CD 所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？ 答
2、：_. 我们发现：垂直于弦的直径_这条弦，并且_这条弦所对的两条弧.这就是垂径定垂径定理理. 4.如图，在O 中直径 CD 与弦 AB（非直径）相交于点 E. 自主学习自主学习 （1）若 AE=BE，能判断除 CD 与 AB 垂直吗？AD与BD（AD或BC）相等吗？ 答：_. （2）若AD=BD（或AC=BC） ，能判断 CD 与 AB 垂直吗？AE 与 BE 相等吗？ 答：_. 于是我们得到垂径定理的推论：_. 三、自学自测三、自学自测 1下列说法正确的是( ) A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线一定经过圆心 C弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，并且经过圆心 D弦的垂线
3、平分弦所对的弧 2 如图， O 的直径为 10， 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3， 那么弦 AB 的长是 （ ） A4 B6 C7 D8 四、我的疑惑四、我的疑惑 _ _ _ 一、一、要点探究要点探究 合作探究合作探究 探究点探究点 1：垂径定理及其应用：垂径定理及其应用 问题问题 1：如图所示，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD6cm，则直径 AB 的长是( ) A2 3cm B3 2cm C4 2cm D4 3cm 【归纳总结】【归纳总结】我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应 用勾股定理解决问题 【针
4、对训练】【针对训练】 如图，O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（ ） A2 3cm B3 2cm C4 2cm D4 3cm 问题问题 2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB)，点 O 是这段弧的圆心，C 是AB上一点，OCAB，垂足为 D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是_m. 【归纳总结】【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答 【针对训练】【针对训练】 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm，则这个小圆孔
5、的宽口 AB 的长度为_mm. 探究点探究点 2：垂径定理的推论：垂径定理的推论 问题：问题：如图所示，O 的弦 AB、AC 的夹角为 50 ，M、N 分别是AB、AC的中点，则MON的度数是( ) A100 B110 C120 D130 【归纳总结】【归纳总结】将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答 【针对训练】【针对训练】 如图，点 A、B 是O 上两点，AB10cm，点 P 是O 上的动点(与 A、B 不重合)，连接 AP、BP，过点 O 分别作 OEAP 于 E，OFPB 于 F，求 EF 的长 二、课堂小结二、课堂小结 内容 运用策略 垂径定理 垂
6、直于弦的直径_这条弦， 并且_这条弦所对的两条弧. 垂径定理是这么么线段、 弧相等的重要条件， 同时也为圆的计算和作图问题提供了思考垂径定理的平分弦（非直径）的直径_弦，并且推论 _所对的两条弧 方法和理论依据. 简记口诀：圆形奇妙对称性，中点垂直必共存， 辅助线从圆心发， 有弦就作弦心距， 再连半径成斜边，构造直角三角形. 垂径定理的推广 如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个， 那么它一定满足其余三个条件： 直线过圆心； 直线垂直于弦；直线平分弦； 直线平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧. 1.如图，AB 是O的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论一定正确的个数有C
7、EDE；BEOE；CBBD；CABDAB；ACAD( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2.如图，在 5 5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A点 P B点 Q C点 R D点 M 3.如图， AB 是O 的弦， OCAB 于点 C 若 AB2 3， OC1， 则半径 OB 的长为_ 当堂检测当堂检测 4.如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为 12m，拱顶高出水面 4m. (1)求这座拱桥所在圆的半径 (2)现有一艘宽 5m，船舱顶部为正方形并高出水面 3.6m 的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由 5.
8、如图，O 的直径为 10cm，弦 AB8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围 当堂检测参考答案：当堂检测参考答案： 1.A 2. B 3.2 4.(1)连接 OA， 根据题意得 CD4m，AB12m，则 AD12AB6m. 设这座拱桥所在圆的半径为 xm， 则 OAOCxm，ODOCCD(x4) m， 在 Rt AOD 中，OA2OD2AD2， 则 x2(x4)262， 解得 x6.5， 故这座拱桥所在圆的半径为 6.5m. (2)货船不能顺利通过这座拱桥 理由：连接 OM. OCMN，MN5m， MH12MN2.5m. 在 Rt OMH 中，OH OM2MH26(m)， ODOCCD6.542.5(m)， OHOD62.53.5(m)3.6m. 货船不能顺利通过这座拱桥 5.作直径 MN弦 AB，交 AB 于点 D，由垂径定理，得 ADDB12AB4cm.又O 的直径为 10cm， 连接 OA， OA5cm.在 Rt AOD 中， 由勾股定理， 得 OD OA2AD23cm.垂线段最短，半径最长，OP 的长度范围是 3OP5(单位：cm)