1、11.2.1三角形的内角题型一：与平行线有关的三角形内角和问题【例题1】（2021山东泰安中考真题）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（）ABCD变式训练【变式1-1】（2020辽宁沈阳中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（）A65B55C45D35【变式1-2】（2019湖北襄阳中考真题）如图，直线，于点，若，则的度数是（）ABCD【变式1-3】（2014四川德阳中考真题）如图，直线ab，A=38，1=46，则ACB的度数是（）A84B106C96D104题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题【例题2】（2020辽宁锦州中考真
2、题）如图，在中，平分，则的度数是（）ABCD变式训练【变式2-1】（2015四川绵阳中考真题）如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线BE，CD相交于点F，ABC42，A60，则BFC的度数为（）A118B119C120D121【变式2-2】（2020莆田第七中学月考）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分DCE交DE于点F，（1）求证：CFAB，（2）求DFC的度数题型三：与折叠有关的三角形内角和问题【例题3】（2022海南海口七年级期末）如图，把ABC纸片沿MN折叠，使点C落在ABC内部点C处，若C=36，则1+2等于（）A54B62C72D76变式训练【变式3-1】（2022福
3、建泉州七年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得，则为（）A7B6.5C6D5.5【变式3-2】（2022江苏八年级）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”在三角形纸片ABC中，C100，AB，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处设BEDx，则能使BED和CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（）A10B25C30D70【变式3-3】（2022河南南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片中，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处若，则的度数为（）A115B100C105D95题型四：三角形内角和的实际应
4、用【例题4】（2020全国课时练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40的N处，则N处与灯塔P的 距离为A40海里B60海里C70海里D80海里变式训练【变式4-1】（2020石嘴山市第八中学期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2的度数为（）A115B120C145D135【变式4-2】（2020全国期中）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得A60，B75，则这个三角形残缺前的C的度数为（）A75B60C45D40【变式4-3】（2020河南周口市期末）如图，C岛在A岛的北偏东45方向
5、，在B岛的北偏西25方向，则从C岛看A，B两岛的视角ACB_.题型五：直角三角形的两个锐角互余【例题5】（2020山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD中，CDAB，ACBC，若B50，则DCA等于（ ）A30B35C40D45变式训练【变式5-1】（2020全国专题练习）如图，在ABC中，B = 60，C = 40，AE平分BAC，ADBC，垂足为点D，那么DAE =_度【变式5-2】（2020陆丰市甲东中学月考）若直角三角形中两个锐角的差为20，则这两个锐角的度数分别是_【变式5-3】（2020广东东莞市开学考试）如图，ACBC于点C，DEBE于点E，BC平分ABE，BDE=58，则A
6、=_题型六：三角形内角和的综合计算【例题6】（2020上海市静安区实验中学课时练习）已知：如图，在ABC中，AABCACB=345，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求BHC的度数变式训练【变式6-1】（2020全国单元测试）如图，已知EFGH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分DAC，直线DB平分FBC，若ACB=100，则DBA的度数为_ 【变式6-2】（2020广东东莞市虎门成才实验学校月考）如图，在ABC中，C=ABC=2A，BD于AC于D，求DBC的度数【变式6-3】（2020全国期中）如图，在ABC中，B=40，C=80，AD
7、是BC边上的高，AE平分BAC，（1）求BAE的度数；（2）求DAE的度数题型七：体验真题【真题1】（2022甘肃兰州中考真题）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，垂足为C若，则（）A52B45C38D26【真题2】（2022河北中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案、，说法正确的是（）A可行、不可行B不可行、可行C、都可行D、都不可行【真题3】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）在中，为边上的高，则是_度【真题4】（2022湖南中考真题）如图，已知直线，则_【真题5】（2
8、022北京中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作11.2.1三角形的内角题型一：与平行线有关的三角形内角和问题【例题1】（2021山东泰安中考真题）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（）ABCD【答案】D【分析】根据角平分线的定义求出6和7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出3，8，2的度数，最后利用邻补角互补求出4和5的度数【详解】首先根据三角尺的直角被直线m平分，6
9、=7=45；A、1=60，6=45，8=180-1-6=180-60-45=75，mn，2=8=75结论正确，选项不合题意；B、7=45，mn，3=7=45，结论正确，选项不合题意；C、8=75，4=180-8=180-75=105，结论正确，选项不合题意；D、7=45，5=180-7=180-45=135，结论错误，选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补变式训练【变式1-1】（2020辽宁沈阳中考真题）如图，直线，且于点，若，则的度数为（）A65B55C4
10、5D35【答案】B【分析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键【变式1-2】（2019湖北襄阳中考真题）如图，直线，于点，若，则的度数是（）ABCD【答案】B【分析】先在直角CBD中可求得DBC的度数，然后平行线的性质可求得1的度数.【详解】解：于点，即直线，故选B【点睛】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键.【变式1-3】（2014四川德阳中考真题）如图，直线ab，A=38，1=46，则ACB的度数是（）A84B1
11、06C96D104【答案】C【详解】ab，ABC=1=46，A=38，ACB=180AABC=1803846=96故选C题型二：与角平分线有关的三角形内角和问题【例题2】（2020辽宁锦州中考真题）如图，在中，平分，则的度数是（）ABCD【答案】C【分析】在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数【详解】在中，平分故选C【点睛】本题考查了三角形的内角和和角平分线的性质，熟练应用性质是解决问题的关键变式训练【变式2-1】（2015四川绵阳中考真题）如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线BE，CD相交于点F，ABC42，A60，则BFC的度数为（）
12、A118B119C120D121【答案】C【分析】由三角形内角和定理得ABCACB120，由角平分线的性质得CBEBCD60，再利用三角形的内角和定理得结果【详解】解：A60，ABCACB120，ABC，ACB的平分线BE，CD相交于点F，CBEABC，BCDBCA，CBEBCD（ABCBCA）60，BFC18060120，故选：C【点睛】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案【变式2-2】（2020莆田第七中学月考）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分DCE交DE于点F，（1）求证：CFAB，（2）求DFC的度数【答案】（
13、1）证明见解析；（2）105【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得1=45，再有3=45，再根据内错角相等两直线平行可判定出ABCF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可【详解】解：（1）证明：CF平分DCE，1=2=DCEDCE=90，1=453=45，1=3ABCF（2）D=30，1=45，DFC=1803045=105【点睛】本题考查平行线的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是本题的解题关键题型三：与折叠有关的三角形内角和问题【例题3】（2022海南海口七年级期末）如图，把ABC纸片沿MN折叠，使点C落在ABC内部点C处，若C=36，则1+2等于（）A54B
14、62C72D76【答案】C【分析】根据折叠可知C=，四边形内角和为360，即可求出+，用平角的定义即可求出1+2【详解】CMN折叠得到C=1=180-，2=180-1+2=180-+180-=360-（+）+=360-C-=360-36-36=2881+2=360-288=72故选：C【点睛】本题主要考查了折叠问题，掌握三角形的内角和定理，四边形的内角和以及平角的定义是解题的关键变式训练【变式3-1】（2022福建泉州七年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得，则为（）A7B6.5C6D5.5【答案】C【分析】由折叠的性质可得A=F，ADE=FDE
15、，FED=AED，先求出，利用三角形内角和定理分别求出AED和DEC即可得到答案【详解】解：由折叠的性质可得A=F，ADE=FDE，FED=AED，1=50，ADF=180-1=130，2=152，FGD=180-2=28，F=180-ADF-FGD=22，FED=AED=180-F-ADE=93，DEG=180-AED=87，AEC=AED-DEG=6，故选C【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键【变式3-2】（2022江苏八年级）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”在三角形纸片ABC中，C100，AB，将纸片沿着
16、EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处设BEDx，则能使BED和CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（）A10B25C30D70【答案】A【分析】先由三角形内角和定理求得AB40，再由折叠性质求得EDFA40，最后由“准直角三角形”定义求解即可【详解】解：C100，AB，AB40，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，EDFA40，当BED为“准直角三角形”时，2DEB+B90或DEB+2B90，2x+4090或x+24090，x25或x10，当x25时，即DEB25，CDEDEB+B65，CDFCDEEDF25，CFD180CCDF55，此时2CDF+CFD105，2CFD+C
17、DF135，CDF不是“准直角三角形”；当x10时，即DEB10，CDEDEB+B50，CDFCDEEDF10，CFD180CCDF70，此时2CDF+CFD90，CDF是“准直角三角形”；综上所述，能使BED和CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，故选：A【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键【变式3-3】（2022河南南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片中，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处若，则的度数为（）A115B100C105D95【答案】C【分析】在ABC中利用三角形内角和定理可求出C的度数，由
18、折叠的性质，可知：CDECDE，CEDCED，结合2的度数可求出CED的度数，在CDE中利用三角形内角和定理可求出CDE的度数，再由1180CDECDE即可求出结论【详解】解：在ABC中，A65，B75，C180AB40由折叠，可知：CDECDE，CEDCED，CED102.5，CDE180CEDC37.5，1180CDECDE1802CDE105故选：C【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出CDE的度数是解题的关键题型四：三角形内角和的实际应用【例题4】（2020全国课时练习）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70方向的M处， 它以每小时40海里
19、的速度向正北方向航行，2小时后到 达位于灯塔P的北偏东40的N处，则N处与灯塔P的 距离为A40海里B60海里C70海里D80海里【答案】D【详解】分析：依题意，知MN40海里/小时2小时80海里，根据方向角的意义和平行的性质，M70，N40，根据三角形内角和定理得MPN70MMPN70NPNM80海里故选D变式训练【变式4-1】（2020石嘴山市第八中学期末）把一块直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2的度数为（）A115B120C145D135【答案】D【分析】由三角形的内角和等于180，即可求得3的度数，又由邻补角定义，求得4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得2的度数【详
20、解】在RtABC中，A=90，1=45（已知），3=90-1=45（三角形的内角和定理），4=180-3=135（平角定义），EFMN（已知），2=4=135（两直线平行，同位角相等）故选D【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用【变式4-2】（2020全国期中）一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得A60，B75，则这个三角形残缺前的C的度数为（）A75B60C45D40【答案】C【分析】利用三角形内角和定理求解即可.【详解】因为三角形内角和为180，且A = 60，B = 75，所以C=1806075=45.【变式4-3】（2020
21、河南周口市期末）如图，C岛在A岛的北偏东45方向，在B岛的北偏西25方向，则从C岛看A，B两岛的视角ACB_.【答案】70【详解】连接ABC岛在A岛的北偏东45方向，在B岛的北偏25方向，CAB+ABC=180-（45+25）=110，三角形内角和是180，ACB=180-（CAB+ABC）=180-110=70题型五：直角三角形的两个锐角互余【例题5】（2020山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD中，CDAB，ACBC，若B50，则DCA等于（ ）A30B35C40D45【答案】C【详解】由ACBC可得ACB90，又B50，根据直角三角形两个锐角互余可得CAB40，再根据平行线的性质可
22、得DCACAB40【解答】解：ACBC，ACB90，又B50，CAB90B40，CDAB，DCACAB40故选：C【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出CAB的度数是解答本题的关键变式训练【变式5-1】（2020全国专题练习）如图，在ABC中，B = 60，C = 40，AE平分BAC，ADBC，垂足为点D，那么DAE =_度【答案】10【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180，角平分线平分角的度数解答即可【详解】因为，在ABC中，B = 60，C = 40，所以BAC=180-60-40=80，因为AE平分BAC，所以BAE=
23、CAE=40，又因为在ACD中，ADBC，C=40，所以CAD=50，所以DAE=CAD-CAE=50-40=10【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度【变式5-2】（2020陆丰市甲东中学月考）若直角三角形中两个锐角的差为20，则这两个锐角的度数分别是_【答案】 35和55【分析】本题考查的是直角三角形的性质根据直角三角形中两个锐角互余，且差为20，即可得到结果【详解】设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是，直角三角形的两个锐角互余，解得，这两个锐角的度数分别为和【变式5-3】（2020广东东莞市开学考试）如图，ACBC于点C，DEBE于点E，BC平分ABE，BDE=58，则A=_【
24、答案】58.【详解】试题解析：BC平分ABE，ABC=DBE，ACBC，DEBE，A+ABC=90，BDE+DBE=90，A=BDE=58故答案为58题型六：三角形内角和的综合计算【例题6】（2020上海市静安区实验中学课时练习）已知：如图，在ABC中，AABCACB=345，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求BHC的度数【答案】135【分析】先设A=3x，ABC=4x，ACB=5x，再结合三角形内角和等于180，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出A，ABC，ACB，在ABD中，利用三角形内角和定理，可求ABD，再利用三角形外角性质，可求出BHC【详解】解
25、：在ABC中，A：ABC：ACB=3：4：5，故设A=3x，ABC=4x，ACB=5x在ABC中，A+ABC+ACB=180，3x+4x+5x=180， 解得x=15， A=3x=45BD，CE分别是边AC，AB上的高，ADB=90，BEC=90，在ABD中，ABD=180-ADB-A=180-90-45=45，BHC=ABD+BEC=45+90=135【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和变式训练【变式6-1】（2020全国单元测试）如图，已知EFGH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上
26、的两点，延长AM于点C，AB平分DAC，直线DB平分FBC，若ACB=100，则DBA的度数为_ 【答案】50【详解】解：如图，设DAB=BAC=x，即1=2=xEFGH，2=3在ABC内，4=180ACB13=180ACB2x=802x直线BD平分FBC，5=（1804）=（18080+2x）=50+x，DBA=180345=180x（802x）（50+x）=180x80+2x50x=50故答案为50【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键【变式6-2】（2020广东东莞市虎门成才实验学校月考）如图，在ABC中，C=A
27、BC=2A，BD于AC于D，求DBC的度数【答案】【分析】根据三角形的内角和定理与C=ABC=2A，即可求得ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得DBC的度数【详解】解：C=ABC=2A，C+ABC+A=5A=180，A=36C=ABC=2A=72BDAC，DBC=90-C=18【点睛】本题考查三角形内角和定理的运用，关键是掌握三角形内角和定理：三角形的内角和是180【变式6-3】（2020全国期中）如图，在ABC中，B=40，C=80，AD是BC边上的高，AE平分BAC，（1）求BAE的度数；（2）求DAE的度数【答案】(1) BAE=30 ；(2) EAD=20.【详解】
28、分析：（1）由三角形内角和为180结合已知条件易得BAC=60，再结合AE平分BAC即可得到BAE=30；（2）由AD是ABC的高可得ADB=90，结合ABC=40可得BAD=50，再结合BAE=30即可解得DAE=20.详解：（1）在ABC中，ABC=40，ACB=80，BAC=180-40-80=60，AE平分BAC，BAE=30；（2）AD是ABC的高，ADB=90，BAD=180-90-40=50，DAE=BAD-BAE=50-30=20.【点睛】这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉“三角形内角和为180，三角形高的定义和三角形角平分线的定义”是解答本题的关键.题型七：体验真题【真
29、题1】（2022甘肃兰州中考真题）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，垂足为C若，则（）A52B45C38D26【答案】C【分析】根据平行线的性质可得ABC=52，根据垂直定义可得ACB=90，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答【详解】解：ab，1=ABC=52，ACb，ACB=90，2=90-ABC=38，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键【真题2】（2022河北中考真题）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案、，说法
30、正确的是（）A可行、不可行B不可行、可行C、都可行D、都不可行【答案】C【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案和的结果是否等于夹角，即可判断正误【详解】方案：如下图，即为所要测量的角故方案可行方案：如下图，即为所要测量的角在中：则：故方案可行故选：C【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明【真题3】（2022黑龙江哈尔滨中考真题）在中，为边上的高，则是_度【答案】40或80#80或40【分析】根据题意，由于类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：高在三角形内部，
31、如图所示：在中，为边上的高，；高在三角形边上，如图所示：可知，故此种情况不存在，舍弃；高在三角形外部，如图所示：在中，为边上的高，；综上所述：或，故答案为：或【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键【真题4】（2022湖南中考真题）如图，已知直线，则_【答案】#35度【分析】由平行线的性质可得，再由对顶角相等得，再由三角形的内角和即可求解【详解】解：如图，故答案为：【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等【真题5】（2022北京中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180，已知：如图，,求证：方法一证明：如图，过点A作方法二证明：如图，过点C作【答案】答案见解析【分析】选择方法一，过点作，依据平行线的性质，即可得到，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为【详解】证明：过点作，则， 两直线平行，内错角相等）点，在同一条直线上，（平角的定义） 即三角形的内角和为【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键