1、11.2.2 三角形的外角三角形的外角 题型一：题型一：三角形外角的概念三角形外角的概念 【例题 1】 如图, BEC 是哪个三角形的外角？AEC 是哪些三角形的外角？EFD 是哪些三角形的外角？ 题型二：三角形外角性质的直接计算题型二：三角形外角性质的直接计算 【例题【例题 2】（2022 湖北恩施 八年级期末）如图，ABC 中，60BAC，外角110ACD，则B的大小是（ ） A60 B50 C40 D30 变式训练变式训练 【变式 2-1】 （2021 广西河池 中考真题）如图，40A，CBD是ABC的外角，120CBD，则C的大小是（ ） A90 B80 C60 D40 【变式 2-2
2、】（2021 广西南宁 八年级期中）如图，在ABC中，55A，45B ，那么ACD的度数为（ ） A90 B80 C100 D110 连接 CE若C20 ，AEC50 ，则A（ ） A10 B20 C30 D40 题型三：三角形外角性质的应用题型三：三角形外角性质的应用 【例题【例题 3】（2022 浙江绍兴 八年级期末）如图，两根竹竿 AB和 DB 斜靠在墙 CE上，量得CAB33 ，CDB=21 ，则ABD 的度数为 _ 变式训练变式训练 【变式 3-1】（2022 福建莆田 七年级期末）共享单车带你绿色出行图 1 所示的是共享单车的实物图，图2 是抽象出来的部分示意图 已知直线 EF 与
3、 BD相交于点 P，AB/CD，20P ，100CFP， 则ABP的大小为_ 【变式 3-2】（2022 江苏苏州 七年级期末）如图，小明在用量角器度量AOB的大小时，将边 OB放在 0刻度线上，但是顶点 O放在中心点的右侧，此时边 OA 过 50 刻度线，则AOB_50 （选填“”） 【变式 3-3】（2022 河南洛阳 七年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性
4、质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和 （即如图 1，ADB=A+B+C）理由如下： 方法一：如图 2，连结 AB，则在ABC中，C+CAB+CBA=180 ， 即1+2+3+4+C=180 ， 又：在ABD中，1+2+ADB=180 ， ADB=3+4+C，即ADB=CAD+CBD+C 方法二：如图 3，连结 CD并延长至 F， 1 和3 分别是ACD和BCD的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分 题型四：三角形外
5、角性质与三角板的综合题型四：三角形外角性质与三角板的综合 【例题 4】（2022 海南海口 七年级期末）一副三角板按图所示方式叠放，若 FEBC，则等于（ ） A75 B95 C105 D115 变式训练变式训练 【变式 4-1】（2022 重庆忠县 七年级期末）设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的 A、E、D、F点，如果C90 ，B30 ，BAF15 ，那么CDE( ) A35 B40 C45 D50 【变式 4-2】（2022 内蒙古鄂尔多斯 八年级期末）将一副三角板如图放置，若AE/BC，则AFD的度数为（ ） A85 B75 C45 D15 【变式 4-3】（2022 山东 烟
6、台市福山区教学研究中心七年级期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC上，BCEF，则ADE 的度数为（ ） A80 B75 C70 D60 题型五：三角形外角和题型五：三角形外角和 【例题五】（2020 安庆期中）通常把一个多边形每一个顶点处的一个外角的和叫做多边形的外角和试证明三角形的外角和等于 3600 已知：如图1、2、3 是ABC 的三个外角 求证： 证明： 【变式 5-1】（2020 苏州新草桥中学七年级月考）如图：A+B+C+D+E+F 等于（ ） A180 B360 C270 D540 题型题型六六：体验真题体验真题 【真题 1】（2022 辽宁 中考真题）如图
7、，直线/a b，将含30角的直角三角板30ABCABC按图中位置摆放，若1110 ，则2的度数为（ ） A30 B36 C40 D50 【真题 2】（2022 四川德阳 中考真题）如图，直线mn，1 100 ，230 ，则3 （ ） A70 B110 C130 D150 【真题 3】（2021 辽宁本溪 中考真题）一副三角板如图所示摆放，若1 80 ，则2的度数是（ ） A80 B95 C100 D110 【真题 4】 （2021 内蒙古鄂尔多斯 中考真题）一块含30角的直角三角板和直尺如图放置，若1 146 33 ，则2的度数为（ ） A64 27 B63 27 C64 33 D63 33
8、11.2.2 三角形的外角三角形的外角 题型一：三角形外角的概念题型一：三角形外角的概念 【例题 1】 如图, BEC 是哪个三角形的外角？AEC 是哪些三角形的外角？EFD 是哪些三角形的外角？ 【详解】BEC 是AEC 的外角;AEC 是BEC、BEC 的外角；EFD 是BEF 和DCF 的外角. 【点睛】角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线. 题型二：三角形外角性质的直接计算题型二：三角形外角性质的直接计算 【例题【例题 2】（2022 湖北恩施 八年级期末）如图，ABC 中，60BAC，外角110ACD，则B的大小是（ ） A60 B50 C40 D30 【答案】
9、B 【分析】由BAC，ACD的度数，利用三角形的外角等于两不相邻的内角和即可求出B 的度数 【详解】解：BAC=60 ，ACD=110 ， B=ACD-BAC=50 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键 变式训练变式训练 【变式 2-1】 （2021 广西河池 中考真题）如图，40A，CBD是ABC的外角，120CBD，则C的大小是（ ） A90 B80 C60 D40 【答案】B 【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可 【详解】CBD是ABC的外角，40A，120CBD， CBDAC 1204080CCBDA 故选 B 【点睛】本题考查了三角形外角
10、的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键 【变式 2-2】（2021 广西南宁 八年级期中）如图，在ABC中，55A，45B ，那么ACD的度数为（ ） A90 B80 C100 D110 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可求解 【详解】解：在ABC中，55A，45B ， 由三角形的外角的性质可知，5545100ACDAB 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键 【变式 2-3】 （2022 浙江杭州 中考真题）如图，已知ABCD，点 E在线段 AD上（不与点 A，点 D重合），连接 CE若C20 ，AEC5
11、0 ，则A（ ） A10 B20 C30 D40 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可； 【详解】解：C+DAEC， D=AEC-C50 -20 =30 ， ABCD， AD=30 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键 题型三：三角形外角性质的应用题型三：三角形外角性质的应用 【例题【例题 3】（2022 浙江绍兴 八年级期末）如图，两根竹竿 AB和 DB 斜靠在墙 CE上，量得CAB33 ，CDB=21 ，则ABD 的度数为 _ 【答案】12 #12 度 【分析】根据三角形的外角的性质可得CABAB
12、DCDB，得到答案 【详解】解：CAB是ABD 的外角，CAB33 ，CDB21 ， 则CABABDCDB， ABDCABCDB12 ， 故答案为：12 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键 变式训练变式训练 【变式 3-1】（2022 福建莆田 七年级期末）共享单车带你绿色出行图 1 所示的是共享单车的实物图，图2 是抽象出来的部分示意图 已知直线 EF 与 BD相交于点 P，AB/CD，20P ，100CFP， 则ABP的大小为_ 【答案】80 #80 度 【分析】由平行线的性质得到AEP=100 ，再由三角形外角定理即可求解
13、 【详解】解：ABCD，CFP=100 ， AEP=CFP=100 ， AEP=ABP+P，P=20 ， ABP=AEP- -P=100- -20 =80 ， 故答案为：80 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键 【变式 3-2】（2022 江苏苏州 七年级期末）如图，小明在用量角器度量AOB的大小时，将边 OB放在 0刻度线上，但是顶点 O放在中心点的右侧，此时边 OA 过 50 刻度线，则AOB_50 （选填“”） 【答案】 【分析】如图，记量角器的中心点为 H，连接 HA，由50 ,AHOAOB?靶是AOH的外角，从而可得答案 【详解】解：如图，记量角器
14、的中心点为 H，连接 HA， 50 ,AHOAOB?靶Q是AOH的外角， ,AOBAHO ? 即50 ,AOB? 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角大于和它的不相邻的任何一个内角”是解本题的关键 【变式 3-3】（2022 河南洛阳 七年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和
15、 （即如图 1，ADB=A+B+C）理由如下： 方法一：如图 2，连结 AB，则在ABC中，C+CAB+CBA=180 ， 即1+2+3+4+C=180 ， 又：在ABD中，1+2+ADB=180 ， ADB=3+4+C，即ADB=CAD+CBD+C 方法二：如图 3，连结 CD并延长至 F， 1 和3 分别是ACD和BCD的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【分析】（1）根据解
16、题过程作答即可； （2）连结 CD并延长至 F，由三角形外角的性质即可证明 (1) 由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； (2) 连结 CD 并延长至 F， 1 和3 分别是ACD和BCD的一个外角， 12,34AB ， 1324AB ，即ADBAACBB 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键 题型四：三角形外角性质与三角板的综合题型四：三角形外角性质与三角板的综合 【例题 4】（2022 海南海口 七年级期末）一副三角板按图所示方式叠放，若 FEBC，则等于（ ） A
17、75 B95 C105 D115 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到30EAC，再根据三角形外角的性质即可得到所求的角度数 【详解】解：如图所示： FEBC， 30EAC， 180 ,90FAEBAC ， 180903060FAB， 在45的三角板DEF中，45F， 是AGF的一个外角， 4560105FFAB ， 故选：C 【点睛】本题考查的是求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角板的特殊性，用到的知识点为：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和 变式训练变式训练 【变式 4-1】（2022 重庆忠县 七年级期末）设三角形 ABC 与某长方形相交于如图所示的 A、
18、E、D、F点，如果C90 ，B30 ，BAF15 ，那么CDE( ) A35 B40 C45 D50 【答案】C 【分析】根据三角形外角性质求出45CFABBAF ，根据长方形的性质得出DEAF，根据平行线的性质得出CDECFA，再得出答案即可 【详解】解：B=30 ，BAF=15 ， CFA=B+BAF=30 +15 =45 DEAF， CDE=CFA=45 故选：C 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，能根据平行线的同位角相等得出CDECFA是解此题的关键 【变式 4-2】（2022 内蒙古鄂尔多斯 八年级期末）将一副三角板如图放置，若AE/BC，则AFD的度数为（
19、） A85 B75 C45 D15 【答案】B 【分析】先根据两直线平行，求出BAE的度数，再根据三角板90BAC，求出EAF的度数，有三角板得知45E，进而根据三角形外角和定理求得AFD的度数 【详解】/,60AE BCB 120BAE（两直线平行，同旁内角互补） 又90BAC 30EAF 45E 453075AFDEEAF 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解决本题的关键是性质和定理的合理应用 【变式 4-3】（2022 山东 烟台市福山区教学研究中心七年级期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点 D 在边 AC上，BCEF，则ADE 的度数为（ ） A80 B7
20、5 C70 D60 【答案】B 【分析】根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得CDH，利用平角为180即可求解 【详解】解：设DFBC、交于点 H /BC EF FDHB 45CCDH 30C 15CDH 180901575ADE 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系 题型五：三角形外角和题型五：三角形外角和 【例题五】（2020 安庆期中）通常把一个多边形每一个顶点处的一个外角的和叫做多边形的外角和试证明三角形的外角和等于 3600 已知：如图1、2、3 是ABC 的三个外角 求证： 证明： 【答案】1
21、+2+3=3600 【分析】 要求证1+2+3=360 ， 根据三角形外角性质得到1=ABC+ACB， 2=BAC+ACB， 3=BAC+ABC，则1+2+3=2（BAC+ABC+ACB），然后根据三角形内角和定理即可得到结论 【详解】 证明：1+2+3=3600 1=ABC+ACB 2=BAC+ACB 3=BAC+ABC 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 1+2+3=2（BAC+ABC+ACB）（等式性质） BAC+ABC+ACB=1800三角形内角和定理， 1+2+3=3600. 【点睛】本题考查了三角形的外角和为 360 也考查了三角形内角和定理和外角性质 【变式 5-1】（
22、2020 苏州新草桥中学七年级月考）如图：A+B+C+D+E+F 等于（ ） A180 B360 C270 D540 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角，用AGE 表示出A，B；用EMC 表示出E，F；用CNA 表示出C，D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可. 【详解】 解： 如图： AGE 是ABG 的外角 AGE=A+B； 同理：EMC=E+F；CNA=C+D A+B+C+D+E+F=AGE+EMC+CNA 又AGE+EMC+CAN 是MNG 的三个外角 AGE+EMC+CAN=360 故选 B 【点睛】 本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的
23、关键. 题型题型六六：体验真题：体验真题 【真题 1】（2022 辽宁 中考真题）如图，直线/a b，将含30角的直角三角板30ABCABC按图中位置摆放，若1110 ，则2的度数为（ ） A30 B36 C40 D50 【答案】C 【分析】如图，根据平行线的性质可得3=1=110 ，则有4=70 ，然后根据三角形外角的性质可求解 【详解】解：如图， /a b，1110 ， 3=1=110 ， 4180370 ， 30ABC 2440B ； 故选 C 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键 【真题 2】（2022 四川德阳 中考真
24、题）如图，直线mn，1 100 ，230 ，则3 （ ） A70 B110 C130 D150 【答案】C 【分析】设1 的同位角为为4，2 的对顶角为5，根据平行的性质得到1=4=100 ，再根据三角形的外角和定理 即可求解 【详解】设1 的同位角为为4，2 的对顶角为5，如图， mn，1=100 ， 1=4=100 ， 2=30 ，2 与5 互为对顶角， 5=2=30 ， 3=4+5=100 +30 =130 ， 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键 【真题 3】（2021 辽宁本溪 中考真题）一副三角板如图所示摆放，若1 8
25、0 ，则2的度数是（ ） A80 B95 C100 D110 【答案】B 【分析】由三角形的外角性质得到3=4=35 ，再根据三角形的外角性质求解即可 【详解】解：如图，A=90 -30 =60 ， 3=1-45 =80 -45 =35 ， 3=4=35 ， 2=A+4=60 +35 =95 ， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键 【真题 4】 （2021 内蒙古鄂尔多斯 中考真题）一块含30角的直角三角板和直尺如图放置，若1 146 33 ，则2的度数为（ ） A64 27 B63 27 C64 33 D63 33 【答案】B 【分析】先根据邻补角的定义得出3=180 -1=3327，再根据平行线的性质得到4=2，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论 【详解】解：1 146 33 ， 3=180 -1=3327， 4=3+30=6327， ABCD， 2=4=6327， 故选：B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出3 的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等