1、11.1.1 三角形的边三角形的边 题型一：三角形的识别和有关概念题型一：三角形的识别和有关概念 【例 1】（2022 全国 八年级）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（ ） A B C D 变式训练变式训练 【变式【变式 1-1】（2022 全国 八年级课时练习）如图，与ABC没有公共边的三角形是( ) ACDE BBCE CABE DBCD 【变式【变式 1-2】（2022 全国 七年级）如图，在3 4的正方形网格中，能画出与“格点ABC”面积相等的“格点正方形”有（ ）个 A2 B4 C6 D8 【变式【变式 1-3】（2020 钦州市第四中学八年
2、级月考）( )叫做三角形 A连接任意三点组成的图形 B由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C由三条线段组成的图形 D以上说法均不对 题型二：三角形的分类题型二：三角形的分类 【例题 2】 （2022 福建省福州第十九中学七年级期末） 如图表示的是三角形的分类， 则正确的表示是 （ ） AM 表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 BM 表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 CM 表示等腰三角形，N表示等边三角形，P 表示三边均不相等的三角形 DM 表示等边三角形，N表示等腰三角形，P 表示三边均不相等的三角形 变式训练变式训练 【变
3、式【变式 2-1】（2021 河南周口 八年级期中）已知 ABC的一个外角为 89 ，则 ABC一定是（ ） A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 【变式【变式 2-2】（2022 全国 八年级）下列说法错误的是（ ） A有一个内角是直角的三角形是直角三角形 B一个三角形只能有一个内角是钝角 C对顶角相等 D有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形 【变式【变式 2-3】（2022 河北唐山 一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 题型三：三角形的个数问题题型三：三角形的个数问题 【例题 3】（202
4、1 重庆巫溪 八年级期末）如图，其中第个图形中有 1 个三角形，第个图形中有 3 个三角形，第个图形中有 6 个三角形，按此规律变化，第个图形中三角形的个数是（ ） A10 B15 C21 D28 变式训练变式训练 【变式【变式 3-1】（2022 江苏 七年级专题练习）如图，图中的三角形共有（ ）个 A3 B4 C5 D6 【变式【变式 3-2】（2021 全国 七年级专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【变式【变式 3-3】（2021 重庆南开中学七年级期中）如图，图中有 3 个以MN为高的三角形，图中有 10 个以MN为高的三角形图
5、中有MN为高的三角形，以此类推则图中以MN为高的三角形的个数为（ ） A55 B78 C96 D105 题型四：构成三角形的条件题型四：构成三角形的条件 【例题 4】（2022 黑龙江哈尔滨 七年级期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A2，2，4 B3，4，5 C5，6，11 D2，4，8 变式训练变式训练 【变式【变式 4-1】（2022 辽宁铁岭 七年级期末）下列每组数分别是三根木棒的长度，不能用它们摆成三角形的是（ ） A3，4，6 B4，5，8 C5，5，5 D5，6，11 【变式【变式 4-2】（2022 浙江绍兴 八年级期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是
6、（ ） A1cm，2cm，3cm B5cm，5cm，5cm C2cm，5cm，8cm D1.5cm，1.4cm，2.9cm 【变式【变式 4-3】（2021 浙江衢州 八年级期末）由下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3cm B4cm，10cm，5cm C3cm，7cm，3cm D12cm，4cm，9cm 题型五：确定第三边的取值范围题型五：确定第三边的取值范围 【例题【例题 5】（2022 浙江丽水 八年级期末） 若长度为 a， 2， 5 的三条线段能组成一个三角形， 则 a可以是 （ ） A2 B3 C4 D7 变式训练变式训练 【变式 5-1】 （2022 广东深
7、圳 七年级期末） 长度为 3， 7，x的三条线段构成三角形， 则x的值可能是 （ ） A3 B4 C8 D12 【变式 5-2】（2022 广西崇左 八年级期末）已知三角形的两边长分别为5cm和3cm，则该三角形的第三边的长度可能是（ ） A2cm B5cm C8cm D9cm 【变式 5-3】（2022 云南保山 七年级期中）如图，ABBC于点 B，ACCD于点 C，连接 AD若 AD8，BC6，则 AC 的长可能为（ ） A5 B6 C7 D9 题型六：三角形三边关系的应用题型六：三角形三边关系的应用 【例题【例题 6】（2020 浙江八年级期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一
8、个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为 2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ） A6 B7 C8 D10 变式训练变式训练 【变式 6-1】（2020 浙江温州市 八年级期末） 如图，ABC被木板遮住了一部分， 其中6AB， 则A C B C的值不可能是（ ） A11 B9 C7 D5 【变式 6-2】（2021 河南商丘市 八年级期末）如图，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA19 米，OB10 米，A、B 间的距离不可能是（ ） A26 米 B12 米 C9 米 D15
9、米 【变式 6-3】（2020 玉山县南山乡中学八年级月考）北京冬季奥运会吉祥物冰墩墩落在n个三角形内，则n的值为_ 【变式 6-4】（2020 四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）若abc， ，是 ABC 的三边长，则化简abcbca 的结果是_ 题型七：体验真题题型七：体验真题 【真题 1】（2022 青海西宁 中考真题）若长度是 4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则 a的值可以是（ ） A2 B5 C10 D11 【真题 2】（2022 河北 中考真题）平面内，将长分别为 1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 d可能是（ ） A1 B2 C7 D8
10、【真题 3】（2022 湖南邵阳 中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3cm B3cm，4cm，5cm C4cm，5cm，10cm D6cm，9cm，2cm 11.1.1 三角形的边三角形的边 题型一：三角形的识别和有关概念题型一：三角形的识别和有关概念 【例 1】（2022 全国 八年级）学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】根据三角形的概念一一辨析可得正确解答 【详解】解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而 A、B、D 图形的三根火柴都全部
11、没有或者部分没有首尾相接，所以 A、B、D 都不符合题意，只有 C 图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以 C 符合三角形概念 故选 C 【点睛】本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键 变式训练变式训练 【变式【变式 1-1】（2022 全国 八年级课时练习）如图，与ABC没有公共边的三角形是( ) ACDE BBCE CABE DBCD 【答案】A 【分析】直接找两个三角形的公共边即可 【详解】解：三角形的公共边即两个三角形共同的边 A，两个三角形没有公共边； B，两个三角形的公共边为BC； C，两个三角形的公共边为AB； D，两个
12、三角形的公共边为BC 故选A 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识注意要审清题意，按题目要求解题 【变式【变式 1-2】（2022 全国 七年级）如图，在3 4的正方形网格中，能画出与“格点ABC”面积相等的“格点正方形”有（ ）个 A2 B4 C6 D8 【答案】C 【分析】求出ABC的面积为 4，然后作出面积为 4 的格点正方形即可 【详解】解：12 442ABCS ， 则可画出的格点正方形如图： 共有 6 个， 故选：C 【点睛】本题考查了格点图形的面积计算，掌握基本图形的性质是解题的关键 【变式【变式 1-3】（2020 钦州市第四中学八年级月考）( )叫做三角形 A连接任意三点组成的
13、图形 B由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C由三条线段组成的图形 D以上说法均不对 【答案】B 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形故选：B 题型二：三角形的分类题型二：三角形的分类 【例题 2】 （2022 福建省福州第十九中学七年级期末） 如图表示的是三角形的分类， 则正确的表示是 （ ） AM 表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 BM 表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 CM 表示等腰三角形，N表示等边三角形，P 表示三边均不相等的三角形 DM 表示等边三角形，N表示等腰三角形
14、，P 表示三边均不相等的三角形 【答案】B 【分析】根据三角形按照边的分类方法解答 【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形， 故选择 B 【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键 变式训练变式训练 【变式【变式 2-1】（2021 河南周口 八年级期中）已知ABC 的一个外角为 89 ，则ABC 一定是（ ） A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形 【答案】D 【分析】利用三角形外角与内角的关系计算 【详解】解：一个外角为 89 ，所以与它相邻的内角的度数为
15、91 ， 三角形为钝角三角形 故选：D 【点睛】本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类，熟练掌握分类标准是解题的关键 【变式【变式 2-2】（2022 全国 八年级）下列说法错误的是（ ） A有一个内角是直角的三角形是直角三角形 B一个三角形只能有一个内角是钝角 C对顶角相等 D有两个内角是锐角的三角形是锐角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类条件和对顶角的概念即可对选项进行判断 【详解】解：A、有一个内角是直角的三角形是直角三角形，选项正确，不符合题意； B、一个三角形只能有一个内角是钝角,选项正确，不符合题意； C、两直线相交，对顶角相等，选项正确，不符合题意； D、有两个内
16、角是锐角的三角形不一定是锐角三角形，可能是直角或钝角三角形，选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了三角形的概念及对顶角，解题的关键是掌握三角形的分类条件 【变式【变式 2-3】（2022 河北唐山 一模）如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 【答案】B 【分析】根据三角形按角分类的方法进行判断即可 【详解】观察图形可知：图中的三角形有两个锐角，且第三个角也小于 90 度，由此判定为锐角三角形， 故选：B 【点睛】本题考查三角形的分类，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 题型三：三角形的个数问题题
17、型三：三角形的个数问题 【例题 3】（2021 重庆巫溪 八年级期末）如图，其中第个图形中有 1 个三角形，第个图形中有 3 个三角形，第个图形中有 6 个三角形，按此规律变化，第个图形中三角形的个数是（ ） A10 B15 C21 D28 【答案】C 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答 【详解】解：第个图中三角形的个数为 1； 第个图中三角形的个数为 3=1+2； 第个图中三角形的个数为 6=1+2+3； ， 故第 n 个图中三角形的个数为(1)1232n nn， 故第个图形中三角形的个数为：66 1=212， 故选：C 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问
18、题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值 变式训练变式训练 【变式【变式 3-1】（2022 江苏 七年级专题练习）如图，图中的三角形共有（ ）个 A3 B4 C5 D6 【答案】C 【分析】根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找 【详解】根据图形依次查找可得：ABE、ABC、BCE、BCD、DCE，共 5 个三角形， 故选：C 【点睛】本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键 【变式【变式 3-2】（2021 全国 七年级专题练习）如图所示的图形中，三角形的个数共有( ) A1
19、个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】根据三角形的定义判断即可 【详解】解：有三个三角形：ABC， ACD，ABD 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的识别，解题关键是熟练运用三角形的定义判断三角形，注意：不重不漏 【变式【变式 3-3】（2021 重庆南开中学七年级期中）如图，图中有 3 个以MN为高的三角形，图中有 10 个以MN为高的三角形图中有MN为高的三角形，以此类推则图中以MN为高的三角形的个数为（ ） A55 B78 C96 D105 【答案】B 【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解 【详解】解：第个图形中有 1+2=3 个三角形； 第个图形中有 1+2
20、+3+4=10 个三角形； 第个图形中有 1+2+3+4+5+6=21 个三角形； 第 n个图形中由 1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形 第个图形三角形个数为 1+2+3+12=613=78 个， 故选：B 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，得到第 n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键 题型四：构成三角形的条件题型四：构成三角形的条件 【例题 4】（2022 黑龙江哈尔滨 七年级期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A2，2，4 B3，4，5 C5，6，11 D2，4，8 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系进行判断 【详解】解：A、2+24， 不能构成
21、三角形，故本选项错误； B、3+45， 能构成三角形，故本选项符合要求； C、5+6=11， 不能构成三角形，故本选项错误； D、2+48， 不能构成三角形，故本选项错误 故选 B 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，属于基础题型，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键 变式训练变式训练 【变式【变式 4-1】（2022 辽宁铁岭 七年级期末）下列每组数分别是三根木棒的长度，不能用它们摆成三角形的是（ ） A3，4，6 B4，5，8 C5，5，5 D5，6，11 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边得， A 中，3 +476，能够组成
22、三角形，不符合题意； B 中，4+598，能组成三角形，不符合题意； C 中，5+5105，能组成三角形，不符合题意； D 中，5+611，不能组成三角形，符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查三角形的构成条件，解题的关键是熟知三角形的三边关系 【变式【变式 4-2】（2022 浙江绍兴 八年级期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3cm B5cm，5cm，5cm C2cm，5cm，8cm D1.5cm，1.4cm，2.9cm 【答案】B 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解 【详解】解：根据三角形的三边关系，得
23、： A、1+23，不能构成三角形，不符合题意； B、5+55，能构成三角形，符合题意； C、2+58，不能构成三角形，不符合题意； D、1.5+1.42.9，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，掌握三边关系是解题的关键 【变式【变式 4-3】（2021 浙江衢州 八年级期末）由下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3cm B4cm，10cm，5cm C3cm，7cm，3cm D12cm，4cm，9cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可作出判断
24、【详解】A、1 23 不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、4510 不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、3 37 不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、4912 能组成三角形，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题主要考查知识点为：三角形中三边的关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边掌握三角形中三边的关系，是解决本题的关键 题型五：确定第三边的取值范围题型五：确定第三边的取值范围 【例题【例题 5】（2022 浙江丽水 八年级期末） 若长度为 a， 2， 5 的三条线段能组成一个三角形， 则 a可以是 （ ） A2 B3 C4 D7 【答案】C 【分析】根据三角形三边
25、关系求出 a 的取值范围，选择在此范围内的选项即可 【详解】由三角形三边关系可得：52a5+2， 即 3a0，b-c-a0， 则原式=a+b-c-b+a+c=2a， 故答案为：2a 题型七：体验真题题型七：体验真题 【真题 1】（2022 青海西宁 中考真题）若长度是 4，6，a 的三条线段能组成一个三角形，则 a的值可以是（ ） A2 B5 C10 D11 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系定理得出 6-4a6+4，求出 a的取值范围，即可求解 【详解】解：由三角形三边关系定理得：6-4a6+4， 即 2a10， 即符合的整数 a 的值是 5， 故选：B 【点睛】 本题考查了三角形三边关
26、系， 能根据三角形三边关系定理得出 4-3a4+3 是解此题的关键， 注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边 【真题 2】（2022 河北 中考真题）平面内，将长分别为 1，5，1，1，d 的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则 d可能是（ ） A1 B2 C7 D8 【答案】C 【分析】 如图 （见解析） ， 设这个凸五边形为ABCDE， 连接,AC CE， 并设,ACa CEb， 先在ABC和CDE中，根据三角形的三边关系定理可得46a，02b，从而可得48a b ，26a b ，再在ACE中，根据三角形的三边关系定理可得a bdab ，从而可得28d，由此即可
27、得出答案 【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接,AC CE，并设,ACa CEb， 在ABC中，5 11 5a ，即46a， 在CDE中，1 11 1b ，即02b， 所以48a b ，26a b ， 在ACE中，a bdab ， 所以28d， 观察四个选项可知，只有选项 C 符合， 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键 【真题 3】（2022 湖南邵阳 中考真题）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ） A1cm，2cm，3cm B3cm，4cm，5cm C4cm，5cm，10cm D6cm，9cm，2cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析 【详解】解：根据三角形的三边关系，知 A、1+23，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； B、3+45，能够组成三角形，故选项正确，符合题意； C、5+410，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； D、2+69，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】此题考查了三角形的三边关系解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数