1、13.3.1等腰三角形（一）等腰三角形的性质题型一：等腰三角形定义求边长【例题1】（2022山东德州七年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个等腰三角形的周长为（）A30B24C18D24或30变式训练【变式1-1】（2021辽宁大连八年级期末）等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A5cmB4cmC3cm或4cmD2cm或4cm【变式1-2】（2022甘肃白银七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（）A9B12C15D12或15【变式1-3】（2022福建泉州七年级期末）已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x
2、的值是（）A4B10C4或10D6或10题型二：等腰三角形定义求角度【例题2】（2021广东肇庆市颂德学校八年级期中）若等腰三角形一个角等于80，则它的底角是（）A80B50C60D80或50变式训练【变式2-1】（2022河南驻马店八年级期末）已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为（）A100B40C40或100D40或70【变式2-2】（2022湖北鄂州八年级期末）在等腰ABC中，A70，则C的度数不可能是（）A40B55C65D70【变式2-3】（2022福建福州八年级期末）等腰三角形的一个外角等于130，则它的顶角为（）A50B80C50或80D40或65题型三：等边
3、对等角求角度【例题3】（2022山东泰安七年级期末）如图，若AB，CD相交于点E，若，则的度数是（）A48B62C76D88变式训练【变式3-1】（2022河北保定八年级期末）如图，在中，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（）ABCD【变式3-2】（2022贵州贵阳八年级期末）如图，直线垂直平分线段，则的度数为（）ABCD【变式3-3】（2022陕西交大附中分校八年级期末）如图，已知在ABC中，ABAC，A40，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则DBC的度数为（）A30B32C34D36题型四：等边对等角证明【例题4】（2022山东威海七年级
4、期末）已知：点在上，求证：变式训练【变式4-1】（2021陕西铜川七年级期末）如图，四边形的对角线、相交于点，(1)试判断与有怎样的位置关系，并说明理由；(2)吗？为什么？【变式4-2】（2022江苏南京八年级期末）如图，AD、BC交于点O，ABCD，ABOCDO求证：CBDADB【变式4-3】（2022陕西宝鸡七年级期末）如图，在和中，垂足为M，连接EA(1)与全等吗？为什么？(2)若，判断与的数量关系，并说明理由【题型5】三线合一求解【例题5】（2020南靖县城关中学八年级月考）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，BAD=35，则C的度数为（ ）A35B45C55D60变式训练【变
5、式5-1】（2020广东中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）A2B3C4D5【变式5-2】（2020老河口市第四中学八年级月考）等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（ ）A13B8CD【变式5-3】（2020山东八年级月考）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，若的周长为，则的长为（ ）ABCD【题型6】三线合一证明【例题6】（2019莆田第十五中学八年级期中）如图，ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）ABDACD ；（2）ADBC；（3）B=C ；（4）AD是ABC的角平分线其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个变
6、式训练【变式6-1】如图在中D为的中点点F在上延长至点E使求与之间的位置关系【变式6-2】（2021湖南张家界市八年级期末）如图，已知AB=CD，A=C，AD和BC相交于点O，E是BD的中点，连接OE（1）求证：AOBCOD；（2）求BEO的度数【变式6-3】（2021上海七年级期末）如图，已知平分，是的中点，试说明的理由，题型五：体验真题【真题1】（2022湖南衡阳中考真题）如图，在中，、是边上的点，且，求证：【真题2】（2021江苏无锡中考真题）已知：如图，相交于点O，求证：（1）；（2）【真题3】（2020广东中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，与相交于点，求证：是等腰三角形13
7、.3.1等腰三角形（一）等腰三角形的性质题型一：等腰三角形定义求边长【例题1】（2022山东德州七年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为6和12，则这个等腰三角形的周长为（）A30B24C18D24或30【答案】A【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析【详解】当三边6，6，12时，6+6=12，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三边是6，12，12时，符合三角形的三边关系，此时周长是30故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题
8、的关键变式训练【变式1-1】（2021辽宁大连八年级期末）等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A5cmB4cmC3cm或4cmD2cm或4cm【答案】D【分析】分为两种情况：4cm是等腰三角形的腰或4cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形【详解】解：若4cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10-4-4=2（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，而4+24，符合三角形的三边关系；若4cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10-4）2=3（cm），此时三角形的三边长分别为3cm，3cm，4cm，而3+34，符
9、合三角形的三边关系；等腰三角形的底边长为2cm或4cm，故选：D【点睛】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边【变式1-2】（2022甘肃白银七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（）A9B12C15D12或15【答案】C【分析】根据三角形边的性质可知，这个等腰三角形的腰为6，即可得出答案【详解】若三角形的腰为3，则3+3=6，不能构成三角形，故排除此种情况；若三角形的腰为6，6-636+6，能构成三角形，故周长为：6+6+3=15；故答案选择C【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义以及三角形边的性质：两边之和大于第三
10、边，两边之差小于第三边【变式1-3】（2022福建泉州七年级期末）已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A4B10C4或10D6或10【答案】B【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可得出答案【详解】解：10-4x10+4，6x14，B选项符合题意，故选：B【点睛】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形两边之得大于每三边，两边之差小于第三边是解题的关键题型二：等腰三角形定义求角度【例题2】（2021广东肇庆市颂德学校八年级期中）若等腰三角形一个角等于80，则它的底角是（）A80B50C60D80或50【答案】D【分析】分情况讨论，当80为底角；当80为顶角再结合三
11、角形的内角和，即可求底角【详解】解：当80底角时，那么底角=80；当80为顶角时，那么底角=（180-80）=50故选：D【点睛】本题考查等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和为180的应用，注意当等腰三角形中未明确角为底角或顶角时，需要分两种情况考虑变式训练【变式2-1】（2022河南驻马店八年级期末）已知等腰三角形的一个内角为40，则这个等腰三角形的顶角为（）A100B40C40或100D40或70【答案】C【分析】分两种情况讨论：（1）当这个40的角是顶角时；（2）当这个40的角是底角时，求出顶角即可【详解】当这个40的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40；当这个40的角是底角时，
12、则顶角度数为：=100；综上所述，这个等腰三角形的顶角为40或100，故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想【变式2-2】（2022湖北鄂州八年级期末）在等腰ABC中，A70，则C的度数不可能是（）A40B55C65D70【答案】C【分析】根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解【详解】解：当A70为顶角时，则两底角为：；当A70为底角时，另一个底角为70，顶角为180-70-70=40C的度数不可能是65故选：C【点睛】本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解
13、题关键【变式2-3】（2022福建福州八年级期末）等腰三角形的一个外角等于130，则它的顶角为（）A50B80C50或80D40或65【答案】C【分析】先求出该外角的内角为50，再分50角为底角和顶角两种情况，求出其他两个内角的度数即可【详解】解：等腰三角形的一个外角等于130，等腰三角形的内角为180-130=50，当50角为底角时，顶角为180-250=80，当50为顶角时，底角为（180-50）2=65，故等腰三角形的顶角为50或80，故选：C【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等题型三：等边对等角求角度【例题3】（2022山东泰安七年级期末）如图，若AB，CD相交
14、于点E，若，则的度数是（）A48B62C76D88【答案】C【分析】根据全等三角形的性质得到AC=AE，从而AEC=ACD，再利用三角形内角和求得ACD即可【详解】，AC=AE，AEC=ACD，ACD=，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的性质和等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键变式训练【变式3-1】（2022河北保定八年级期末）如图，在中，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（）ABCD【答案】C【分析】根据等腰三角形两个底角相等，可得：，根据传递性，可得：，再根据三角形外角等于其不相邻的两个内角的和，可得：，再
15、根据，得到：，最后根据三角形内角和为，可得：，解出即可得到的大小【详解】解： 是的外角 （三角形内角和为） 故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与定理【变式3-2】（2022贵州贵阳八年级期末）如图，直线垂直平分线段，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【详解】解：直线垂直平分线段，故选：B【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键【变式3-3】（2022陕西交大附中分校八年级期末）如图，已知在
16、ABC中，ABAC，A40，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则DBC的度数为（）A30B32C34D36【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出ABC=70，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则DBA=A=40，通过计算即可得到答案【详解】解：在ABC中，ABAC，A40，ABCACB70，AB的垂直平分线交AC于点D，DADB，DBAA40，DBC30，故选：A【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，三角形的内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键题型四：等边对等角证明【例题4】（2022山东威海七年级期末）已知：点在上
17、，求证：【答案】见解析【分析】根据三角形外角的性质，结合，可得，从而可证，根据全等三角形的性质可得，即可得证【详解】证明：，又，在和中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键变式训练【变式4-1】（2021陕西铜川七年级期末）如图，四边形的对角线、相交于点，(1)试判断与有怎样的位置关系，并说明理由；(2)吗？为什么？【答案】(1)ABCD；理由见解析(2)BC=AD，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出OAB=OBA，OCD=ODC，求出OAB=OCD，根据平行线的判定推出即可；（2）求出AC=BD
18、，根据SAS推出ABCBAD，根据全等三角形的性质即可得解（1）ABCD，理由如下：OA=OB，OC=OD，OAB=OBA，OCD=ODC，COD=AOB，OAB+OBA+AOB=180，OCD+ODC+COD=180，OAB=OBA=OCD=ODC，即OAB=OCD，ABCD；（2）BC=AD，理由如下：OA=OB，OC=OD，AC=BD，在ABC和BAD中，ABCBAD（SAS），BC=AD【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识点，根据SAS推出ABCBAD是解此题的关键【变式4-2】（2022江苏南京八年级期末）如图，AD、BC交于点O，ABCD，ABOCDO求证：CBDADB【
19、答案】证明见解析【分析】先证明，得到，进而得到，即可求证【详解】证明：在和中 【点睛】本题考查三角形全等的判定与等腰三角形的性质，属于基础题【变式4-3】（2022陕西宝鸡七年级期末）如图，在和中，垂足为M，连接EA(1)与全等吗？为什么？(2)若，判断与的数量关系，并说明理由【答案】(1)全等，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）先证明，可得，再利用AAS证明三角形全等即可；（2）先证明，可得，结合，可得，从而可得结论(1)解：，理由如下：因为，所以，所以，所以，在和中，所以；(2)，理由如下：在和中，所以，所以，又因为，所以，所以【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形
20、的定义与性质，熟练的运用AAS，ASA证明三角形全等是解本题的关键【题型5】三线合一求解【例题5】（2020南靖县城关中学八年级月考）如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，BAD=35，则C的度数为（ ）A35B45C55D60【答案】C【详解】试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分BAC，ADBC，因此DAC=BAD=35，ADC=90，从而可求得C=55.故选C考点：等腰三角形三线合一变式训练【变式5-1】（2020广东中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）A2B3C4D5【答案】B【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可【详解】由
21、作图痕迹可知AD为BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.【变式5-2】（2020老河口市第四中学八年级月考）等腰三角形的底边和腰长分别是10和12，则底边上的高是（ ）A13B8CD【答案】D【解析】【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度【详解】解：作底边上的高并设此高的长度为x，由等腰三角形三线合一的性质可得高线平分底边，根据勾股定理得：52+x2=122，解得x=【点睛】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，
22、等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度【变式5-3】（2020山东八年级月考）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且，若的周长为，则的长为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据线段垂直平分线和等腰三角形三线合一的性质得出AB=AE=CE，再根据的周长为，能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案【详解】，EF垂直平分AC，AB=AE=EC，ABC周长26cm，AC=10cm，AB+BE+EC=16cm，即2DE+2EC=16cm，DE+EC=DC=8cm故选：C【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练应用等腰三角形和垂直平分线的性质进行等量代换为解题
23、关键【题型6】三线合一证明【例题6】（2019莆田第十五中学八年级期中）如图，ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以下结论：（1）ABDACD ；（2）ADBC；（3）B=C ；（4）AD是ABC的角平分线其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】由“三线合一”可知（2）（4）正确，由等边对等角可知（3）正确，且容易证明ABDACD，得（1）正确，可得出答案【详解】解：AB=AC，B=C，故（3）正确，D为BC的中点，ADBC，BAD=CAD，故（2）（4）正确，在ABD和ACD中 ，ABDACD（SSS），故（1）正确，正确的有4个，故选择：D.【点睛】本题主要考查等腰三
24、角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线相互重合是解题的关键变式训练【变式6-1】如图在中D为的中点点F在上延长至点E使求与之间的位置关系【答案】ADEF【分析】根据等腰三角形的性质可得ADBC，AD平分BAC，再根据角平分线的定义和外角的定义，可得AEF=BAD，进而可证明ADEF【详解】解：AB=AC，ABC=C，D为BC中点，ADBC，AD平分BAC，BAD=CAD=BAC，AE=AF，E=AFE，BAC=BAD+CAD=E+AFE，AEF=BAD，ADEF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质【
25、变式6-2】（2021湖南张家界市八年级期末）如图，已知AB=CD，A=C，AD和BC相交于点O，E是BD的中点，连接OE（1）求证：AOBCOD；（2）求BEO的度数【答案】（1）证明见解析；（2）BEO=90【分析】利用AAS定理证明即可；根据全等三角形的性质得到BO=DO，再根据等腰三角形的性质解答即可【详解】解：(1)在AOB和DOC中AOBDOC；(2)AOBDOC,OB=OD,又E是BD的中点,OEAD,即AEO=90【点睛】本题考查的是全等三角形的的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键【变式6-3】（2021上海七年级期末）如图，已知平分，是的中点，试说明的理由，【
26、答案】见解析【分析】先由角平分线定义得出BAD=CAD，再根据平行线的性质得出EBA=BAD，E=CAD，那么EBA=E，由等角对等边得出AE=AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AFBE【详解】解：证明：AD平分BAC，BAD=CAD，BEAD，EBA=BAD，E=CAD，EBA=E，AE=AB，又F是BE的中点，AFBE【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中得出AE=AB是解题的关键题型五：体验真题【真题1】（2022湖南衡阳中考真题）如图，在中，、是边上的点，且，求证：【答案】见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明
27、，从而得【详解】证明：，在和中，【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键【真题2】（2021江苏无锡中考真题）已知：如图，相交于点O，求证：（1）；（2）【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）根据AAS，即可证明；（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论【详解】证明：（1）在与中，（AAS）；（2），OB=OC，【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键【真题3】（2020广东中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，与相交于点，求证：是等腰三角形【答案】见解析【分析】先证明，得到，进而得到，故可求解【详解】证明：在和中又即是等腰三角形【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质