1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质 题型一：题型一：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 【例题 1】 （2022 山东泰安 七年级期末） 如图， 在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D， 交BC于点E，连接AE若6BC ，5AC ，则ACE的周长为（ ） A8 B11 C16 D17 变式训练 【变式 1-1】（2022 广东 深圳市高级中学七年级期末）如图，DE 是 ABC中 AC边上的垂直平分线，如果BC=5cm，AB=8cm，则 EBC 的周长为( ) A9cm B13cm C18cm D21cm 【变式 1-2】（2022 河北沧州 八年级期末）如图，在
2、ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 BC于点E，连接 AE若 AD=3，ACE的周长为 13，则ABC的周长为（ ） A18 B19 C26 D29 【变式 1-3】（2022 甘肃白银 七年级期末）如图，在ABC中，ABAC，3AB ，5BC ，4AC ，EF垂直平分 BC，点 P为直线 EF上的任意一点，则ABP周长的最小值是（ ） A7 B6 C12 D8 题型二：线段垂直平分线的判定题型二：线段垂直平分线的判定 【例题 2】（2022 河南平顶山 七年级期末）如图，在四边形 ABCD中，ADBC，E为 CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长 AE交 BC的延长线于点 F
3、 (1)请判断 FC与 AD的数量关系，并说明理由； (2)若 AB6，AD2，求 BC 的长度 变式训练 【变式 2-1】（2019 陕西 商州区第一初级中学八年级期中）如图，在ABC中，ABBC、边上的垂直平分线相交于点 P求证：点 P 在AC的垂直平分线上 【变式 2-2】（2022 湖北恩施 二模）如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：AD垂直平分EF 【变式 2-3】如图，AABCCB，BDCD，求证：AD垂直平分BC 题型三：题型三：画线段垂直平分线 【例题 3】（2022 广东河源 七年级期末）如图，在ABC 中，ABAC (1)尺规作
4、图：作边 AB的垂直平分线，交 AB于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)连接 BE，若 AB6，BC4，求BEC的周长 变式训练 【变式 3-1】 （2022 广东 汕头市金平区金园实验中学八年级期末） 如图， 已知ABC，90C，ACBC，DE 为 AB 的垂直平分线，交 BC于 D，交 AB于 E (1)用直尺和圆规，作出 DE（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接 AD，若36B ，则CAD_ 【变式 3-2】（2022 四川宜宾 八年级期末）如图，在ABC中，C=90 . (1)用尺规作图作 AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC于点 D，交 AB 于
5、点 E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结 BD，求证： ADEBDE 【变式 3-3】（2022 广东广州 八年级期末）尺规作图：如图，已知 ABC，作 BC边的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC（不写作法，保留作图痕迹） 【变式 3-4】（2021 贵州贵阳市 ）如图，已知线段6AB，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：分别以点,A B为圆心， 以b的长为半径作弧， 两弧相交于点C和D 作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线则b的长可能是（ ） A1 B2 C3 D4 题型四：线段垂直平分线的实际应用题型四：线段垂直平分线的实际应用 【例题 4】（2020 扬州市 八年级
6、月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A ABC 三边的垂直平分线的交点 B ABC 的三条中线的交点 C ABC 三条角平分线的交点 D ABC 三条高所在直线的交点 变式训练变式训练 【变式 4-1】（2020 八年级月考）在联欢晚会上，有、 、A BC三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（ ） A三边中线的交点 B三条角平分线的交点 C三边上高的交点 D三边垂直平分线的交点 【变式
7、4-2】（2020 常州市第二十四中学八年级期中）如图，有 A、B、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） AA、B 两内角的平分线的交点处 BAC、AB 两边高线的交点处 CAC、AB 两边中线的交点处 DAC、AB 两边垂直平分线的交点处 【变式 4-3】（2020 昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（ ） A三条角平分线的交点 B三条中线的交点 C三条高的交点 D三条边
8、的垂直平分线的交点 【变式 4-4】（2020 磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水 （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹 题型五：题型五：体验真题体验真题 【真题 1】（2022 吉林长春 中考真题）如图，在ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） AAFBF B12AEAC C90DBFDFB DBAFEBC 【真题 2】（2022 广西 中考真题
9、） 如图， 是求作线段 AB中点的作图痕迹， 则下列结论不一定成立的是 （ ） AB45 BAEEB CACBC DABCD 【真题 3】（2022 内蒙古鄂尔多斯 中考真题）如图，在 ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE交 AB于点 D，连接 DC，若 AB3.7，AC2.3，则 ADC 的周长是 _ 【真题 4】（2022 内蒙古通辽 中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_ 13.1.2 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质 题型一：题型一：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 【例题 1】 （2022 山东泰安 七年级期末） 如图， 在ABC中，AB的垂直平分线交
10、AB于点D， 交BC于点E，连接AE若6BC ，5AC ，则ACE的周长为（ ） A8 B11 C16 D17 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 AEBE，然后根据三角形的周长公式等量代换进行求解即可 【详解】解：DE垂直平分 AB， AEBE， ACE的周长ACCEAEACCEBEACBC5611， 故选：B 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 变式训练 【变式 1-1】（2022 广东 深圳市高级中学七年级期末）如图，DE 是 ABC中 AC边上的垂直平分线，如果BC=5cm，AB=8cm，则 EBC 的周长为( ) A
11、9cm B13cm C18cm D21cm 【答案】B 【分析】根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，得到AEEC，从而得到 EBC的周长等于ABBC 【详解】解：DE垂直平分 AC， AEEC， EBC的周长等于BEECBC，BC=5cm，AB=8cm， EBC的周长等于13BEAEBCABBCcm， 故选：B 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 【变式 1-2】（2022 河北沧州 八年级期末）如图，在ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点 D，交 BC于点E，连接 AE若 AD=3，ACE的周长为 13，则ABC的周
12、长为（ ） A18 B19 C26 D29 【答案】B 【分析】由 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，易得 AE=BE，又由 ACE 的周长是 13，可求得AC+BC=13，继而求得答案 【详解】解：DE是 AB的垂直平分线， AE=BE，AB=2AD=6， ACE的周长是 13， AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=13， ABC的周长是：AB+AC+BC=6+13=19 故选：B 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质注意掌握转化思想与数形结合思想的应用 【变式 1-3】（2022 甘肃白银 七年级期末）如图，在ABC中，ABAC，3AB ，5BC ，4
13、AC ，EF垂直平分 BC，点 P为直线 EF上的任意一点，则ABP周长的最小值是（ ） A7 B6 C12 D8 【答案】A 【分析】根据题意知点 B关于直线 EF 的对称点为点 C，故当点 P与点 D重合时，AP+BP 的值最小，即可得到 ABP 周长最小 【详解】解：EF 垂直平分 BC， B、C 关于 EF对称， 设 AC交 EF于 D， 当 P和 D 重合时，即 A、P、C 三点共线时，AP+BP 的值最小， EF 垂直平分 BC， AD=CD， AD+BD=AD+CD=AC=4， ABP周长的最小值是 AB+AC=3+4=7，故 A 正确 故选：A 【点睛】本题主要考查了勾股定理，
14、轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出 P 的位置凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 题型二：线段垂直平分线的判定题型二：线段垂直平分线的判定 【例题 2】（2022 河南平顶山 七年级期末）如图，在四边形 ABCD中，ADBC，E为 CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长 AE交 BC的延长线于点 F (1)请判断 FC与 AD的数量关系，并说明理由； (2)若 AB6，AD2，求 BC 的长度 【答案】(1)FC=AD，理由见解析 (2)4 【分析】（1）根据 ADBC可知ADC=ECF，再根据 E是 CD的
15、中点可求出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出 AB=BF，据此求解即可 （1）解：FC=AD，理由如下：ADBC（已知），ADC=ECF（两直线平行，内错角相等），E是 CD的中点 （已知） ， DE=EC （中点的定义） 在ADE与FCE 中，ADCECFDEECAEDCEF ， ADEFCE（ASA），FC=AD（全等三角形的性质）； （2）解：ADEFCE，AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），BEAE，BE 是线段AF 的垂直平分线，AB=BF=BC+CF，AB=BC+AD，AB=6，AD=2，BC=4 【点
16、睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键 变式训练 【变式 2-1】（2019 陕西 商州区第一初级中学八年级期中）如图，在ABC中，ABBC、边上的垂直平分线相交于点 P求证：点 P 在AC的垂直平分线上 【答案】见解析 【分析】由垂直平分线的性质知PAPB，PBPC，通过等量代换可得PAPC，即可证明 【详解】证明：ABBC、边上的垂直平分线相交于点 P， 点 P在AB，BC的垂直平分线上， PAPB，PBPC， PAPC， 点 P在AC的垂直平分线上 【点睛】本题考查垂直平分线的性质及判定，牢记垂直平分线的性质及判定方法是解题的关键：垂
17、直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 【变式 2-2】（2022 湖北恩施 二模）如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：AD垂直平分EF 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线性质得出DEDF；再证AEDAFD，易证AD垂直平分EF 【详解】证明：AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC， DEDF， 在Rt ADE和Rt ADF中， ADADDEDF， Rt ADERt ADF HL， AEAF， 又DEDF， AD垂直平分(EF到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上) 【点睛】本题
18、考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质和线段垂直平分线逆定理的应用，题目比较新颖，属于基础题，理解线段垂直平分线逆定理是关键 【变式 2-3】如图，AABCCB，BDCD，求证：AD垂直平分BC 【答案】见解析 【分析】通过证明ABDACD SSS，利用全等三角形的性质即可得出结论 【详解】证明：AABCCB， ABAC 在ABD与ACD中， ,ABACBDCDADAD ABDACD SSS BADCAD AO为等腰ABC的底边BC的高和中线 AD垂直平分BC 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键 题型三：题型三：画线段垂直平分线 【
19、例题 3】（2022 广东河源 七年级期末）如图，在ABC 中，ABAC (1)尺规作图：作边 AB的垂直平分线，交 AB于点 D，交 AC 于点 E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)连接 BE，若 AB6，BC4，求BEC的周长 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）分别以点 A，点 B 为圆心，以大于12AB长度为半径画弧交 AB的两侧于两个交点，连接两点交 AB于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE 即可； （2）先根据垂直平分线性质将CBE 的周长转化为 AC+BC 的长，再将三边相加即得 （1）如图，DE为所作； （2）DE垂直平分 AB，EAEB，ACAB6，BC
20、4，BEC 的周长BC+BE+CEBC+AE+ECBC+ACBC+AB4+610 【点睛】本题考查垂直平分线的作法和垂直平分线的性质，作图题要求做题必须规范和准确，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键 变式训练 【变式 3-1】 （2022 广东 汕头市金平区金园实验中学八年级期末） 如图， 已知ABC，90C，ACBC，DE 为 AB 的垂直平分线，交 BC于 D，交 AB于 E (1)用直尺和圆规，作出 DE（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接 AD，若36B ，则CAD_ 【答案】(1)作图见解析部分； (2)18 【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）
21、利用线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解即可 （1）如图，DE即为所求； （2）DE垂直平分线段 AB， DA=DB， DAB=B=36 ， ADC=DAB+B=72 ， C=90 ， CAD=90 -72 =18 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型 【变式 3-2】（2022 四川宜宾 八年级期末）如图，在ABC中，C=90 . (1)用尺规作图作 AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC于点 D，交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结 BD，求证： ADEBDE 【答案
22、】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以 A、B 为圆心，以大于12AB 的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交 AC 于点 D，AB 于点 E，直线 DE 就是所要作的 AB 边上的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质可得 AD=BD，DEB=DEA=90 ，即可得出 ADEBDE. （1）解：如图所示，DE为所求; （2）证明：DE 是线段 AB 的垂直平分线， AD=BD ，DEB=DEA=90 ，在 Rt ADE 与 Rt BDE 中，ADBDDEDE，Rt ADERt BDE（HL），ADEBDE. 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质，全
23、等三角形的判定，熟练掌握作图方法以及相关性质是解题的关键. 【变式 3-3】（2022 广东广州 八年级期末）尺规作图：如图，已知 ABC，作 BC边的垂直平分线交 AB 于点 D，连接 DC（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】分别以 B、C 为圆心，以大于 BC的二分之一的长为半径画弧，两弧两两相交然后连接两弧的交点，交 AB于点 D，连接 DC即可 【详解】如图： 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，关键是掌握用尺规作线段垂直平分线的方法 【变式 3-4】（2021 贵州贵阳市 ）如图，已知线段6AB，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：分别以点,A B为圆心，
24、以b的长为半径作弧， 两弧相交于点C和D 作直线CD 直线CD就是线段AB的垂直平分线则b的长可能是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】利用基本作图得到 b12AB，从而可对各选项进行判断 【详解】解：根据题意得：b12AB， 即 b3， 故选：D 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 题型四：线段垂直平分线的实际应用题型四：线段垂直平分线的实际应用 【例题 4】（2020 扬州市 八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息
25、，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A ABC 三边的垂直平分线的交点 B ABC 的三条中线的交点 C ABC 三条角平分线的交点 D ABC 三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是 ABC 三条边垂直平分线的交点由此即可确定凉亭位置 【详解】解：凉亭到草坪三条边的距离相等， 凉亭选择 ABC 三边的垂直平分线的交点 故选：A 【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 变式训练变式
26、训练 【变式 4-1】（2020 八年级月考）在联欢晚会上，有、 、A BC三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（ ） B三边中线的交点 B三条角平分线的交点 C三边上高的交点 D三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上故选：D 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学
27、知识解决实际问题是一种能力，要注意培养想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键 【变式 4-2】（2020 常州市第二十四中学八年级期中）如图，有 A、B、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） AA、B 两内角的平分线的交点处 BAC、AB 两边高线的交点处 CAC、AB 两边中线的交点处 DAC、AB 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在 AC、AB 两边垂直平分线的交点处，故选：D 【点睛】本题考查
28、了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 【变式 4-3】（2020 昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（ ） A三条角平分线的交点 B三条中线的交点 C三条高的交点 D三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案 【详解】解：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等， 为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点， 故选：D
29、 【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质 【变式 4-4】（2020 磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B 两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水 （1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？ （2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】（1）作出 AB 的垂直平分线与河岸交于点 P，则
30、点 P 满足到 AB 的距离相等. （2）作出点 A 关于河岸的对称点 C，连接 CB，交于河岸于点 P，连接 AP，则点 P 能满足 AP+PB最小. 【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出 AB 的垂直平分线与河岸交于点 P，则点 P 满足到 AB 的距离相等. （2）作出点 A 关于河岸的对称点 C，连接 CB，交于河岸于点 P，连接 AP，则点 P 能满足 AP+PB 最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点 P 在 CB 的连线上时，CP+BP 是最小的. 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短
31、问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键 题型五：题型五：体验真题体验真题 【真题 1】（2022 吉林长春 中考真题）如图，在ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ） AAFBF B12AEAC C90DBFDFB DBAFEBC 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得 DF 垂直平分 AB，BE 是ABC的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可 【详解】根据尺规作图痕迹，可得 DF 垂直平分 AB，BE 是ABC的角平分线， ,90 ,AFBFBDFABFCBE ， ,90ABFBAFDBFDFB ， BA
32、FEBC， 综上，正确的是 A、C、D 选项， 故选：B 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键 【真题 2】（2022 广西 中考真题） 如图， 是求作线段 AB中点的作图痕迹， 则下列结论不一定成立的是 （ ） AB45 BAEEB CACBC DABCD 【答案】A 【分析】根据中点的作图，可知 CD垂直平分 AB，再根据线段垂直平分线的性质进行作答即可 【详解】由题意得，CD垂直平分 AB， ,AEBE ACBC ABCD， 则 B、C、D 选项均成立， 故选：A 【点睛】本题考
33、查了线段中点作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键 【真题 3】（2022 内蒙古鄂尔多斯 中考真题）如图，在 ABC 中，边 BC 的垂直平分线 DE交 AB于点 D，连接 DC，若 AB3.7，AC2.3，则 ADC 的周长是 _ 【答案】6 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得 BDCD，进一步即可求出 ADC的周长 【详解】解：边 BC 的垂直平分线 DE交 AB于点 D， BDCD， AB3.7，AC2.3， ADC的周长为 AD+CD+ACAB+AC6， 故答案为：6 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键 【真题 4】（2022 内蒙
34、古通辽 中考真题）如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_ 【答案】60 【分析】先根据矩形的性质得出/AB CD，故可得出ABD 的度数，由角平分线的定义求出EBF的度数，再由 EF 是线段 BD 的垂直平分线得出EFB、BEF 的度数，进而可得出结论 【详解】解：如图， 四边形 ABCD为矩形， /AB CD， 60ABDCDB， 由尺规作图可知，BE平分ABD， 11603022EBFABD ， 由尺规作图可知 EF垂直平分 BD， EFB=90 ， 9060BEFEBF， =BEF=60 故答案为：60 【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）