1、25.1 比例线段比例线段 学习目标：学习目标： 1.学习并掌握比例线段的相关概念并学会运用. 2.掌握比例的性质，并能够运用比例的性质求值. 3.了解黄金分割的意义. 学习重点：学习重点：比例线段的概念及性质. 学习难点：学习难点：黄金分割的运用. 一、一、知识链接知识链接 1 .已知线段 AB 和 CD 的长度分别是 2cm,6cm,则 AB 和 CD 的比是_,表示为_. 2.小学里已学过了比例的有关知识，那么，什么是比例？怎样表示比例？说出比例中各部分 的名称，比例的基本性质是什么？ 二、二、新知预习新知预习 3.观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？理由是
2、什么？ 如果选用同一长度单位，图中每个长方形的长和宽分别是 a、b，则可得 123123;.aaabbb 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即我们就把这个四条线段叫做成比例线段成比例线段，简称比例比例线段，此时也成这四条线段成比例. 可知图中_，_，_，_是成比例线段，_，_，_，_不是成比例线段. 三、自学自测三、自学自测 自主学习自主学习 1.已知四条线段 a，b，c，d 的长度，试判断它们是否成比例？ (1)a16cm，b8cm，c5cm，d10cm；(2)a8cm，b5cm，c6cm，d10cm. 四、我的疑惑四、我的疑惑 _ 一、一、要点探
3、究要点探究 探究点探究点 1：成比例线段：成比例线段 例例 1 1：下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm，4cm，5cm，6cm B.4cm，8cm，3cm，5cm C.5cm，15cm，2cm，6cm D.8cm，4cm，1cm，3cm 【归纳总结】【归纳总结】判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【针对训练】【针对训练】 1.已知：四条线段 a、b、c、d，其中 a3cm，b8cm，c6cm. （
4、1）若 a、b、c、d 是成比例线段，求线段 d 的长度； （2）若 b、a、c、d 是成比例线段，求线段 d 的长度. 合作探究合作探究 2.在比例尺为 1：50 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m. 思路分析：根据比例尺=图上距离/实际距离，列方程求解. 探究点探究点 2：比例的性质：比例的性质 （一）（一）比例的基本性质比例的基本性质 问题问题 1：如果 a,b,c,d 四个数满足,那么 ad 和 bc 相等吗？并说明理由 答：_. 理由如下： b0，d0，bd_0. 在等式两边同时乘以 bd，得_. 即若，则 ad=bc. 问题问题 2：试说
5、出问题 1 中结论的逆命题，它是真命题吗？如何证明？ 逆命题是：如果 ad=bc,那么_. 请仿照问题 1 证明： 【归纳】比例的基本性质： 如果如果 ad=bc,ad=bc,那么那么_(b,d_(b,d0).0). 例例 2 2：已知a3b2b72，求ab的值. 解：解法 1：由比例的基本性质， 得_. a_b，ab_. 解法 2：(倒数法)由a3b2b72，得_7， _，ab_. 【归纳总结】【归纳总结】利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. （二）等比的性质（二）等比的性质 （1）我
6、们知道，由.21642321,634221可以得到 （2）试猜想： 并证明你的猜想. 【针对训练】【针对训练】 1.已知 a：b：c3：4：5，求2a3bcab的值. 2.已知abcdef2，且 bdf0，求a2c3eb2d3f的值. 3.若 a，b，c 都是不等于零的数，且abcbcacabk，求 k 的值. 探究点探究点 3：黄金分割：黄金分割 问题：问题： 1.如图，在五角星图案中， 用刻度尺分别测量线段 AC、BC 的程度， 然后计算， 它们的值相等吗？ 2.已知线段 AB 的长度为 1 个单位，在线段 AB 上找一点 C，使较短的线段 BC 与较长的线段 AC 的比等于 AC与原线段
7、的比，即使成立，求此时线段 AC 的长. 3.你能在线段上画出点 C 的大概位置吗？这样的点有几个？ 【归纳】【归纳】在线段 AB 上有一点 C，如果点 C 把 AB 分成的两条线段 AC 和 BC 满足，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 称为线段 AB 的黄金分割点，AC/AB 称为黄金分割点. 例例 3：已知 M 是线段 AB 的黄金分割点，MA 是被分线段 AB 中较长的线段，且 MA 51，求原线段 AB的长. 【归纳总结】【归纳总结】把一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系，只要知道其中一条线段的长度，就可以求出另外两条线段的长度. 【针对训练
8、】【针对训练】 1.已知线段 AB6，点 C 为线段 AB 的黄金分割点，求下列各式的值： （1）ACBC； （2）AC BC. 2.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60，她的身高为 1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 二、课堂小结二、课堂小结 比例线段 内容 运用策略 线段的比 在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b的比等于 c 与 d 的比， 即我们就把这个四条线段叫做成比例线段， 判断四条线段是否成比例，首先要将线段的单位同一，然后按照从小到大的顺序排列，计算前后两
9、个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 比例的性如果acbd，那么_; 把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母质 如果 ad=bc，那么_; 等比的性质：_. 的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法. 黄金分割 一条线段的的黄金分割点有_个； 黄金分割比为_. 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则 AC=_AB，BC=_AB. 1.下列各组数中一定成比例的是( ) A.2，3，4，5. B.-1，2，-2，4. C.-2, 1, 2，0. D.a，2b，c，2d. 2.已知一个比例式的比例外项为 m，n，比例内项为 p，
10、q，则下面所给的比例式正确的是( ) A. m：n=p：q B.m：p=n：q. C.m：q=n：p D.m：p=q：n. 3.若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AB2，则 AC( ) A 51 B3 5 C512 D 51 或 3 5 4.已知线段 x12cm，y4cm.线段 x 和 y 的比例中项为 a，则 a_cm. 5.已知三条线段的长度分别为 1cm， 2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式 6.已知a3b4c50. (1)若 abc24，求 a，b，c 的值；源:(2)求2a3bca的值 7.如图，已知线段 AB. (1)经过点 B 作 BDA
11、B，使 BD12AB. (2)连结 AD，在 DA 上截取 DEDB. (3)在 AB 上截取 ACAE. 请你根据以上作法，证明点 C 是线段 AB 的黄金分割点 当堂检测当堂检测 当堂检测参考答案：当堂检测参考答案： 1.B 2.D 3.D 4.4 3 5.所给的线段长为 xcm，则有 x122，x22；1x22，x 2； 122x，x2 2. 故再给出的一条线段长应为22cm 或 2cm 或 2 2cm. 6.(1)设a3b4c5k(k0)， 则 a3k，b4k，c5k， 所以 abc3k4k5k12k24， 解得 k2. 所以 a3k6，b4k8，c5k10. (2)由(1)得 a3k，b4k，c5k， 所以2a3bcak3k13. 7.设 AB2x，则 BDDEx，根据勾股定理，得 AD AB2BD2 （2x）2x2 5x， 则 ACAE 5xx( 51)x. ACAB512， 点 C 是线段 AB 的黄金分割点