1、【知识精讲】最短路径问题 初二 数学 上节课海伦回答了将军饮马问题，可我们同学们还不知道其中的奥秘，这节课将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 进而归纳出最短路径的数学思想。 这是一个实际问题这是一个实际问题, ,你打算首先做什么你打算首先做什么? ? 将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线. 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗? (1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和; (3)现在的问题是怎样找出使
2、两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图). 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B吗? 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小? 作法: (1)作点B 关于直线l 的对称点B; (2)连接AB,与直线l 相交于点C,则点C 即为所求. 如图所示: 你能用所学的知
3、识证明AC +BC最短吗? 证明:如图,在直线l 上任取一点C(与点C 不重合),连接AC,BC,BC. 由轴对称的性质知, BC =BC,BC=BC. AC +BC= AC +BC = AB, AC+BC= AC+BC. 在ACB中, AC+BCAB, 当只有在C点位置时, AC+BC最短. 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 某供电部门准备在输电主干线某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为上连接一个分支线路，分支点为M，同时向，同时向新落成的新落成的A，B两个居民小区送电两个居民小区送电 (1)如果居民小区如果居民小区A，B在主干线在主干线l的两旁，如的两旁，如图图
4、13.4-3，那么分支点，那么分支点M在什么在什么地方时总线路最地方时总线路最短短？ 解：解： (1)连接连接AB，与，与l的交点的交点即即 为所为所求分支点求分支点M； B A 13.4-3， l (2)作点作点B关于关于l的对称点的对称点B1， 连接连接AB1交交l于点于点M，点点 M即为分支点即为分支点 (2)如果居民小区如果居民小区A，B在主干线在主干线l的同旁，如图的同旁，如图13.4-4， 那么分支点那么分支点M在什么地方时总线路最短？在什么地方时总线路最短？ 解解： B A 13.4-4， l 如图如图13.4-5，牧马营地在点，牧马营地在点P处，每天牧马人要处，每天牧马人要赶着
5、马群先到草地赶着马群先到草地a上吃草，再到河边上吃草，再到河边b饮水，最饮水，最后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所走后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短的总路程最短 13.4-3， a b P 草地草地 河边河边 分析：分析： 要要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段，线段最短”，因最短”，因此需将三条线段转化到一条此需将三条线段转化到一条线段上线段上，为此作点，为此作点P关于直线关于直线a的对称点的对称点P1，作点，作点P关于关于直线直线b的对称点的对称点P2，连接，连接P1P2，分别交直线，分别交直线a，b于点于点A，B，连接，连接PA，PB，即得放牧所走的，即得放牧所走的最短路线最短路线 解解： 如图如图13.4-5，作点，作点P关于直线关于直线a的对称点的对称点P1，关于，关于 直线直线b的对称点的对称点P2，连接，连接P1P2，分别交直线，分别交直线a，b于于 点点A，B，连接，连接PA，PB.由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，PA P1A，PBP2B，所以先到点，所以先到点A处吃草，再到点处吃草，再到点B 处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走 的总路程最短的总路程最短