1、【复习课程】 等腰三角形 初二 数学 一一 等腰三角形等腰三角形 1.等腰三角形的有关概念：等腰三角形的有关概念： 2.等腰三角形的性质：等腰三角形的性质： 3.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定： 4.等腰三角形的面积等腰三角形的面积： 二二 等边三角形等边三角形 1.等边三角形的概念：等边三角形的概念： 2.等边三角形的性质：等边三角形的性质： 3.等边三角形的判定：等边三角形的判定： 4.等边三角形的面积：等边三角形的面积： 等腰三角形的有关概念等腰三角形的有关概念： 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另外一边叫做底 等腰三角形的边、角性质等腰三角形的边、角性质 等腰三角
2、形等腰三角形的两底角相等的两底角相等(简写成简写成“等边对等角等边对等角”) 要点精析：要点精析： (1) 适用条件：必须在同一个三角形中 (2) 应用格式：在ABC中，因为ABAC，所以B C. (3) 作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便 解题指南解题指南 1在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角时时，要看给出的角是否要看给出的角是否确定为确定为顶角或底角顶角或底角若已若已确定确定，则直接利用三角形则直接利用三角形的内角的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶和定理求解；若没有指出所给的角是顶角角还是还是底角底角，要分两种情况讨论要分两种情况讨论，并看是
3、否符合并看是否符合三角形三角形内角和定理内角和定理 2若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此则此角必为顶角角必为顶角 等腰三角形的“三线合一”等腰三角形的“三线合一” 推论推论：等腰三角形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及顶角的平分线、底边上的中线及底边底边上的高线上的高线互相重合互相重合(简写成“简写成“三线合一三线合一”) 要点精析：要点精析： (1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组定理组定理，应用过程中，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下在三角形是等腰三角形前提下，“顶角，“顶角
4、的平分线、底边上的中线、底边的平分线、底边上的中线、底边上的高线”上的高线”只要只要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线” (2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法重要方法，应用，应用广泛广泛 (3)对称性：等腰三角形是轴对称图形对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线顶角平分线(或底边上的高线或底边上的高线、底底边上的中线边上的中线)所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴 (4)应用格式：如图应用格式：如图，在在ABC中中， ABAC，ADBC， AD平分平分BAC(或或BDCD)
5、； ABAC，BDDC， ADBC(或或AD平分平分BAC)； ABAC，AD平分平分BAC， BDDC(或或ADBC) (1)利用等腰三角形的“三线合一”证明角相等、线段相等和垂直关系是一利用等腰三角形的“三线合一”证明角相等、线段相等和垂直关系是一种既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一种既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应的，所以“三线合一”的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活用要灵活 (2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，
6、利用“三线合一”利用“三线合一”是等腰三是等腰三角形中常用的方法角形中常用的方法 解题指南解题指南 等边三角形等边三角形的性质：的性质： (1) 等边三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等； (2) 等边三角形的三个内角都等边三角形的三个内角都相等相等，并且每个角都，并且每个角都等于等于60； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别分别为三边的垂直平分线；为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度长度相等相等 利用等边三角形的性质利用等边三角形的性质求角的度数求角的度数
7、时时，通过利用等边三角形的三个内通过利用等边三角形的三个内角都相等角都相等，并且每一个角都等于并且每一个角都等于60的性质的性质，找出要求角与已知角间找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决 运用等边三角形性质证明线段相等的方法：运用等边三角形性质证明线段相等的方法： 把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或等边三角形或者放到两或者放到两个三角形中，利用个三角形中，利用全等三角形全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相的性质证明；注意等边三角
8、形的三个内角相等等、三、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件条边相等、三线合一是隐含的已知条件 解题指南解题指南 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 1判定定理：有两个角相等的三角形是判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形等腰三角形(简称等角对等边简称等角对等边) 应用应用格式：在格式：在ABC中中，BC, ABAC. 2等腰三角形的判定与性质的异同等腰三角形的判定与性质的异同 相同点：都是在一个三角形中相同点：都是在一个三角形中； 区别区别：判定是由角到边：判定是由角到边，性质是由边到角性质是由边到角 易易错警示错警示： (1) 等腰三角形等腰三角形的判定定理能够证明同一个三角形中的判定定
9、理能够证明同一个三角形中的两边的两边相等相等，在没有证在没有证明出是等腰三角形时明出是等腰三角形时，不能不能使用使用诸如诸如“顶角顶角”“”“底角底角”“”“腰腰”或或“底底边边”等词等词 (2) “等角对等边等角对等边”只限于在同一个三角形中只限于在同一个三角形中，若两若两个三角形个三角形中的两个角相中的两个角相等等，则它们所对的边不一则它们所对的边不一定相等定相等 (3) 在等腰三角形中在等腰三角形中，顶角可取锐角顶角可取锐角、直角或钝角直角或钝角，而而底角只能是锐角底角只能是锐角，若若顶角为顶角为，则两个底角都是则两个底角都是 (180) 等边三角形的判定等边三角形的判定 1判定定理判定
10、定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定定理判定定理2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 2应用注意事项：应用注意事项： 判定定理判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理判定定理2适用的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择适当的方法 证明一个三角形是等边三角形的方法：证明一个三角形是等边三角形的方法： (1)若已知三边关系若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；则选用等边三角形定义来判定； (2)若已知三角关系若已知三角关系，则选用则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形”来来判定；判定； (3)若已知是等腰三角形若已知是等腰三角形，则
11、选用则选用“有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形”来判定来判定 解题指南解题指南 性质：性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于，那么它所对的直角边等于 斜边的一半斜边的一半 要点精析：要点精析： (1)适用条件适用条件含含30角的直角三角形，角的直角三角形， (2)揭示的关系揭示的关系30角所对的直角边与斜边的关系角所对的直角边与斜边的关系 含含3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质 易错警示：易错警示： (1)运用这一定理时需正确找到运用这一定理时需正确找到30角的对边和斜边角的对边
12、和斜边 (2)此性质的大前提是“在直角三角形中”，在证题时，如果只知道一个此性质的大前提是“在直角三角形中”，在证题时，如果只知道一个三角形中有一个角为三角形中有一个角为30，就说这个角的对边等于另一边的一半是错，就说这个角的对边等于另一边的一半是错误的，它是直角三角形特有的性质误的，它是直角三角形特有的性质 【重点】 1.等腰三角形的性质. 2.等腰三角形的判定. 【难点】 1.等腰三角形的性质的证明. 2.应用本章的知识证明或者解决有关的问题. 等腰三角形的问题是中考的必考点，考查方式以填空题、选择题和中档解答题为主主要考查等腰三角形边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系及线段之间的关系，同学们注意观察、总结 等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 . 解：解： 当腰是6时，则另两边是4，6，且4+66，满足三边关系定理； 当底边是6时，另两边长是5，5，5+56，满足三边关系定理。 故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5。 答案:5,5或6,4 若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为 . 【解析】由于等腰三角形中已知的内角可能是顶角,也可能是底角.故分类讨论,求解. 解： （1）若等腰三角形一个底角为50，顶角为180-50-50=80； （2）等腰三角形的顶角为50 因此这个等腰三角形的顶角的度数为50或80 答案:50或80