1、【复习课程】二次函数的图象和性质 初三 数学 二次函数的图象和性质知识结构 二次函数的定义二次函数的定义 二次函数二次函数y=axy=ax +k+k的图象和性质的图象和性质 二次函数二次函数y=a(xy=a(x- -h)h) 型的图象和性质型的图象和性质 二次函数二次函数y=axy=ax 的图象和性质的图象和性质 二次函数二次函数y=ay=a（x x- -h h） +k+k图象和性质图象和性质 用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式 二次函数二次函数y=axy=ax +bx+c+bx+c的图象和性质的图象和性质 一般一般地，形如地，形如yax2 2bxc( (a，b，c是常数
2、，是常数，a0)0)的函数，叫做二次的函数，叫做二次函数函数( (quadratic function) )其中，其中，x是自变量，是自变量，a，b，c分别是函数解析分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项式的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)(1)二次函数必须满足三个条件：二次函数必须满足三个条件： 函数解析式为整式函数解析式为整式； 函数解析式有唯一的自变量；函数解析式有唯一的自变量； 解析式自变量的最高次数是解析式自变量的最高次数是2 2且二次项且二次项系数不系数不等于等于0.0. (2)(2)二次函数中自变量的取值范围是二次函数中自变量的取值范围是一切实数一切实数，函数函数
3、值范围不是一切实数值范围不是一切实数 二次函数的定义二次函数的定义 1.1.根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几个步骤：根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历以下几个步骤： (1)(1)确定自变量与函数代表的实际意义；确定自变量与函数代表的实际意义； (2)(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式 (3)(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式将方程或等式整理成二次函数的一般形式 2.2.易错警示：易错警示： 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，但对实际问题的自一般情况下，二次
4、函数中自变量的取值范围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必须使实际问题有意义变量的取值范围必须使实际问题有意义 二次函数的定义二次函数的定义 二次函数二次函数y=axy=ax 的图象和性质的图象和性质 用描点法画二次函数的图象的步骤：列表，描点，连线用描点法画二次函数的图象的步骤：列表，描点，连线. . y=axy=ax ，a a0 0 y=axy=ax ，a a0 0 一般地，当一般地，当a00时，抛物线时，抛物线yax2 2的开口向上，的开口向上， 对称轴是对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最 低点，低点，a越大，抛物线的开口越小越大，抛物线的
5、开口越小 数数形结合形结合思想：思想：根据根据解析式中的“数”解析式中的“数”a的符号和绝对值大小来决定抛物线的符号和绝对值大小来决定抛物线这个“形”的开口方向和开口大小这个“形”的开口方向和开口大小. . a为正数时，抛物线开口向上；为正数时，抛物线开口向上；a为负数为负数时，抛物线开口时，抛物线开口向向下；下；a的绝对值越大，抛物线开口越小的绝对值越大，抛物线开口越小 二次函数二次函数yax2 2的的性质性质： 如果如果a00，当，当x000时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大； 如果如果a00，当，当x000时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 二次函数二次函数y=axy=ax
6、的图象和性质的图象和性质 二次函数二次函数y=axy=ax +k+k的图象和性质的图象和性质 二次函数二次函数y= =ax2 2+ +k的图象的图象 （1 1）抛物线）抛物线yax2 2k开口方向由开口方向由a决定决定， 当当a00时时，开口向上，当，开口向上，当a000时，函数有最小值时，函数有最小值k，当，当a000，当，当x000时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大； 如果如果a00， 当当x000时，时，y随随x 的增大的增大而减小而减小. . y=x2-1 y=x2 y=x2+1 y=-x2+1 x 二次函数二次函数y=axy=ax +k+k的图象和性质的图象和性质 （1 1）一
7、般地，抛物线）一般地，抛物线y= =ax2 2+ +k与与y= =ax2 2形状相同，位置不同；形状相同，位置不同； （2 2）抛物线）抛物线y= =ax2 2+ +k可由抛物线可由抛物线y= =ax2 2平移平移|k|k|个个单位长度得单位长度得 到（当到（当k00时，向上平移；当时，向上平移；当k000时，开口向上；当时，开口向上；当 a000时，开口向上，当时，开口向上，当a000时，函数有最小值时，函数有最小值0 0，当，当a00 0 ，当，当x h时，时，y随随x的增大而增大，的增大而增大， 如果如果a0 0 ，当，当x h时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小. . y=y= y
8、=y= 二次函数二次函数y=ay=a（x x- -h h） +k+k图象和性质图象和性质 一般一般地，抛物线地，抛物线ya( (xh) )2 2k与与yax2 2形状相同，位置不同把抛物线形状相同，位置不同把抛物线yax2 2向上向上( (下下) )向左向左( (右右) )平移，可以平移，可以得到抛物线得到抛物线ya( (xh) )2 2k. .平移的平移的方向、距离要根据方向、距离要根据h，k的值来决定的值来决定 二次函数二次函数y=ay=a（x x- -h h） +k+k图象和性质图象和性质 抛物线抛物线ya( (xh) )2 2k有如下特点：有如下特点： (1)(1)当当a00时，开口向
9、上；当时，开口向上；当a000时，函数有最小值时，函数有最小值k，当，当a000，当，当x h时，时，y随随x的增大而增大；如果的增大而增大；如果a00， 当当x h时，时，y 随随x的增大而减小的增大而减小 二次函数二次函数y=ay=a（x x- -h h） +k+k图象和性质图象和性质 将抛物线y=ax2先向上或向下平移|k|个单位长度(k0时,向上平移;k0时,向右平移;h0时,向左平移),就可以得到抛物线y=a(x-h)2+k,当然也可以先左、右移,再上、下移. 二次函数二次函数y=axy=ax +bx+c+bx+c的图象和性质的图象和性质 一般形式的二次函数一般形式的二次函数y= =
10、ax2 2+ +bx+ +c（a00）都可以通过配方转化成）都可以通过配方转化成y= =a( (x- -h) )2 2+ +k的形式，即的形式，即 ，因此二次函数，因此二次函数y= =ax2 2+ +bx+c（a00）的图象都可以通过二次函数）的图象都可以通过二次函数y= =ax2 2的图象平移得到的图象平移得到. . 22424bacbya xaa .2:abx它的对称轴是直线二次函数二次函数y=ax +bx+c的图象的图象是是 一一条抛物线条抛物线. . ），它的顶点是：（2442abacab2(0)yaxbxca2bxa O x y 2(0)yaxbxca2bxa O x y 二次函数二
11、次函数y=axy=ax +bx+c+bx+c的图象和性质的图象和性质 二次函数二次函数y= =ax2 2+ +bx+ +c的图象与性质：的图象与性质： yax2 2bxc( (a0)0) yax2 2bxc( (a0)0) (1)(1)开口方向开口方向 向上向上 向下向下 (2)(2)顶点坐标顶点坐标 (3)(3)对称轴对称轴 直线直线x 直线直线x (4)(4)增减性增减性 当当x 时，时，y随随x的增大的增大而减小；当而减小；当x 时，时， y随随x的增大而增大的增大而增大 当当x 时，时，y随随x的增大的增大而增大；当而增大；当x 时，时， y随随x的增大而减小的增大而减小 (5)(5)
12、最值最值 当当x 时，时，y有最小值，有最小值，为为 当当x 时，时，y有最大值，有最大值，为为 24,24bacbaa 24,24bacbaa 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 2ba 244acba 244acba 二次函数二次函数y=axy=ax +bx+c+bx+c的图象和性质的图象和性质 用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式 已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式； 而用一般式求待定系数要经历以下而用一般式求待定系数要经历以下四四步：步： 第一步：设一般式第一步：设一般式yax2 2bxc； 第
13、二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一 个三元一次方程组；个三元一次方程组； 第三步：解方程组即可求出第三步：解方程组即可求出a，b，c的值的值； 第四步：写出函数解析式第四步：写出函数解析式. . 用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式 当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式式y= =a( (x- -h) )2 2+ +k，由顶点坐标可，由顶点坐标可直接得出直接得出h，k的的值，再将另一点的坐标代入即可求出值，再将另一点的坐标代入即可求出a的值的值. . 当当已知已知二次函数二次函数图象与图象与
14、x轴的交点为轴的交点为( (x1 1,0),(,0),(x2 2,0),0)时时, ,可设所求函数解析可设所求函数解析式为式为y=a( (x- -x1 1)()(x-x2 2),),代入即可求出代入即可求出a a 已知二次函数图象的顶点为已知二次函数图象的顶点为(2,(2,- -4),4),且与且与y轴交于点轴交于点(0,3),(0,3),求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式. . 解解: :设所求二次函数的解析式为设所求二次函数的解析式为y=a( (x- -2)2)2 2- -4 4. . 已知函数图象经过点已知函数图象经过点(0,3),(0,3),所以所以4a-4=3. 解得解得 7.4a 所以所求二次函数的解析式为所以所求二次函数的解析式为 2277(2)4,73.44yxyxx即在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的 增大而增大,则x的取值范围是（ ） A.x1 C.x-1 解析解析: : 由由题可知该二次函数的图象的对称轴为直线题可知该二次函数的图象的对称轴为直线x=1,a=-10, ,所以在对称轴的所以在对称轴的左侧左侧, ,y随随x的增大而增大的增大而增大, ,所以所以x1 1. .故选故选A A. .