1、【知识精讲】一元二次方程根的判别式 初三 数学 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？方程的根的情况是由什么决定的？课海知识精讲课堂为你拨开层层谜团。 一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？ 用公式法解下列方程 (1) 2x2+4x-1=0 (2) (3)5x-3=3x2 用公式法解一元二次方程，首先把它化为一般形式，然后代入公式即可 分析：分析： 222 210 xx (1)a=2，b=4，c=- -1 =b2- -4ac= 42- -
2、42(- -1)=240 解解： 42442 6262224x, 12262622xx. ， (1) 2x2+4x-1=0 (2)a=2,b=-2 2,c=1, b2-4ac=(-2 2)2-421=0, x= 2 2 04=22 方程有两个相等的实数根, 222 210 xx (2) (3) 整理得整理得3x2 - -5x+3=0 a=3，b= - -5 ，c=3 =b2- -4ac= 25- -433= - -110 此方程无实根此方程无实根. 由以上三个题目可以看出，方程由以上三个题目可以看出，方程ax2+bx+c=0,(a0) 的的根的情况由根的情况由b2- -4ac决决定定：把：把b
3、2- -4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0,(a0)的的根的根的判别式，根的判别判别式，根的判别式通常用希腊字母式通常用希腊字母表示，即表示，即 = b2- -4ac. (3)5x-3=3x2 要点精析：要点精析： (1)根的判别式是在用配方法解一元二次方程的一般形式时，因为根的判别式是在用配方法解一元二次方程的一般形式时，因为b24ac的值决定了一元二次方程根的情况，所以将的值决定了一元二次方程根的情况，所以将b24ac命名为根的判别式命名为根的判别式 (2)计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定计算根的判别式时，先将方程化成一般形式，确定a，b，c后再计算后再
4、计算 一元二次方程的根的判别方法一元二次方程的根的判别方法 你能说出一元二次方程你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况具体有哪几种，又是的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？如何判别的吗？ 一元二次方程的根的个数的判断方法：一元二次方程的根的个数的判断方法： (1)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)有两个不有两个不相等的相等的实数根；实数根； (2)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)有两个有两个相等的实数相等的实数根；根； (3)当当0时，方程时，方程ax2bxc0(a0)无实数根无实数根 这个结论告诉我们，只要算出一元二次方程这个结论告诉我们，只要
5、算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。的判别式的值，就可以由它的符号直接判别方程根的情况。 解题小窍门：解题小窍门： 若一元二次方程若一元二次方程ax2bxc0(a0)的左边是一的左边是一个完全个完全平方式，右边是平方式，右边是零，则该方程有两个相等的零，则该方程有两个相等的实数实数根；根； 若方程中若方程中a，c异号，或异号，或b0且且c0时，则该方程时，则该方程有两有两个不相等的实数根；个不相等的实数根； 当方程中当方程中a，c同号，必须通过同号，必须通过的符号来判断根的符号来判断根的情况的情况 已知已知一元二次方程一元二次
6、方程2 2x x2 25 5x x3 30 0，则该则该方程根的情况是方程根的情况是( ( ) ) A A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C C两个根都是自然数两个根都是自然数 D D无实数根无实数根 已知已知一元二次方程一元二次方程2 2x x2 25 5x x3 30 0，则该则该方程根的情况是方程根的情况是( ( ) ) A A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C C两个根都是自然数两个根都是自然数 D D无实数根无实数根 根据一元二次方程算出根据一元二次方程算出b b2 24 4a
7、cac的值的值，根据根据b b2 24 4acac的的 值判断根的情况值判断根的情况b b2 24 4acac( (5 5) )2 24 42 23 31 10 0， 所以方程有两个不相等的实数根所以方程有两个不相等的实数根故选故选A A. . 解析：解析： 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(k2)x2k0的根的情况是的根的情况是( ) A有两个不相等的实根有两个不相等的实根 B总有实根总有实根 C有两个相等的实根有两个相等的实根 D没有实根没有实根 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2(k2)x2k0的根的情况是的根的情况是( ) A有两个不相等的实根有两个不相等的实根 B总有实根总有实根 C有两个相等的实根有两个相等的实根 D没有实根没有实根 解析：解析： 判别一元二次方程根的情况判别一元二次方程根的情况，主要看根的判别式与零的大小关系主要看根的判别式与零的大小关系 (k2)242kk24k48k k24k4(k2)20， 方程总有实根方程总有实根