1、5.1.2 垂线（1）,问题1：如右图， （1）AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？,（2）AOC的邻补角有几个？ 是哪几个角？,问题2：如下图，当AOC90时，BOD、AOD、BOC等于多少度？为什么？,在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当 =90时,a与b垂直.,当b的位置变化时,a、b所成的角也会发生变化.,当 90时,a与b不垂直，叫斜交.,两条直线相交,斜交,垂直,垂直是相交的特殊情况,观察思考,）,a,b,b,b,b,b,）,1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。,
2、例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。,一、垂直的定义,从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。,b,a,用“”和直线字母表示垂直,O,2.垂直的表示：,例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：,ab或ba,若要强调垂足，则记为：ab, 垂足为O.,或ab于O.,F,E,M,N,O,记作： MNEF , 垂足为O.或者MNEF于o,A,B,O,E,记作： ABOE垂足为O.或者ABOE于O,AOC=90（已知），ABCD（垂直的定义）,如果直线AB、CD 相交于点O，AOC=90 （或其它三个角中的一
3、个角等于90），那么 ABCD.,这个推理过程可以写成：,ABCD（已知），AOC90（垂直的定义）,如果ABCD，那么所得的四个角中，必有一个是直角. 这个推理过程可以写成:,A,B,C,D,O,3.垂直的书写形式：,日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.,你能再举出其他例子吗?,方格本的横线和竖线,铅垂线和水平线,1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （ ）个 （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条
4、直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1,A,例题：,例2: 如图ABCD垂足为O,COF=56， 求AOE？,解：ABCD（已知）COB=90（垂直的定义）BOF= COBCOF=9056=34 AOE=BOF=34（对顶角相等）答：AOE=34.,?,56,例3：如图：直线AB和 CD相交于点O,OE A, OF ,OF=40,求OE和AOC的度数,40,?,1,例4：如图，已知为一直线，： ：，平分，（）求的度数；（）判断与的位置关系,45,45,90,看谁做得快,1.若直线m、n相交于点O， 190，则_。2
5、.若直线AB、CD相交于点O，且ABCD，那么BOD_。3.如图，BOAO，BOC与BOA的度数之比为1:5，那么COA_,BOC的补角为_度。,mn,90,72,162,4. 如图，直线AB、CD相交于点O， OEAB， 1=125,求COE的度数.,A,C,E,B,D,O,1,）,125,?,解：OEAB（已知）BOE=90（垂直的定义） BOC=1=125（对顶角相等）COE= BOCBOE=12590=35答：COE=35.,二、垂线的画法,问题： 怎么样画垂线？,1.垂线的画法：,问题： 这样画m的垂线可以画几条？,1靠、2画线,m,O,如图，已知直线 m,作m的垂线。,工具：三角板
6、（或量角器）,A,无数条,1.垂线的画法：,m,A,如图，已知直线m和m上的一点A ,作m的垂线.,B,3画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.,2移:移动三角板到已知点;,1靠:把三角板的一直角边靠在直线上;,则所画直线AB是过点A的直线m的垂线.,1.垂线的画法：,m,A,如图，已知直线 m 和m外的一点A ,作m的垂线.,B,则所画直线AB是过点A的直线m的垂线.,思考:,结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。,(1)画已知直线m的垂线能画几条? (2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?,垂线的性质,垂线的性
7、质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,问题：（1）“过一点”包括几种情况？（2）“有且只有”是什么意思？,直线上的一点,直线外的一点,有： 存在性,只有：唯一性,课堂练习,1.过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）.,A B C D,C,2. 过点P作线段或射线所在直线的垂线,A,B,.,.,.P,(1),.,O,.P,.A,(2),注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.,E,E,E,注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.,（P5页第2题）,1.如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。,2
8、.如图，过P分别作OA、 OB的垂线。,O,A,B,P,D,E,F,M,N,解：如图、ADBC于D、BEAC于E、CFAB于F,解：如图、PMOA于M、PNOB于N,能力提高,1填空题,(1)过一点_与已知直线垂直.,(2)当_时，称这两条直线互相垂直，其中一条直线 叫做另一条直线的_，它们的交点叫做_.,课堂小测,解：135，255（已知）,垂直, AOE18012 180355590,OEAB (垂直的定义),2、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若135，255，则OE与AB的位 置关系是,C,D,A,B,O,E,1,2,3、如图 ，已知AB. CD相交于O, OECD于O
9、,AOC=36，则BOE=（ ）,（A）36 (B) 64 (C)144 (D) 54,36,?,D,通过本堂课的学习, 你掌握了什么内容? 收获了哪些？,感悟与反思,1、垂直的概念：如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角,就说这两条直线互相垂直.,小结：,2、垂线的性质1：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,4、能过一点作出直线（或线段、射线）的垂线,3 、画垂线的方法：用工具（量角器、三角板） 不用工具（“折”）,两条直线相交,一般情况,垂线,对顶角：相等,邻补角：互补,垂线的存在性和唯一性,特殊情况,相交成直角,作业,1、课本P8页第3、4、5、6 题,2、数学练习册P3-6页,