1、第二十第二十三三章章旋转旋转 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分) ) 1.1.(2021 江苏宿迁中考)对称美是美的一种重要形式，它能给予人们一种圆满、协调的美感，下列图形属于中心对称图形的是 ( ) 2.2.(2022 河南安阳期中)如图，在 RtABC 中，BAC90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABC(点 B 的对应点是点 B,点 C 的对应点是点 C),连接 CC.若CCB32，则ACB的度数是 ( ) A.13B.15C.32D.77 3.3.(2022 独家原创)若 a12022,b20221,c(1)2022,d20221
2、,则平面直角坐标系内的点 A(a,b)与点 A(c,d)关于( ) A.y 轴对称 B.x 轴对称 C.原点对称 D.直线 x1 对称 4.4.如图，四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心为点 O,过点 O 的直线与 AD、BC 分别交于点 E、F,则图中相等的线段有( ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 5.5.(2022 独家原创)如图，点 0 是ABCD 的对角线的交点，分别以 AB,CD 为斜边，向外作 RtABE 和RtCDF,且 RtABE 和 RtCDF 关于点 0 对称，连接 EF.若 AB6,BC8,则 EF 的最大值为( ) A.10B.12C.14D.
3、16 6.6.如图，若正方形 EFGH 是由正方形 ABCD 绕某点旋转得到的，则可以作为旋转中心的是( ) A.点 M 或点 O 或点 NB.点 E 或点 O 或点 CC.点 E 或点 O 或点 ND.点 M 或点 O 或点 C 7.7.(2021 河南焦作武陟模拟)如图，在OAB 中，OAOB,点 A 的坐标为(5,0)，P 是 OA 上一动点，将点P 绕点 C(0,1)逆时针旋转 90，当点 P 的对应点 P落在 AB 边上时，点 P的坐标为( ) A.(1,4)B.(4,1)C.(2,3)D.(3,2) 8.8.如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一动点，连接 BD,将BCD 绕
4、点 B 逆时针旋转 60得到BAE,连接 ED,若 BC1O,则AED 的周长的最小值是( ) A.10B.10 3 C.10+5 3 D.20 9.9.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A 在第一象限，点 B,C 的坐标分别为(2,1)，(6,1)，BAC90，ABAC,直线 AB 交 y 轴于点 P,若ABC 与ABC关于点 P 成中心对称，则点 A的坐标为( ) A.(4,5)B.(5,4)C.(3,4)D.(4,3) 10.10.(2022 河南驻马店确山期中)如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，OAOB2,AD4 2 ,将矩形 ABCD 绕点 O
5、顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为( ) A.(6,4)B.(6,4)C.(4,6)D.(4,6) 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分) ) 11.11.在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中，ABC 的顶点都在格点上，将ABC 绕点 O 按顺时针方向旋转得到ABC,若使ABC的顶点也在格点上，则其旋转角的度数至少为_ 12.12.(2022 湖北武汉武昌月考)已知点 A(a,3)与点 B(4,b)关于原点 0 对称，则 ab_ 13.13.(2022 独家原创)如图所示的所有小正方形均全等，已有 7
6、 个小正方形被涂黑，再涂黑一个小正方形，使涂黑部分是中心对称图形，则能被涂黑的小正方形是_.(填序号) 14.14.(2022 江苏连云港灌云期中)如图，在ABC 中，ACB90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ADE,连接 BD,若 AC3,DE1,则 BD2_。 15.15.(2022 湖北孝感安陆期中)如图，AOB 中，AOAB,点 A 的坐标为(3,4)，点 B 在 x 轴上，将AOB绕点 B 按顺时针方向旋转，得到AOB,若点 A在线段 OB 的延长线上，则点 O的坐标为_. 16.16.(2022 黑龙江大庆肇源期末)如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 PA3,
7、PB4,PC5,以 BC 为边在ABC 外作BOCBPA,连接 PQ,则以下结论中正确是_.(填序号)BPQ 是等边三角形，BQC 可看作由BPA 绕点 B 顺时针旋转 60得到，PCQ 是直角三角形，APB150，APC120 三、解答题三、解答题( (共共 4646 分分) ) 17.17.(8 分)如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,4),B(0,3),C(2,1). (1)画出ABC 关于原点中心对称的A1B1C,并写出点 C1的坐标； (2)画出将A1B1C1绕点 C1按顺时针方向旋转 90所得的A2B2C1 18.18.(8 分)如图，在 44 的方格
8、纸中，ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形； (2)在图中，画出一个与ABC 成轴对称且与ABC 有公共边的格点三角形； (3)在图中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形. 19.19.(2022 湖北咸宁赤壁期中)(10 分)如图，在正方形 ABCD 内作EAF45，AE 交 BC 于点 E,AF 交CD 于点 F,连接 EF,将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABG. (1)求证：EAGEAF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 6，DF3,求 BE 的长. 20.20.(2021 山东临沂沂南期中)(10
9、分)如图，菱形 ABCD 有一个内角等于 60，将MAN 的顶点与该菱形的顶点 A 重合，以点 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转MAN,使它的两边分别交 CB、DC 于点 E、F,已知MAN60 (1)如图，当 BEDF 时，AE 与 AF 的数量关系是_。 (2)旋转MAN,如图，当 BEDF 时，(1)中的结论是否还成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. 21.21.(10 分)如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形2 2 OAOMON ,AOBMON90 (1)如图 a,连接 AM,BN,求证：AOMBON； (2)若将MON 绕点 0 顺时针旋转，如图 b,当点 N 恰
10、好在 AB 边上时，求证：BN2+AN22ON2； 当点 A、M、N 在同一条直线上时，若 OB4,ON3,请直接写出线段 BN 的长. 第二十三章旋转第二十三章旋转 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 3 3 分，共分，共 3030 分分) ) 1.1.(2021 江苏宿迁中考)对称美是美的一种重要形式，它能给予人们一种圆满、协调的美感，下列图形属于中心对称图形的是( ) 【答案】A 【解析】观察图形可知，选项 A 中图形绕圆心旋转 180后能与自身重合，是中心对称图形，其他图形只是轴对称图形. 2.2.(2022 河南安阳期中)如图，在 RtABC 中，BAC90，将ABC 绕点 A
11、顺时针旋转 90，得到ABC(点 B 的对应点是点 B,点 C 的对应点是点 C),连接 CC.若CCB32，则ACB的度数是( ) A.13B.15C.32D.77 【答案】A 【解析】将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABC,ACAC,CAC90，BCAACB,ACC是等腰直角三角形，ACC45，ACBACCCCB453213，ACBACB13 3.3.(2022 独家原创)若 a12022,b20221,c(1)2022,d20221,则平面直角坐标系内的点 A(a,b)与点 A(c,d)关于( ) A.y 轴对称 B.x 轴对称 C.原点对称 D.直线 x1 对称 【答案】C
12、【解析】a120221,b2022112022 ,c(1)20221,d2022112022 ,A(1,12022 )与 A(1,12022 )关于原点对称. 4.4.如图，四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心为点 O,过点 O 的直线与 AD、BC 分别交于点 E、F,则图中相等的线段有( ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 【答案】C 【解析】如图，连接 AC、BD,四边形 ABCD 是中心对称图形，对称中心为点 O,AC、BD 的交点为点O,OAOC,OBOD,四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD,BCAD,易知 OEOF,AECF,BFDE,题图中相等的线段共
13、有 5 对.故选 C. 5.5.(2022 独家原创)如图，点 0 是ABCD 的对角线的交点，分别以 AB,CD 为斜边，向外作 RtABE 和RtCDF,且 RtABE 和 RtCDF 关于点 0 对称，连接 EF.若 AB6,BC8,则 EF 的最大值为( ) A.10B.12C.14D.16 【答案】C 【解析】如图，取 AB 的中点 G,连接 EG,OG,AC.点 0 是ABCD 的对角线的交点，点 O 是 AC 的中点，OG 是ABC 的中位线.BC8,OG12 BC4.点 G 是 RtABE 斜边 AB 的中点，AB6,EG12 AB3.OEEG+OG3+47,当点 E、G、0
14、在一条直线上时，OE 有最大值，为 7.又RtABE 和 RtCDF 关于点 0 对称，OEOF,EF 的最大值为 2714. 6.6.如图，若正方形 EFGH 是由正方形 ABCD 绕某点旋转得到的，则可以作为旋转中心的是( ) A.点 M 或点 O 或点 NB.点 E 或点 O 或点 CC.点 E 或点 O 或点 ND.点 M 或点 O 或点 C 【答案】A 【解析】若以点 M 为旋转中心，把正方形 ABCD 顺时针旋转 90，则 A 点的对应点为 H,B 点的对应点为 E,C 点的对应点为 F,D 点的对应点为 G,则可得到正方形 EFGH；若以点 O 为旋转中心，把正方形ABCD 旋转
15、 180，则 A 点的对应点为 G,B 点的对应点为 H,C 点的对应点为 E,D 点的对应点为 F,则可得到正方形 EFGH；若以点 N 为旋转中心，把正方形 ABCD 逆时针旋转 90，则 A 点的对应点为 F,B点的对应点为 G,C 点的对应点为 H,D 点的对应点为 E,则可得到正方形 EFGH.故选 A. 7.7.(2021 河南焦作武陟模拟)如图，在OAB 中，OAOB,点 A 的坐标为(5,0)，P 是 OA 上一动点，将点P 绕点 C(0,1)逆时针旋转 90，当点 P 的对应点 P落在 AB 边上时，点 P的坐标为( ) A.(1,4)B.(4,1)C.(2,3)D.(3,2
16、) 【答案】A 【解析】如图，作 PHBC 于点 H,将点 P 绕点 C(0,1)逆时针旋转 90得点 P,PCPC,PCP90，PCO+PCH90.PCO+OPC90，OPCHCP,又COPCHP,PCPC,OPCHCP(AAS),PHOC1.OAOB,AOB90，OBA45，PHBC,HPB45，OBAHPB,BHHP1,OHOBBH4,P(1,4). 8.8.如图，在等边ABC 中，D 是边 AC 上一动点，连接 BD,将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60得到BAE,连接 ED,若 BC1O,则AED 的周长的最小值是( ) A.10B.10 3 C.10+5 3 D.20 【答案】C
17、【解析】如图，作 BFAC 于点 F,ABC 是等边三角形，BC10,AC10,AFFC5.在 RtBFC中，BF BC2FC2 10252 5 3 .将BCD 绕点 B 逆时针旋转 60得到BAE,BDBE,DBE60，CDAE,DBE 是等边三角形，BDDE,AED 的周长AE+AD+DECD+AD+BDAC+BD,当 BD 最小，即 BDBF53 时，AED 的周长最小，最小值AC+BF10+5 3 .故选 C. 9.9.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A 在第一象限，点 B,C 的坐标分别为(2,1)，(6,1)，BAC90，ABAC,直线 AB 交 y 轴于点 P,若ABC
18、 与ABC关于点 P 成中心对称，则点 A的坐标为( ) A.(4,5)B.(5,4)C.(3,4)D.(4,3) 【答案】A 【解析】如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D,交 BC 于点 E,则 AEBC.点 B,C 的坐标分别为(2,1)，(6,1)，BC624,DE1,ABAC,AEBC,BEECBC2,OD624,BAC90，AE12 BC2,ADAE+DE3,A(4,3).设直线 AB 的解析式为 ykx+b(k0)，直线 AB 经过A(4,3),B(2,1)两点，34k+b12k+b ,解得k1b1 ,直线 AB 的解析式为 yx1,当 x0 时，y1,P(0,1),ABC 与A
19、BC 关于点 P 成中心对称，点 P 为 AA的中点，设 A(x,y),则 0 x+42 ,13+y2 ,解得 x4,y5,A(4,5).故选 A. 10.10.(2022 河南驻马店确山期中)如图，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，OAOB2,AD4 2 ,将矩形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为( ) A.(6,4)B.(6,4)C.(4,6)D.(4,6) 【答案】C 【解析】如图，作 CEy 轴于点 E,连接 OC.OAOB2,ABOBAO45.ABC90，CBE45.BCAD4 2 ，CEBE4,O
20、EOB+BE6,C(4,6).矩形 ABCD 绕点 0 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 1 次旋转结束时，点 C 的坐标为(6，4)；第 2 次旋转结束时，点 C的坐标为(4，6)；第 3 次旋转结束时，点 C 的坐标为(6，4)；第 4 次旋转结束时，点 C 的坐标为(4,6)；，发现规律：每旋转 4 次为一个循环，202245052，第 2022 次旋转结束时，点 C 的坐标为(4，6). 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 4 4 分，共分，共 2424 分分) ) 11.11.在如图所示的方格纸(1 格长为 1 个单位长度)中，ABC 的顶点都在格点上，将ABC 绕点 O 按顺时
21、针方向旋转得到ABC,若使ABC的顶点也在格点上，则其旋转角的度数至少为_ 【答案】【答案】90 【解析】【解析】如图，连接 OB、OB,BOB90，旋转角的度数至少为 90 12.12.(2022 湖北武汉武昌月考)已知点 A(a,3)与点 B(4,b)关于原点 0 对称，则 ab_ 【答案】【答案】1 【解析】【解析】点 A(a,3)与点 B(4,b)关于原点 0 对称，a4,b3,则 ab4(3)1. 13.13.(2022 独家原创)如图所示的所有小正方形均全等，已有 7 个小正方形被涂黑，再涂黑一个小正方形，使涂黑部分是中心对称图形，则能被涂黑的小正方形是_.(填序号) 【答案】【答
22、案】 【解析】【解析】观察图形可知，要使涂黑部分是中心对称图形，只能涂黑号小正方形. 14.14.(2022 江苏连云港灌云期中)如图，在ABC 中，ACB90，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ADE,连接 BD,若 AC3,DE1,则 BD2_。 【答案】【答案】20 【解析】【解析】由题可知：BCDE1,ABAD,BAD90在 RtABC 中，AC3,BC1,ACB90，ADAB AC2+BC2 9+1 10 ，BAD90，BD2AB2+AD210+1020. 15.15.(2022 湖北孝感安陆期中)如图，AOB 中，AOAB,点 A 的坐标为(3,4)，点 B 在 x 轴上，
23、将AOB绕点 B 按顺时针方向旋转，得到AOB,若点 A在线段 OB 的延长线上，则点 O的坐标为_. 【答【答案】案】485 ，245 【解析】【解析】如图，作 ACOB 于点 C,ODAB 于点 D,A(3,4),OC3,AC4,由勾股定理，得 OA32+42 5.OAAB,ACOB,OB2OC236.由旋转可知，A0BAOB,0BBO6,ABAB5,SAOBSAOB,即12 OBAC12 ABOD,OD245 .由勾股定理，得 BD185 ,ODOB+BD6+185 485 点 0的坐标为485 ，245 16.16.(2022 黑龙江大庆肇源期末)如图，P 是等边三角形 ABC 内的一
24、点，且 PA3,PB4,PC5,以 BC 为边在ABC 外作BOCBPA,连接 PQ,则以下结论中正确是_.(填序号)BPQ 是等边三角形，BQC 可看作由BPA 绕点 B 顺时针旋转 60得到，PCQ 是直角三角形，APB150，APC120 【答案】【答案】 【解析】【解析】ABC 是等边三角形，ABC60，BQCBPA,CBQABP,QBPB4,QCPA3,BQCBPA,PBQPBC+CBQPBC+ABPABC60，BPQ 是等边三角形，所以正确；由BQC 兰BPA 和ABCPBQ60可知BQC 可看作由BPA 绕点 B顺时针旋转 60得到，故正确；BPQ 是等边三角形，PQPB4,PQ
25、2+QC242+3225,PC25225,PQ2+QC2PC2,PQC90，PCQ 是直角三角形，所以正确；BPQ 是等边三角形，PQB60，APBBQCBQP+PQC60+90150，所以正确；APC36015060QPC150QPC,PQC90，PC2QC,QPC30，APC120，所以错误.所以正确的是. 三、解答题三、解答题( (共共 4646 分分) ) 17.17.(8 分)如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5,4),B(0,3),C(2,1). (1)画出ABC 关于原点中心对称的A1B1C,并写出点 C1的坐标； (2)画出将A1B1C1绕点 C1按
26、顺时针方向旋转 90所得的A2B2C1 【解析】【解析】 (1)A,B1C1如图所示，点 C1的坐标为(2，1). (2)A2B2C1如图所示. 18.18.(8 分)如图，在 44 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上. (1)在图中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形； (2)在图中，画出一个与ABC 成轴对称且与ABC 有公共边的格点三角形； (3)在图中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形. 【解析】【解析】 (1)【答案】【答案】不唯一，如： (2)【答案】【答案】不唯一，如： (3)如图，ABC 即为所求. 19.19.(2022 湖北咸宁赤壁期中)
27、(10 分)如图，在正方形 ABCD 内作EAF45，AE 交 BC 于点 E,AF 交CD 于点 F,连接 EF,将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABG. (1)求证：EAGEAF； (2)若正方形 ABCD 的边长为 6，DF3,求 BE 的长. 【解析】【解析】 (1)证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG,ADFABG,AFAG,DAFBAG.DAB90，EAF45，DAF+EAB45，BAG+EAB45，EAG45，EAFEAG.在EAG 和EAF 中，AGAFEAGEAFAEAE ,EAGEAF(SAS). (2)由(1)知，ABGADF,EAFEAG,BG
28、DF3.E FEG,设 BEx,则 EFGE3+x,CE6x,CD6,DF3,CFCDDF3,C90，(6x)2+32(3+x)2,解得 x2,即 BE2. 20.20.(2021 山东临沂沂南期中)(10 分)如图，菱形 ABCD 有一个内角等于 60，将MAN 的顶点与该菱形的顶点 A 重合，以点 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转MAN,使它的两边分别交 CB、DC 于点 E、F,已知MAN60 (1)如图，当 BEDF 时，AE 与 AF 的数量关系是_。 (2)旋转MAN,如图，当 BEDF 时，(1)中的结论是否还成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. 【解析】【解析】 (1
29、)AEAF.理由：四边形 ABCD 是菱形，ABAD,BD.在ABE 和ADF 中，ABADBDBEDF ,ABEADF(SAS),AEAF (2)仍然成立.理由如下：如图，连接 AC, 四边形 ABCD 是菱形，ABBCADCD,又由题意知BD60，ABC 是等边三角形，ACD 是等边三角形，ABAC,ACDBBAC60，MAN60，MANBAC,BAE+EACCAF+EAC,BAECAF.在BAE 和CAF 中，BAECAFABACLBACF ,BAECAF(ASA),AEAF 21.21.(10 分)如图，已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形2 2 OAOMON ,AOBMON90
30、(1)如图 a,连接 AM,BN,求证：AOMBON； (2)若将MON 绕点 0 顺时针旋转，如图 b,当点 N 恰好在 AB 边上时，求证：BN2+AN22ON2； 当点 A、M、N 在同一条直线上时，若 OB4,ON3,请直接写出线段 BN 的长. 【解析】【解析】 (1)证明：AOBMON90，AOMBON,在AOM 和BON 中，AOBOAOMBONOMON , AOMBON(SAS). (2)证明：如图 1，连接 AM. 同(1)可证AOMBON,AMBN,OAMB45.OABB45，MANOAM+OAB90，在 RtAMN 中，MN2AN2+AM2.MON 是等腰直角三角形，MN22ON2,BN2+AN22ON2.BN46 3 2 2 。 详解：详解：分两种情况：如图 2，过点 0 作 OHMN 于点 H. AOMBON,AMBN,OMON3,MON90，OHMN,MN3 2 ,MHHNOH3 2 2 , AH OA2OH2 46 2 ,BNAMMH+AH46 +3 2 2 .如图 3，同法可证 BNAM46 -3 2 2