1、第第 11 讲旋转图形的性质讲旋转图形的性质 知识导航 1旋转图形的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等 2中心对称与中心对称图形的概念与性质 3点 P（x，y）关于原点的对称点 P 为（x，y） 【板块一】利用旋转图形的性质求角度【板块一】利用旋转图形的性质求角度 方法技巧 1利用等腰求角度； 2通过旋转“化散为聚”求角度 题型一 利用旋转角求角度 【例 1】 如图， 在ABC 中， CAB70， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转到AB C的位置， 使得CC/AB，则BAB的度数是（ ） A70 B35 C40
2、D50 题型二 利用旋转的位置关系求角度 【例 2】 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtAB C， 点C恰好落在边 AB 上， 连接BB，则BB C ABCC/B/ 【例 3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 B，C，D 在一条直线上，点 C，F 重合） ，将三角尺 DEF 绕着点 F 按顺时针方向旋转 n后得到D E F（0n180） ，如果E F/AB，那么 n 的值为 题型三 利用旋转构造全等求角度 【例 4】如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，2 2，10，求BPQ的度数 【例 5】如图，在五边形 AB
3、CDE 中，ABAE，BCCD，BAEBCD180，M 是 ED 的中点，连接 AM，CM，且 AMCM，求BCD 的度数 E/AC(F)BDED/ADCBPQADCBEM 【例 6】如图，点 P 为等边ABC 内一点，且 PA2，PB1，PC3，求APB 的度数 针对练习针对练习 1 1如图，点 P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到P AB （1）求点 P 与点P之间的距离； （2）求APB 的度数 2如图，点 P 为等边ABC 内一点，APB113，APC123，求证：以 AP，BP，CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成
4、的三角形的各个内角的度数 ACBPP/ABCPACBP3如图，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC11，求APB 的度数 【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积 题型一 利用旋转图形性质求线段长 【例 1】如图，ABC 为等腰直角三角形，ABBC4 2，ABC90，把ABC 绕点 A 顺时针旋转至ADE，AE，DC 交于点 F，当 F 为 CD 的中点时，求 AF 的长 题型二 利用旋转图形性质求面积 【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于点 O，求四边形 AB1OD 的面积 A
5、BCDPADCFBED1ADCBB1C1O 【例 3】在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上一点，连接 DP，将 DP 绕点 D 逆时针旋转 90后得到线段 DE，连接 PE，点 C 关于直线 PE 的对称点是C，连接C E，C P，C A，若四边形AC ED是平行四边形，PC2，则平行四边形AC ED的面积是 针对练习针对练习 2 1如图，在 RtABC 中，ACB90，B60，BC2，A B C?是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点A与点 A 是对应点，点B与点 B 是对应点，连接AB，且点 A，B，A在同一条直线上，则AA的长为（ ） A6 B43 C33 D3 2如
6、图在ABC 中，BAC150，D，E 为线段 BC 上的两点，DAE60，且 ADAE，若 DE3，CE5，则 BD 的长为 ADCBEPHC/B/A/BCAADCBE3如图，P 为等边ABC 内一点，PA3，PB4，PC5，求 SABC 【板块三】旋转图形中线段关系的探究 方法技巧 利用旋转“化散为聚”解决线段关系 题型一题型一 旋转图形中线段数量关系的探究旋转图形中线段数量关系的探究 【例 1】如图，在等边ABC 内有一点 O，试证明：OAOBOC 【例 2】如图 1，ABC 和ADE 都是等边三角形，将ADE 绕点 A 旋转 （1）求证：BDCE； （2）如图 2，若ADB90，DE 的
7、延长线交 BC 于点 F，交 AB 于点 G 求证：点 F 是 BC 中点； 若 DADB，BF2，直接写出 AG 的长为 ACBPOBCA 题型二 旋转图形中图形形状的确定 【例 3】如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上两点，且EAF45，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到ABQ 连接 EQ (1)求证:EA 是QED 的平分线; (2)探求以 EF，BE，DF 为三边的三角形的形状 针对练习 3 1.如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 逆时针旋转 60而得，且 ABBC，BECE，连接 DE. (1)求证:BDEBCE; (2)试判断四边形 AB
8、ED 的形状，并说明理由 ADCBE图1GF图2EBCDA 2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。 (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称; (2)如图，将ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60得到DBE，连接 AD，DC，CE.已知DCB30 求证:BCE 是等边三角形; 求证:DC2BC2AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形. 板块四 旋转图形中的多解问题 方法技巧 当运动的点或线的位置不确定时，要注意分类讨论 题型一 旋转图形中角度的多解问题 【例 1】如图，在 RtABC 中，已知C90，B50，点 D
9、在边 BC 上，BD2CD，把ABC 绕点 D 逆时针旋转角度 m(0m180)后点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，则 m_或_ 【例 2】将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，若ABC 不动，将DCE 绕着 C 点顺时针旋转，旋转角为 a(0a180)，旋转过程中，若两个三角形有一组边平行， 则 a_ 题型二 旋转图形中画图的多样性问题 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(2，0)在图中画出点 P，使PAB 为等边三角形，求出满足条件的点 P 的坐标_ 针对练习 4 1.如图，在等腰ABC 中，ABAC，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度 m 得到线段 AD. 若
10、BAC60，0m360，连接 BD，DC，直接写出BDC 为等腰三角形时，m 所有可能的取值_ 2.如图，点 A，B 的坐标为(2，3)，(4，0)，将线段 AB 绕点 P(m，n)旋转 180得到线段 CD(点 A 的对应点为 C，点 B 的对应点为 D)，若点 C，D 都落在坐标轴上，则 m_ 第第 11 讲讲 旋转图形的性质旋转图形的性质 知识导航 1旋转图形的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等 2中心对称与中心对称图形的概念与性质 3点 P（x，y）关于原点的对称点 P 为（x，y） 【板块一】利用旋转
11、图形的性质求角度【板块一】利用旋转图形的性质求角度 方法技巧 1利用等腰求角度； 2通过旋转“化散为聚”求角度 题型一 利用旋转角求角度 【例 1】 如图， 在ABC 中， CAB70， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转到AB C的位置， 使得CC/AB，则BAB的度数是（ ） A70 B35 C40 D50 答案：C 【解析】 由CC/AB 得C CACAB70， 又ACAC， 故AC CC CA70， 可得CAC40；由C ABCAB 得B ABCAC40，故选 C 题型二 利用旋转的位置关系求角度 【例 2】 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtAB C， 点C
12、恰好落在边 AB 上， 连接BB，则BB C ABCC/B/答案： 【解析】ABAB，ABB1802B AB- ?70，BB C90ABB20 【例 3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点 B，C，D 在一条直线上，点 C，F 重合） ，将三角尺 DEF 绕着点 F 按顺时针方向旋转 n后得到D E F（0n180） ，如果E F/AB，那么 n 的值为 答案： 【解析】当E F/AB 时，ACEBAC45，n45 题型三 利用旋转构造全等求角度 【例 4】如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，2 2，10，求BPQ的度数 答案： 【解析】 将
13、APD 绕点 A 顺时针旋转 90， 得AP B； 结合边的隐含关系(2)2(2 2)2(10)2，利用勾股定理逆定理可得到BPP是直角三角形，APB135，故BPQ145 【例 5】如图，在五边形 ABCDE 中，ABAE，BCCD，BAEBCD180，M 是 ED 的中点，连接 AM，CM，且 AMCM，求BCD 的度数 E/AC(F)BDED/ADCBPQA/QPBCDA 答案： 【解析】将CDM 绕点 M 旋转 180得FEM，则CDMFEM，EFCDBC，FEMD，ABCAEF，证AEFABC，BACEAF，ACAF， 又 MFMCAM，ACF 为等腰直角三角形，CAF90， 又BA
14、CEAF，BAECAF90，BCD180BAE90 【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形” 【例 6】如图，点 P 为等边ABC 内一点，且 PA2，PB1，PC3，求APB 的度数 答案： 【解析】将APC 绕点 A 顺时针旋转 60，得ADB，连接 DP， 得 ADAP，DBPC3，DAP60，从而可证ADP 为等边三角形， 所以 DPAP2，DPA60，在DPB 中， 利用勾股定理逆定理可得DBP90，DPB60，从而可得APB120 针对练习针对练习 1 1如图，点 P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC10
15、若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后ADCBEMMEBFCDAACBPPBCDA得到P AB （1）求点 P 与点P之间的距离； （2）求APB 的度数 答案： 解： （1）连接PP，由题意可知APAP，PACP AB，PCP B， 又PACBAP60，PAP60APP为等边三角形，PPAPAP6 （2） 2PPBP22BP， BPP为直角三角形， 且BPP90， APB9060150 2如图，点 P 为等边ABC 内一点，APB113，APC123，求证：以 AP，BP，CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数 答案： 解：将APC 绕点 C 逆时针旋转 60，得BC
16、P1，APBP1，BP1CAPC123， 由 CPCP1，PCP160得PCP1为等边三角形，PP1CP，CPP1CP1P60， 这时， BPP1就是以 BP， AP， CP 为三边构成的三角形， BP1PBP1CCP1PAPC6063，又BPC360113123124， BPP1BPCCPP164，PBP1180636453 P/ABCPPCBAP/ACBPP1PBCA 3如图，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA3，PB1，PC11，求APB 的度数 答案： 解：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得BP A，易证BPP为等腰直角三角形，PP2，APPC11，在APP中，AP22PP
17、2AP，APP90，APB45 【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积 题型一 利用旋转图形性质求线段长 【例 1】如图，ABC 为等腰直角三角形，ABBC4 2，ABC90，把ABC 绕点 A 顺时针旋转至ADE，AE，DC 交于点 F，当 F 为 CD 的中点时，求 AF 的长 答案： 【解析】过点 D 作 DMAE 于点 M，过点 C 作 CNAE 于点 N，DM12AE4， 由DMFCNF 得 CNDM4， 在 RtANC 中，AN22ACCN-4 3，AMDM4，MN4 34，MF12MN2 32， 故 AFAMMF42 322 32 题型二 利用旋转图形性质求面积 【例 2】如
18、图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于ABCDPP/PDCBAADCFBENMEBFCDA点 O，求四边形 AB1OD 的面积 答案： 【解析】AC2，AB11，故 B1C21，在 RtOB1C 中，OCB145， 故 OB1CB121，1OB CSD12OB1B1C3 2 22-，SADC12DADC12， 故 S1AB CD四边形SADC1OB CSD123 2 22-2 222-21 【例 3】在正方形 ABCD 中，点 P 是对角线 AC 上一点，连接 DP，将 DP 绕点 D 逆时针旋转 90后得到线段 D
19、E，连接 PE，点 C 关于直线 PE 的对称点是C，连接C E，C P，C A，若四边形AC ED是平行四边形，PC2，则平行四边形AC ED的面积是 答案： 【解析】过点 P 作 PQCD 于点 Q，延长PC交 AD 于点 G，设C E交 DC 于点 H，则PQDDHE，PC2，PQGDDHC G2， 点C与点 C 关于 PE 对称，PCPCQH2，CDAD222， AC EDSADDH422 针对练习针对练习 2 1如图，在 RtABC 中，ACB90，B60，BC2，A B C?是由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点A与点 A 是对应点，点B与点 B 是对应点，连接AB，且点 A
20、，B，A在同一条直线上，则AA的长为（ ） D1ADCBB1C1OADCBEPHC/C/GQHPEBCDAA6 B43 C33 D3 答案： 解：在 RtABC 中，B60，BC2，故 AB4，AC2242-23，A CAC，AA AC30， 故A CA120， 过点 C 作 CHA A于点 H， 则 HC12AC3，A H22A CHC-3，AA2A H6，故选 A 2如图在ABC 中，BAC150，D，E 为线段 BC 上的两点，DAE60，且 ADAE，若 DE3，CE5，则 BD 的长为 答案： 解：将ABC 沿 BA 向上翻折至BAF，连接 AF，EF，FC，可得BAFBAC150，
21、FAC60，AFC 为等边三角形，可证ADCAEF，AFEACD，可得FECFAC60， 过点 F 作 FHBC 于点 H，EH12EF8124，HC1，FH43，设 BDx， 则 BFBCx8，在 RtBFH 中，BF2BH2FH2 即(x8)2(x7)248，x332，故 BD332 3如图，P 为等边ABC 内一点，PA3，PB4，PC5，求 SABC B/A/BCAACBA/B/HADCBEHEBFCDA 答案： 解：在 AC 右侧取点 D，使DAP60且 DAPA，连接 PD，则APD 为等边三角形， 可证ABPACD（SAS） ，DCBP4，PD3，PC5，PC2PD2DC2，PD
22、C90， 过点 A 作 AEDC 于点 E，AE12AD32，DE332，EC4332， AC2AE2EC2941627412325123， 过点 A 作 AFBC 于点 F，在 RtAFC 中，FC12AC，AF22ACFC-32AC， SABC12BCAF34AC225 349 【板块三】旋转图形中线段关系的探究 方法技巧 利用旋转“化散为聚”解决线段关系 题型一题型一 旋转图形中线段数量关系的探究旋转图形中线段数量关系的探究 【例 1】如图，在等边ABC 内有一点 O，试证明：OAOBOC 答案： 【解析】把AOC 以点 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60后，到AO B的位置，则AOCA
23、O B，AOAO，OCO B，OACO AB，OAO60，AO O为等边三角形，AOOO，ACBPPEBFCDAOBCAACBOO/在BOO中，OOOBBO，即 OAOBOC 【例 2】如图 1，ABC 和ADE 都是等边三角形，将ADE 绕点 A 旋转 （1）求证：BDCE； （2）如图 2，若ADB90，DE 的延长线交 BC 于点 F，交 AB 于点 G 求证：点 F 是 BC 中点； 若 DADB，BF2，直接写出 AG 的长为 答案： 【解析】 （1）证ABDACE 即可； （2）连 EC，在 DF 上截取 DNEF，连 BN，由（1）知 BDCE，可证BDNCEF30， DNBEF
24、C，BNFC，DNBEFC， BNFBFN，BNBF，BFFC，即 F 为 BC 的中点； （3）AG3 26，由题知 BC2BF2 2，AB2 2，DADB2， 过 G 作 GHAD 于 H，GDH60，设 DHa，则 GHAH3a，AG6a， 又 ADa3a，a31，AG6(31)3 2 6 ADCBE图1GF图2EBCDANADCBE图2FG 题型二 旋转图形中图形形状的确定 【例 3】如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 是对角线 BD 上两点，且EAF45，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 后，得到ABQ 连接 EQ (1)求证:EA 是QED 的平分线; (2)探求以 EF
25、，BE，DF 为三边的三角形的形状 【解析】(1)将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到ABQ QBDF，AQAF，BAQDAF，由EAF45，得DAFBAE45，故QAE45. 故QAEFAE 可证AQEAFE(SAS) AEQAEF EA 是QED 的平分线 (2)由(1)得AQEAFE，QEEF. 又ABQADFABD45，故QBE90 在 RtQBE 中，QB2BE2QE2 EF2BE2DF2，即以 EF，BE，DF 为三边的三角形是直角三角形 针对练习 3 1.如图，BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 逆时针旋转 60而得，且 ABBC，BECE，连接 DE. (1)求证:B
26、DEBCE; (2)试判断四边形 ABED 的形状，并说明理由 解:(1)BAD 是由BEC 在平面内绕点 B 旋转 60而得，DBCB，ABDEBC，ABE60 ABBC，;ABC90.DBECBE30，BDEBCE(SAS) (2)四边形 ABED 为菱形，理由如下:由(1)得BDEBCE BAD 是由BEC 旋转而得，BADBEC BABE，ADECED 又 BEEC，故 ABBEEDAD，故四边形 ABED 为菱形 2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。 (1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称; (2)如图，将A
27、BC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60得到DBE，连接 AD，DC，CE.已知DCB30 求证:BCE 是等边三角形; 求证:DC2BC2AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形. 解:(1)正方形、矩形、直角梯形(任写两个); (2)ABCDBE，BCBE，CBE60，BCE 是等边三角形; ABCDBE，ACDE.BCE 是等边三角形，BCCE，BCE60 DCB30，DCE90 在 RtDCE 中，DC2CE2DE2，DC2BC2AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形 板块四 旋转图形中的多解问题 方法技巧 当运动的点或线的位置不确定时，要注意分类讨论 题型一 旋转图形中角度的多解问
28、题 【例 1】如图，在 RtABC 中，已知C90，B50，点 D 在边 BC 上，BD2CD，把ABC 绕点 D 逆时针旋转角度 m(0m180)后点 B 恰好落在初始 RtABC 的边上，则 m80或 120 【解析】m80或 120注意分为点 B 落在斜边 AB 上或落在直角边 AC 上两种情况讨论 【例 2】将一副三角板按如图所示的方式重叠在一起，若ABC 不动，将DCE 绕着 C 点顺时针旋转，旋转角为 a(0a180)，旋转过程中，若两个三角形有一组边平行， 则 a15或 60或 105或 135 【解析】a15或 60或 105或 135四种情况的图如下： 题型二 旋转图形中画图
29、的多样性问题 【例 3】如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(2，0)在图中画出点 P，使PAB 为等边三角形，求出满足条件的点 P 的坐标 【解析】可作等边ABP1和等边ABP2，因 P1AP1B，OAOB，故点 O，点 P 均在 AB 的 垂直平分线 yx 上，过点 P1作 P1Hx 轴于点 H，因 OBOA2，故 AB2 2. 设 OP1交 AB 于点 C，在 RtP1CB 中，BC2OC，P1C221PBBC224BCBC6， OP126，在 RtOP1H 中，POH45，故 P1HOH31，P1( 31, 31) 同理可求 P2(13,13)，故点 P 的坐标为( 31, 31
30、)或(13,13) 针对练习 4 1.如图，在等腰ABC 中，ABAC，边 AB 绕点 A 逆时针旋转角度 m 得到线段 AD. 若BAC60，0m360，连接 BD，DC，直接写出BDC 为等腰三角形时，m 所有可能的取值30，120，210，300 2.如图，点 A，B 的坐标为(2，3)，(4，0)，将线段 AB 绕点 P(m，n)旋转 180得到线段 CD(点 A 的对应点为 C，点 B 的对应点为 D)，若点 C，D 都落在坐标轴上，则 m2 或 1 解:由中心对称图形性质得 CDAB，有如图两种情况，当 D1在 y 轴上，C 在 x 轴上时，D(0，3)， 此时点 P1为 DB 的中点，其坐标为(2，32)，m2; 当 D2在 x 轴负半轴时，D2(2，0)，此时点 P2为 D2B 中点 P2(1，0)，m1，故 m2 或 1