1、第第 1212 讲讲 旋转图形的构造技巧旋转图形的构造技巧 知识导航 若两条共顶点的等边(等腰三角形两腰)中，有一条边旁边有三角形时，可以将这个三角形旋转到另一等边处，构造全等三角形. 【板块一】利用角度构造旋转图形的技巧 方法技巧 1.遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转 90的全等三角形;遇 60的等腰三角形常构造旋转60的全等三角形;遇 120的等腰三角形常构造旋转 120的全等三角形; 2 线段之间存在特殊的数量关系，如勾股数关系，2倍关系，3倍关系，结合图中等线段，可以构造旋转的全等三角形 题型一 利用 45或 90的角构造 【例 1】如图，BAC90，BDAE，ABCE，将
2、ABE 绕点 P 逆时针旋转 a 得到BFD (1)请在图中画出点 P 及BFD; (2)求证:旋转角 a90 (3)求CDF 的度数 【例 2】如图，ABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 在直线 BC 上，若DAE135，BCCE，求CECD的值 题型二 利用 60或 120的角构造 【例 3】如图，在等边ABC 中，AC7，点 P 在ABC 内部，且APC90，BPC120，求APC 的面积 【例 4】如图，在ABC 中，BC4，ABC60，AB1，将边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 120，得到 AD，连接 BD，求 BD 的长 题型三 利用中点旋转构造 【例 5】如图，BAC，
3、EDC180，ABAC，DCDE，P 为 BE 的中点 (1)如图 1，点 A，C，D 共线，求PAC 的大小(用含 的式子表示); (2)如图 2，点 A，C，D 不共线，求证:APDP 【例 6】已知四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形 (1)如图 1，点 E，G 分别在 AB，AD 上，连接 CF，点 H 为 CF 的中点，EH 与 DH 的位置关系是_，数量关系是_ (2)如图 2 在图 1 的基础上，把正方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转角度 a(a 为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由 题型四 利用互补的角构造 【例 7】在四边形 A
4、BCD 中，ABAD，BAD60，边 BC 绕点 B 顺时针旋转 120 得到 BE，边 DC 绕点 D 逆时针旋转 120得到 DF，四边形 ABEG 和四边形 ADFH 均为平行四边形 (1)如图 1，若 BCCD，BCD120，则GCH 的度数为_ (2)如图 2，若 BCCD，探究GCH 的大小是否发生变化，并证明你的结论 【例 8】给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形 (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_（填写序号即可） 矩形;有一个角为直角的任意凸四边形;有一个角为 60的菱形 (2)如图 1，将ABC 绕顶点 C 按顺时
5、针方向旋转 n 得到EDC n60，BAD30时，连接 AD，求证:四边形 ABCD 是勾股四边形 如图 2，将 DE 绕点 E 顺时针方向旋转得到 EF，连接 BF，BF 与 AE 交于点 P，连接 CP，若DEF (180n)，CP4，AE10，求 AC 的长度， 针对练习 1 1.如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BADBCD90，连接 AC，若 AC6，求四边形 ABCD 的面积. DACB 2.如图，在ABC 中，ABAC32，BAC120，点 D，E 都在边 BC 上，DAE60， 若 BD2CE，求 DE 的长. 3.ABC 和AEF 都为等腰直角三角形，ACBAEF90，
6、连接 EC，BF，点 D 为 BF 的中点， 连接 CD. （1）如图 1，当点 E 落在 AB 边上时，请判断线段 EC 与 DC 的数量关系，并证明你的结论； （2）将AEF 绕点 A 顺时针旋转 n(n180)，如图 2，请判断线段 EC 与 DC 的数量关系，并证明你的结论. 4.在正方形 ABCD 中，将 CD 绕着 D 点逆时针旋转角度(0180)到 DE，连接 AE. （1）求AEC 的度数； （2）取线段 AE 的中点 O，将 BO 绕点 O 逆时针旋转 90到 OF，连接 CF，BF，求证：CFAE. BDEACBCAEFD图1BCAEFD图2BADCEBADCEOF【板块二
7、】利用线段关系构造旋转图形的技巧 题型一 垂直线段的运用技巧 【例 1】如图 1，在ABC 和ADE 中，ABCAED90，AEDEa，ABCBb（ab）， 点 D 在 AC 上，且 AD2CD. （1）求ba的值； （2）把图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转角度(0 90)，如图 2，连接 BE，CD，BE192， 求五边形 ABCDE 的面积； 【例 2】如图，在ABC 中，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD，其中 ACAD.ABC，ACD，BC4，BD6.若改变，的大小，且满足90，求ABC 的面积. 题型二 线段与角度的组合技巧 【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，ABA
8、C，BAC120，ADC90，且23ADCD， 则ABBD的值为 . CBAED图1CBAED图2BACDBACD 【例 4】如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，ABC 是等边三角形，ADC30，AD3， BD4，则 CD 的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D.7 针对练习 2 1.点 P 为ABC 内一点，ABBC，ABC90，PA2，PB4，PC6，求APB 的度数. 2.如图，ABC60，ACBC.若 AD12，DC5，BD13，则 SABD的值为 . BACDBACDEBACPBDAC3.如图，点 O 是ABC 内一点，OBC60，AOC120，OAOC13，OB1
9、，则 AB 边的长为 第第 1212 讲讲 旋转图形的构造技巧旋转图形的构造技巧 知识导航 若两条共顶点的等边(等腰三角形两腰)中，有一条边旁边有三角形时，可以将这个三角形旋转到另一等边处，构造全等三角形. 【板块一】利用角度构造旋转图形的技巧 方法技巧 1.遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转 90的全等三角形;遇 60的等腰三角形常构造旋转60的全等三角形;遇 120的等腰三角形常构造旋转 120的全等三角形; 2 线段之间存在特殊的数量关系，如勾股数关系，2倍关系，3倍关系，结合图中等线段，可以构造旋转的全等三角形 题型一 利用 45或 90的角构造 【例 1】如图，BAC90，
10、BDAE，ABCE，将ABE 绕点 P 逆时针旋转 a 得到BFD (1)请在图中画出点 P 及BFD; (2)求证:旋转角 a90 (3)求CDF 的度数 BOCA【解析】(1)略; (2)由旋转性质得 PAPB，PEPD，又 BDAE:PBDPAE，PAEPBA， 又 PBPA，PBAPAB，PABPAE， 又PABPAEBAC90，PABPBA45， APB90，90; (3)连接 CF，由ABEBFD，BFDDBE， 又DBEEBF90，BFDEBF90，即得 DFBE， 又 ECBF，ECBF，可得四边形 BFCE 为平行四边形， CFBEDF，且 CFDF，DCF 为等腰直角三角形
11、，CDF45 【例 2】如图，ABC 中，BAC90，ABAC，点 D，E 在直线 BC 上，若DAE135，BCCE，求CECD的值 【解析】将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90得ACF，连接 DF，则ACFABE45 FCCD，再证DAFDAE，DFDE， 设 BD1，BCCEx，则 CFBE2x，DFDE2x1， 在 RtDCF 中，DF2DC2CF2;(2x1)2(x1)2(2x)2 x2，CE2，CD3，23CECD 题型二 利用 60或 120的角构造 【例 3】如图，在等边ABC 中，AC7，点 P 在ABC 内部，且APC90，BPC120，求APC 的面积 【解析】将ABP
12、绕 A 逆时针旋转 60得ACQ，连接 PQ 由已知可求AQCAPB150， 又APQAQP60，PQC90，CPQ30， 设 CQx，则 PC2x，APPQ3x， RtAPC 中222(2 )( 3 )7xx，x27 SAPC212337 32xxx 【例 4】如图，在ABC 中，BC4，ABC60，AB1，将边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 120，得到 AD，连接 BD，求 BD 的长 【解析】将 AB 绕点 A 顺时针旋转 120得 AE，连 EB，EC，易求EBA30，EBC90， 在AEB 中可求 EB3，又 BC4，22( 3)419EC 由EACBAD 可得 BDEC19 题型
13、三 利用中点旋转构造 【例 5】如图，BAC，EDC180，ABAC，DCDE，P 为 BE 的中点 (1)如图 1，点 A，C，D 共线，求PAC 的大小(用含 的式子表示); (2)如图 2，点 A，C，D 不共线，求证:APDP 【解析】(1)延长 AP，DE 交于点 F，ABPFEP，DAFF2; (2)倍长 AP 至点 F，连接 EF，DF.则ABPFEP，延长 AC 交 EF 于点 M， 可证CDEAHE180，DCHDEH180，ACDDEF ACDFED，DPADPF ，APDDPF90，APDP 【例 6】已知四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形 (1)如图 1，
14、点 E，G 分别在 AB，AD 上，连接 CF，点 H 为 CF 的中点，EH 与 DH 的位置关系是_，数量关系是_ (2)如图 2 在图 1 的基础上，把正方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转角度 a(a 为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由 【解析】(1)垂直，相等.过点 H 作 MNBC 交 AB 于点 M，交 CD 于点 N. 易证 EMHN，MHDN，EMHHND， EHDH，EHMHDN，EHMDHN90，EHD90，EHDH; (2)延长 EH 到点 M，使 HMEH，连接 CM EFHMCH，EFCM，EFCM，MMG， 延长 MC 交 EA
15、 延长线于点 P，EPCADC90，PADDCP，EADDCM 又AECM，ADDC，AEDCMD，DEDM，ADECDM，FDM90 DEM 是等腰直角三角形，EHDH，EHDH 题型四 利用互补的角构造 【例 7】在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，边 BC 绕点 B 顺时针旋转 120 得到 BE，边 DC 绕点 D 逆时针旋转 120得到 DF，四边形 ABEG 和四边形 ADFH 均为平行四边形 (1)如图 1，若 BCCD，BCD120，则GCH 的度数为_ (2)如图 2，若 BCCD，探究GCH 的大小是否发生变化，并证明你的结论 【解析】(1)60; (2)不变，G
16、CH60理由如下:连接 BG，BD，DH，设 BD 与 CG 交于点 O.可得ABD 为等边三角形. 由ABDADB60，ABBD.四边形 ABEG 是平行四边形，得 AGBE， BAG180ABE，BEBC，得 AGBC，又DBC180ABE， 故BAGDBC 可证BAGDBC.BGCD，ABGBDC 同理DBCADH，BCDH，DBCADH. 由ABGBDC，ABDADB，DBCADH，得GBCCDH. 可证GBCCDH.故BGCHCD. 由GCHHCDBDCCODABDBGCABGBOG180 故GCHABD60 (也可连接 BG，BD.DH，HG，证GBCCDHHAG，GCH 是等边三
17、角形) 【例 8】给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形 (1)以下四边形中，是勾股四边形的为_（填写序号即可） 矩形;有一个角为直角的任意凸四边形;有一个角为 60的菱形 (2)如图 1，将ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 n 得到EDC n60，BAD30时，连接 AD，求证:四边形 ABCD 是勾股四边形 如图 2，将 DE 绕点 E 顺时针方向旋转得到 EF，连接 BF，BF 与 AE 交于点 P，连接 CP，若DEF (180n)，CP4，AE10，求 AC 的长度， 【解析】(1); (2)连接 AE. n60，ACCE，
18、ACE 为等边三角形，ACE60 BAD30，CADCED30 DAEAED90，ADE90，AD2DE2AE2 AEAC，DEAB，AD2AB2AC2，四边形 ABCD 是勾股四边形; 延长 ED 交 AB 于点 H EDCABC，HDCHBC180 DHBBCD360180180 DHB180nDEF，EFAB EFDEAB，APBEPF，APEP12AE5 CPAE，AC225441 针对练习 1 1.如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BADBCD90，连接 AC，若 AC6，求四边形 ABCD 的面积. 解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90得到ADG，易证 G、D、C 三点共
19、线，AGAC 且 AGAC， DACBDACBGDACBG186621ACGABCDSS四边形 同理：将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到ADG，也可以求得结论. 2.如图，在ABC 中，ABAC32，BAC120，点 D，E 都在边 BC 上，DAE60， 若 BD2CE，求 DE 的长. 解：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 120得ACF，证ADEAFE，DEEF，CFBD. ACDB30，FCE60，过点 E 作 EHCF 于点 H.设 CFBD2CE4x， 则 CHx，CF4x，FH3x，EHx3，由 FE2FH2EH2，得(66x)2(3x)2(x3)2， 解得2331x，233
20、2x(舍). DE66x333. 另解：取 CF 的中点 K，则CEK 为等边三角形可得EFC30，FEC90， EFxx6632，233x，333DE. 3.ABC 和AEF 都为等腰直角三角形，ACBAEF90，连接 EC，BF，点 D 为 BF 的中点， 连接 CD. （1）如图 1，当点 E 落在 AB 边上时，请判断线段 EC 与 DC 的数量关系，并证明你的结论； （2）将AEF 绕点 A 顺时针旋转 n(n180)，如图 2，请判断线段 EC 与 DC 的数量关系，并证明你的结论. BDEACBDEACFHBCAEFD图1BCAEFD图2解： （1）连接 ED，证EDF2ABF，
21、CDF2CBF，EDC2ABC90， 又 EDCD31BF，EDC 为等腰直角三角形，EC2DC； （2）延长 CD 到点 G，使 GDCD，连接 GE，GF，DE，延长 GF 交 CA 的延长线于点 H， 先证GFDCBD，得 GFBCAC，由 GFBC 可知H90AEF，EFHEAH， EFGEAC，得GFECAE，EGEC，EGFECH，GECH90， AEC 是等腰直角三角形， D 是 GC 的中点，ECD 是等腰直角三形，DCEC2. 4.在正方形 ABCD 中，将 CD 绕着 D 点逆时针旋转角度(0180)到 DE，连接 AE. （1）求AEC 的度数； （2）取线段 AE 的中
22、点 O，将 BO 绕点 O 逆时针旋转 90到 OF，连接 CF，BF，求证：CFAE. 解： （1）ADE90，AED2452180ADE，在等腰DCE 中， DEC2452180CDE，故AECCDEAED45)245()290(. （2）延长 FO 至点 P，使 POFO.连接 EF，PA，可证AOPEOF，APEF，APEF. 连接 BP，延长 PA 交 FC 的延长线于点 Q，可证APBCFB，CFAP，APBBFC， QPBF90，又 AP/EF，故EFC180Q90，又 EFAPCF， 由（1）可得ECF45AEC，故 CF/AE. BCAEFD图1BCAEFDGH图2BADCE
23、BADCEOFBADCEOFPQ 【板块二】利用线段关系构造旋转图形的技巧 题型一 垂直线段的运用技巧 【例 1】如图 1，在ABC 和ADE 中，ABCAED90，AEDEa，ABCBb（ab）， 点 D 在 AC 上，且 AD2CD. （1）求ba的值； （2）把图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转角度(0 90)，如图 2，连接 BE，CD，BE192， 求五边形 ABCDE 的面积； 【解析】 （1）aAD2，aADCD22121，aAC223，aAB23，32ba （2）过点 B 在 BC 下方作 BFBE，使 BFBE，连接 EF 交 CD 于点 O，连接 CF， 可证ABEC
24、BF，CFAEDE，延长 FC 交 AE 于点 H， 由CFBBEH 得EHFEBF90，故 DE/CF， 又 DEAECF，可证EDOFCO.S五边形ABCDESBEF3821212BEBFBE 【例 2】如图，在ABC 中，以 AC 为边在ABC 外作等腰ACD，其中 ACAD.ABC，ACD，BC4，BD6.若改变，的大小，且满足90，求ABC 的面积. 【解析】在 BA 的上方作BAEDAC，使 AEAB，连接 EB，EC，可证AECABD，ECBD6， CBAED图1CBAED图2CBAEDOFHBACDBACDEH又DAC1802BAE，故EBA.EBC90， 在 RtBEC 中，
25、5222BCECBE.过点 A 作 AHBE 于点 H，则521BEBH， SABC52542121BHBC 题型二 线段与角度的组合技巧 【例 3】如图，在四边形 ABCD 中，ABAC，BAC120，ADC90，且23ADCD， 则ABBD的值为 . 【解析】 在 AD 上方作EAD120， 使 AEAD， 连接 EC， 由EADBAC120得BADEAC， 可证EACDAB，ECBD，令 AD2，DC3，可求得 DE32.EDC3090120， 过点 E 作 EFCD 于点 F，FD321ED，FC32，EF3，2122FCEFEC， BDEC21，故3721ABBD 【例 4】如图，在
26、四边形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，ABC 是等边三角形，ADC30，AD3， BD4，则 CD 的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D.7 BACDEFBACDBACDBACDE【解析】在 DC 的右侧作等边DCE，证ACEBCD，AEBD4， 由ADEADCCDE306090，得7342222ADAEDE， 故 CDDE7，选 D. 针对练习 2 1.点 P 为ABC 内一点，ABBC，ABC90，PA2，PB4，PC6，求APB 的度数. 解：在 AB 左侧作 DBPB，使 DBPB，连接 PD，AD，可证DBAPBC，ADPC6. DP2BD2PB22BD232， AP24，
27、 AD236， 即 AP2DP2AD2， DPA90， 又DPB45， 故APB135. 2.如图，ABC60，ACBC.若 AD12，DC5，BD13，则 SABD的值为 . 解：在 AD 的右侧作等边ADE，连接 CE，过点 A 作 AHCD 于点 H，可证ABDACE， CEBD13，DE12，CD5，故 CD2DE2CE2，CDE90，CDA30， 15562121CDAHSACD，336432ADSADE，3021DECDSDEC， SABD SACESADESACDSDEC153363015336 3.如图，点 O 是ABC 内一点，OBC60，AOC120，OAOC13，OB1，则 AB 边的长为 BACPBACPDBDACBDACHE 解：在直线 OB 的右侧作BOB120，使 OBOB1，可求 BB3， 可证AOB COB，ABO OBC60，ABBC，OBB30，故BBA90， 过点 O 作 OHBC 于点 H， 则2121BOBH，2322OHBOOH，27431322OHOCHC，故 BC4AB，在 RtABB中，AB1916322ABBB. BOCABOCABH