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第一章全等三角形 单元提优试卷(含答案解析)2022-2023学年苏科版八年级数学上册

1、第一章全等三角形第一章全等三角形 一选择题一选择题 1如图,下列各组条件中,不能得到ABCBAD 的是( ) ABCAD,ABCBAD BBCAD,ACBD CACBD,CABDBA DBCAD,CABDBA 2如图,在四边形 ABCD 与四边形 ABCD中,ABAB,BB,BCBC下列条件中: AA,ADAD; AA,DD; AA,CDCD; ADAD,CDCD 添加上述条件中的其中一个, 可使四边形 ABCD四边形 ABCD 上述条件中符合要求的有 ( ) A B C D 3 如图, 已知 ABAC, AEAD, 要利用 “SSS” 推理得出ABDACE, 还需要添加的一个条件是 ( )

2、ABC BBDCE CBADCAE D以上都不对 4下列说法正确的是( ) A长度为 2cm、3cm 和 5cm 的三条线段首尾相接可以组成三角形 B面积相等的两个三角形全等 C两直线被第三条直线所截,同位角相等 D等角的补角相等 5如图,在 RtABC 中,A90,M 为 BC 的中点,H 为 AB 上一点,过点 C 作 CGAB,交 HM 的延长线于点 G,若 AC8,AB6,则四边形 ACGH 周长的最小值是( ) A24 B22 C20 D18 6 如图, 在 RtABC 中, ACB90, ABC30, 若ABCABC, 且点 A恰好落在 AB 上,则ACA的度数为( ) A30 B

3、45 C50 D60 7如图,在 RtABC 中,ABC90,以 AC 为边,作ACD,满足 ADAC,E 为 BC 上一点,连接AE,CAD2BAE,连接 DE,下列结论中:ADEACB;ACDE;AEBAED;DECE+2BE其中正确的有( ) A B C D 8如图,在ABC 和ADE 中,CABDAE36,ABAC,ADAE连接 CD,连接 BE 并延长交 AC,AD 于点 F,G若 BE 恰好平分ABC,则下列结论错误的是( ) AADCAEB BCDAB CDEGE DCDBE 二填空题二填空题 9在ABC 中,AD 是 BC 边上的高,CE 是 AB 边上的高,AD,CE 所在直

4、线交于点 F,若 ABCF,CD5,BD2,则ACF 的面积为 10如图,在ABC 中,D,E 是 BC 边上的两点,ADAE,BECD,12110,BAE60,则BAC 的度数为 11如图,E 是ABC 的边 AC 的中点,过点 C 作 CFAB,过点 E 作直线 DF 交 AB 于 D,交 CF 于 F,若 AB9,CF6.5,则 BD 的长为 12如图,在正方形方格中,各正方形的顶点叫做格点,三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形图中ABC 是格点三角形,请你找出方格中所有与ABC 全等,且以 A 为顶点的格点三角形这样的三角形共有 个(ABC 除外) 13如图,ABC 中,AB13c

5、m,BC11cm,AC6cm,点 E 是 BC 边的中点,点 D 在 AB 边上,现将DBE 沿着 BA 方向向左平移至ADF 的位置,则四边形 DECF 的周长为 cm 14如图,在ABC 中,ABBC,BE、CF 分别是 AC、AB 边上的高,在 BE 上取点 D,使 BDCA,在射线 CF 上取点 G,使 CGBA,连接 AD、AG,若DAE38,EBC20,则GAB 15如图,在ABC 中,ABAC,D 为 BC 上的一点,BAD28,在 AD 的右侧作ADE,使得 AEAD,DAEBAC,连接 CE,DE,DE 交 AC 于点 O,若 CEAB,则DOC 的度数为 16如图,已知四边

6、形 ABCD 中,AB10cm,BC8cm,CD12cm,BC,点 E 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度沿 BCB 运动,同时,点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动当点Q 的运动速度为 cm/s 时,能够使BPE 与CQP 全等 三解答题三解答题 17如图,BDBC,点 E 在 BC 上,且 BEAC,DEAB (1)求证:ABCEDB; (2)判断 AC 和 BD 的位置关系,并说明理由 18如图,线段 AB 上两点 C,D,ACBD,AB,AEBF,连结 DE 并延长至点 M,连结 CF 并延长至点 N,DE、CF 交于点 P,MNAB 求证:

7、PMN 是等腰三角形 19泾河以洪水猛烈、输沙量大著称(居全国江河支流之冠) ,是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度 AB, 如图李刚在河岸边的点 C 处用测角仪测得视线 CA 与河岸 CB之间的夹角ACB 的度数,王烨沿 AB 方向向前走,直到到达点 D 处时,李刚测得视线 CD 与河岸 CB 的夹角DCB 与ACB 相等,此时测得 BD30 米,已知 A、B、D 在一条直线上,CBAD,请你求出泾河此段的宽度 AB 20如图,已知在CDE 中,12,直线 AB 经过点 E,DAAB,CBAB,垂足分别为 A、B,ADBE,求证:AEBC 21如图,在四边

8、形ABCD 中,ABAC,BE 平分CBA,连接 AE,若 ADAE,DAECAB (1)求证:ADCAEB; (2)若CAB36,求证:CDAB 22如图,AOBCOD,OD 与 AB 交于点 G,OB 与 CD 交于点 E (1)AOD 与COB 的数量关系是:AOD COB; (2)求证:AOGCOE; (3)若 OAOB,当 A,O,C 三点共线时,恰好 OBCD,则此时AOB 23综合与探究 如图,在ABC 和ADE 中,ABAC,ADAE,BACDAE,CE 的延长线交 BD 于点 F (1)求证:ACEABD (2)若BACDAE50,请直接写出BFC 的度数 (3)过点 A 作

9、 AHBD 于点 H,求证:EF+DHHF 24如图,在ABC 中,BC,点 D 是边 BC 上一点,CDAB,点 E 在边 AC 上 (1)若ADEB,求证: BADCDE; BDCE; (2)若 BDCE,BAC70,求ADE 的度数 25如图,在ABC 中,ABC、ACB 的平分线交于点 D,延长 BD 交 AC 于 E,G、F 分别在 BD、BC上,连接 DF、GF,其中A2BDF,GDDE (1)当A80时,求EDC 的度数; (2)求证:CFFG+CE 26在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D,A,E,在直线 m 上方有 ABAC,且满足BDAAECBAC (1)如图 1,当

10、90时,猜想线段 DE,BD,CE 之间的数量关系是 ; (2)如图 2,当 0180 时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由; (3)拓展与应用:如图 3,当 120时,点 F 为BAC 平分线上的一点,且 ABAF,分别连接 FB,FD,FE,FC,试判断DEF 的形状,并说明理由 第一章全等三角形第一章全等三角形 一选择题一选择题 1如图,下列各组条件中,不能得到ABCBAD 的是( ) ABCAD,ABCBAD BBCAD,ACBD CACBD,CABDBA DBCAD,CABDBA 【分析】根据图形可得公共边 ABAB,再加上选项所给条件,利用判

11、定定理 SSS、SAS、ASA、AAS 分别进行分析即可 【解答】解:根据图形可得公共边:ABAB, A、BCAD,ABCBAD 可利用 SAS 证明ABCBAD,故此选项不合题意; B、BCAD,ACBD 可利用 SSS 证明ABCBAD,故此选项不合题意; C、ACBD,CABDBA 可利用 SAS 证明ABCBAD,故此选项不合题意; D、BCAD,CABDBA 不能证明ABCBAD,故此选项符合题意; 故选:D 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法, 判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个

12、三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角 2如图,在四边形 ABCD 与四边形 ABCD中,ABAB,BB,BCBC下列条件中: AA,ADAD; AA,DD; AA,CDCD; ADAD,CDCD 添加上述条件中的其中一个, 可使四边形 ABCD四边形 ABCD 上述条件中符合要求的有 ( ) A B C D 【分析】连接 AC、AC,通过证明ABCABC(SAS) ,ACDACD(SAS) ,即可得到结论 【解答】解:符合要求的条件是, 证明:连接 AC、AC, 在ABC 与ABC中, = = = , ABCABC(SAS) , ACAC,ACBACB,AC

13、BACB, BADBAD, BADDACBADDAC, DACDAC, 在ACD 和ACD 中, = = = , ACDACD(SAS) , DD,ACDACD,CDCD, BCDBCD, 四边形 ABCD 和四边形 ABCD中, ABAB,BCBC,ADAD,DCDC, BB,BCDBCD,DD,BADBAD, 四边形 ABCD四边形 ABCD 同理根据的条件证得四边形 ABCD四边形 ABCD 故选:B 【点评】此题主要考查了全等形,全等三角形的判定和性质,关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS 3 如图, 已知 ABAC, AEAD, 要利用 “SSS”

14、 推理得出ABDACE, 还需要添加的一个条件是 ( ) ABC BBDCE CBADCAE D以上都不对 【分析】根据 BDCE,利用“SSS”定理解答即可 【解答】解:当 BDCE 时, 在ABD 和ACE 中, = = = , ABDACE(SSS) , 故选:B 【点评】本题考查的是全等三角形的判定,熟练运用“SSS”定理是解题的关键 4下列说法正确的是( ) A长度为 2cm、3cm 和 5cm 的三条线段首尾相接可以组成三角形 B面积相等的两个三角形全等 C两直线被第三条直线所截,同位角相等 D等角的补角相等 【分析】根据三角形三边关系定理即可判断选项 A;根据全等三角形的判定即可

15、判断选项 B;根据平行线的性质即可判断选项 C;根据补角的性质即可判断选项 D 【解答】解:A2+35,不符合三角形三边关系定理,不能组成三角形,故本选项不符合题意; B当一个三角形的底边是 2,这边上的高是 1,而另一个三角形的底边是 1,对应的高是 2,此时两三角形的面积相等,但两三角形不一定全等,故本选项不符合题意; C只有两条平行线被第三条直线所截,同位角才相等,故本选项不符合题意; D等角的补角相等,故本选项符合题意; 故选:D 【点评】本题考查了全等三角形的判定,平行线的性质,三角形三边关系定理等知识点,能熟记全等三角形的判定、平行线的性质、三角形三边关系定理是解此题的关键 5如图

16、,在 RtABC 中,A90,M 为 BC 的中点,H 为 AB 上一点,过点 C 作 CGAB,交 HM 的延长线于点 G,若 AC8,AB6,则四边形 ACGH 周长的最小值是( ) A24 B22 C20 D18 【分析】通过证明BMHCMG 可得 BHCG,可得四边形 ACGH 的周长即为 AB+AC+GH,进而可确定当 MHAB 时,四边形 ACGH 的周长有最小值,通过证明四边形 ACGH 为矩形可得 HG 的长,进而可求解 【解答】解:CGAB, BMCG, M 是 BC 的中点, BMCM, 在BMH 和CMG 中, = = = , BMHCMG(ASA) , HMGM,BHC

17、G, AB6,AC8, 四边形 ACGH 的周长AC+CG+AH+GHAB+AC+GH14+GH, 当 GH 最小时,即 MHAB 时四边形 ACGH 的周长有最小值, A90,MHAB, GHAC, 四边形 ACGH 为矩形, GH8, 四边形 ACGH 的周长最小值为 14+822, 故选:B 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,确定 GH 的值是解题的关键 6 如图, 在 RtABC 中, ACB90, ABC30, 若ABCABC, 且点 A恰好落在 AB 上,则ACA的度数为( ) A30 B45 C50 D60 【分析】证明ACA是等边三角形,可得结论 【解答】解:ACB9

18、0,ABC30, A903060, ABCABC, CACA, ACA为等边三角形, ACA60, 故选:D 【点评】本题考查全等三角形的性质,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是掌握旋转变换的性质,属于中考常考题型 7如图,在 RtABC 中,ABC90,以 AC 为边,作ACD,满足 ADAC,E 为 BC 上一点,连接AE,CAD2BAE,连接 DE,下列结论中:ADEACB;ACDE;AEBAED;DECE+2BE其中正确的有( ) A B C D 【分析】 因为CAD2BAE, 且ABC90, 故延长 EB 至 G, 使 BEBG, 从而得到GAECAD,进一步证明GACEAD

19、,且 AEAG,接着证明GACEAD,则ADEACG,DECG,所以是正确的,也可以通过线段的等量代换运算推导出是正确的,根据等腰三角形的性质可以判断是正确的,当CAEBAE 时,可以推导出 ACDE,否则 AC 不垂直于 DE,故是错误的 【解答】解:如图,延长 EB 至 G,使 BEBG,设 AC 与 DE 交于点 M, ABC90, ABGE, AB 垂直平分 GE, AGAE,GABBAE=12DAC, BAE=12GAE, GAECAD, GAE+EACCAD+EAC, GACEAD, 在GAC 与EAD 中, = = = , GACEAD(SAS) , GAED,ACBADE,故是

20、正确的; AGAE, GAEGAED,故正确; AE 平分BED, 当BAEEAC 时,AMEABE90,则 ACDE, 当BAEEAC 时,AMEABE,则无法说明 ACDE,故是不正确的; GACEAD, CGDE, CGCE+GECE+2BE, DECE+2BE,故是正确的, 综上所述:其中正确的有 故选:D 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质, 解决本题的关键是通过二倍角这一条件, 构造两倍的BAE,是本题的突破口,也是常用方法,同时,要注意本题设参数导角,对学生分析数据的能力有一定要求 8如图,在ABC 和ADE 中,CABDAE36,ABAC,ADAE连接 CD,连接 BE

21、 并延长交 AC,AD 于点 F,G若 BE 恰好平分ABC,则下列结论错误的是( ) AADCAEB BCDAB CDEGE DCDBE 【分析】利用 AAS 证明DACEAB 可得ADCAEB,CDBE,可判断 A,D 选项正确;由全等三角形的性质,三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解ACB 的度数,利用角平分线的定义求得ACDABE36,即可得ACDCAB,进而可证明 CDAB,即可判断 B 选项正确,进而可求解 【解答】解:ACABDAE36, CABCAEDAECAE,即DACEAB, 在DAC 和EAB 中, = = = , DACEAB(SAS) , ADCAEB,故 A

22、选项不符合题意; CDBE,故 D 选项不符合题意; BDACEAB, ACAB, ACBABC, CABDAE36, ACBABC(18036)272, BE 平分ABC, ABECBE36, ACDABE36, DCACAB36, CDAB(内错角相等,两直线平行) , 故 B 选项不符合题意; C根据已知条件无法证明 DEGE,故 C 选项符合题意 故选:C 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,平行线的判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理,证明DACEAB 是解题的关键 二填空题(共二填空题(共 8 小题)小题) 9在ABC 中,AD 是 BC 边上的高,CE 是 AB 边上

23、的高,AD,CE 所在直线交于点 F,若 ABCF,CD5,BD2,则ACF 的面积为 152 【分析】由 AD 是 BC 边上的高,CF 是 AB 边上的高得ADBCDF90,BEC90,进而得出BADFCD, ,还有条件 ABCE,即可证明ABDCFD,得 ADCD5,EDBD2,继而求出AF 的长度,即可计算出ACF 的面积 【解答】解:如图, AD 是 BC 边上的高,CE 是 AB 边上的高, ADBC,CEAB, ADBCDF90,BEC90, BAD+BFCD+B90, BADFCD, 在ABD 和CED 中, = = = , ABDCFD(AAS) , ADCD,FDBD, C

24、D5,BD2, AD5,FD2, AFADFD523, =12 =1235=152, 故答案为:152 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等等知识,熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解题的关键 10如图,在ABC 中,D,E 是 BC 边上的两点,ADAE,BECD,12110,BAE60,则BAC 的度数为 80 【分析】证ACDABE(SAS) ,得 ACAB,CADBAE60,再由等腰三角形的性质得BC,然后由三角形的外角性质求出C50,即可解决问题 【解答】解:ADAE, ADCAEB, 在ACD 和ABE 中, = = = , ACDABE(SAS) , ACAB

25、,CADBAE60, BC, C1CAD1106050, B50, BAC180BC180505080, 故答案为:80 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识,熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键 11如图,E 是ABC 的边 AC 的中点,过点 C 作 CFAB,过点 E 作直线 DF 交 AB 于 D,交 CF 于 F,若 AB9,CF6.5,则 BD 的长为 2.5 【分析】根据平行线性质得出ADEF,FCEA,求出 AEEC,根据 AAS 证ADECFE,根据全等三角形的性质推出即可 【解答】证明:CFA

26、B, ADEF,FCEA, 点 E 为 AC 的中点, AEEC, 在ADE 和CFE 中, = = = , ADECFE(AAS) , ADCF6.5, AB9, BDABAD96.52.5, 故答案为:2.5 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,注意:全等三角形的对应边相等,全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS 12如图,在正方形方格中,各正方形的顶点叫做格点,三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形图中ABC 是格点三角形,请你找出方格中所有与ABC 全等,且以 A 为顶点的格点三角形这样的三角形共有 5 个(ABC 除外) 【分析】根据全等三角形的

27、判定定理 SSS 画出和ABC 全等的三角形,再得出答案即可 【解答】解:如图 1 所示: 方格中所有与ABC 全等,且以 A 为顶点的格点三角形有FAO,HOA,EAD,AEF,ACH,共 5个, 故答案为:5 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理,能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有 SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有 HL 等 13如图,ABC 中,AB13cm,BC11cm,AC6cm,点 E 是 BC 边的中点,点 D 在 AB 边上,现将DBE 沿着 BA 方向向左平移至ADF 的位置,则四边形 DECF 的周长为 17 cm

28、【分析】连接 EF,证明CEFDFE(ASA) ,推出 DECF,可得结论 【解答】解:连接 EF 由平移的性质可知,AFDEEFAD,AFDE,EFAD,DFBC, CEFDFE,CFEDEF, 在CEF 和DFE 中, = = = , CEFDFE(ASA) , DECF, AFCFDE3cm E 是 BC 的中点, ECEBDF5.5cm, 四边形 DECF 的周长2(3+5.5)17cm 故答案为:17 【点评】本题考查平移变换,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题 14如图,在ABC 中,ABBC,BE、CF 分别是 AC、AB 边上的高,在 B

29、E 上取点 D,使 BDCA,在射线 CF 上取点 G,使 CGBA,连接 AD、AG,若DAE38,EBC20,则GAB 58 【分析】首先证明ABDGCA 可得AGCBAD,然后根据直角三角形两个锐角互余可得GAFABD+DAE20+3858,进而可以解决问题 【解答】解:BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高, BEACFA90, ABE+BAC90,ACF+BAC90, ABEACF, 在ABD 和GCA 中 = = = , ABDGCA(SAS) , AGCBAD, ABBC,BEAC, ABEEBC20, AGF+GAF90,ABE+BAD+DAE90, GAFABD+DAE2

30、0+3858, 即GAB58, 故答案为:58 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到ABDGCA 15如图,在ABC 中,ABAC,D 为 BC 上的一点,BAD28,在 AD 的右侧作ADE,使得 AEAD,DAEBAC,连接 CE,DE,DE 交 AC 于点 O,若 CEAB,则DOC 的度数为 92 【分析】根据已知条件证明DABEAC,可得BACE,再根据 CEAB,可得B+ACB+ACE180, 然后证明ABC 是等边三角形, ADE 是等边三角形, 进而根据三角形内角和定理即可解决问题 【解答】解:DAEBAC, DAEDACBACDAC, DABEAC,

31、 在DAB 和EAC 中, = = = , DABEAC(SAS) , BACE, CEAB, B+BCE180, B+ACB+ACE180, ABAC, BACB, BACBACE60, ABC 是等边三角形, DAEBAC60, ADE 是等边三角形, ADE60, BAD28, OAD602832, DOCOAD+ADE32+6092 故答案为:92 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到DABEAC 16如图,已知四边形 ABCD 中,AB10cm,BC8cm,CD12cm,BC,点 E 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度沿 BC

32、B 运动,同时,点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动当点Q 的运动速度为 913或 3 或54或154 cm/s 时,能够使BPE 与CQP 全等 【分析】设点 P 在线段 BC 上运动的时间为 t,分两种情况讨论,点 P 由 B 向 C 运动时,BPECQPBPECPQ,点 P 由 C 向 B 运动时,BPECQP,BPECPQ,根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可 【解答】解:设点 P 在线段 BC 上运动的时间为 t, 点 P 由 B 向 C 运动时,BP3t,CP83t, BPECQP, BECP5, 583t, 解得 t1, BPCQ3, 此时,点 Q 的运动速度为

33、313cm/s; 点 P 由 B 向 C 运动时, BPECPQ, BPCP, 3t83t, t=43, 此时,点 Q 的运动速度为:543=154cm/s; 点 P 由 C 向 B 运动时,CP3t8, BPECQP, BECP5, 53t8, 解得 t=133, BPCQ3, 此时,点 Q 的运动速度为 3133=913cm/s; 点 P 由 C 向 B 运动时, BPECPQ, BPCP4, 3t84, t4, BECQ5, 此时,点 Q 的运动速度为 54=54cm/s; 综上所述:点 Q 的运动速度为913cm/s 或 3cm/s 或45cm/s 或154cm/s; 故答案为:913

34、或 3 或54或154 【点评】本题考查三角形全等的判定,掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论,它们也是解决问题的关键 三解答题三解答题 17如图,BDBC,点 E 在 BC 上,且 BEAC,DEAB (1)求证:ABCEDB; (2)判断 AC 和 BD 的位置关系,并说明理由 【分析】 (1)根据 SSS 即可证明ABCEDB; (2)根据ABCEDB,可得ACBEBD,进而可得 ACBD 【解答】 (1)证明:在ABC 和EDB 中, = = = , ABCEDB(SSS) ; (2)解:ACBD,理由如下: ABCEDB, ACBEBD, ACBD 【点评】本题考查了

35、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到ADEBCF 18如图,线段 AB 上两点 C,D,ACBD,AB,AEBF,连结 DE 并延长至点 M,连结 CF 并延长至点 N,DE、CF 交于点 P,MNAB 求证:PMN 是等腰三角形 【分析】证明ADEBCF可得ADEBCF,然后根据平行线的性质即可解决问题 【解答】证明:ACBD, AC+CDBD+CD, ADBC, 在ADE 和BCF 中, = = = , ADEBCF(SAS) , ADEBCF, MNAB, ADEM,BCFN, MN, PMPN, PMN 是等腰三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得

36、到ADEBCF 19泾河以洪水猛烈、输沙量大著称(居全国江河支流之冠) ,是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度 AB, 如图李刚在河岸边的点 C 处用测角仪测得视线 CA 与河岸 CB之间的夹角ACB 的度数,王烨沿 AB 方向向前走,直到到达点 D 处时,李刚测得视线 CD 与河岸 CB 的夹角DCB 与ACB 相等,此时测得 BD30 米,已知 A、B、D 在一条直线上,CBAD,请你求出泾河此段的宽度 AB 【分析】根据垂直定义可得ABCDBC90,然后利用 ASA 证明ABCDBC,从而利用全等三角形的性质即可解答 【解答】解:CBAD, ABCDB

37、C90, 在ABC 和DBC 中, = = = , ABCDBC(ASA) , ABBD300 米, 泾河此段的宽度 AB 为 300 米 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 20如图,已知在CDE 中,12,直线 AB 经过点 E,DAAB,CBAB,垂足分别为 A、B,ADBE,求证:AEBC 【分析】由等腰三角形的性质证得 DECE,根据 HL 定理证得 RtDAERtEBC,由全等三角形的性质即可证得结论 【解答】解:证明:DAAB,CBAB, AB90 又12, DECE, 在 RtDAE 和 RtEBC 中, ADBE,DECE,

38、RtDAERtEBC(HL) , AEBC 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质,熟记直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键 21如图,在四边形ABCD 中,ABAC,BE 平分CBA,连接 AE,若 ADAE,DAECAB (1)求证:ADCAEB; (2)若CAB36,求证:CDAB 【分析】 (1)根据 SAS 证明全等 (2)只需证明ACDCAB 即可 【解答】 (1)证明:DAECAB, DAECAECABCAE DACEAB 在DAC 和EAB 中 = = = DACEAB(SAS) (2)证明:ABAC,CAB36, = =12(180 36) = 72 平分, =12 =

39、36. = = 36. , = = 36. = = 36. /. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,正确找齐全等三角形的条件是求解本题的关键 22如图,AOBCOD,OD 与 AB 交于点 G,OB 与 CD 交于点 E (1)AOD 与COB 的数量关系是:AOD COB; (2)求证:AOGCOE; (3)若 OAOB,当 A,O,C 三点共线时,恰好 OBCD,则此时AOB 120 【分析】 (1)由全等三角形的性质得AOBCOD,即可得出结论; (2)由全等三角形的性质得 OAOC,AC,再由 ASA 证AOGCOE 即可; (3)由全等三角形的性质得 OAOC,OBOD,则 O

40、AOBOCOD,再由三角形中位线定理得 OEAD,则ODABOD,然后证AODBODBOC60,即可得出结论 【解答】 (1)解:AOBCOD, AOBCOD, AOBBODCODBOD, 即AODCOB, 故答案为:; (2)证明:AOBCOD, OAOC,AC, 在AOG 和COE 中, = = = , AOGCOE(ASA) ; (3)如图,AOBCOD, OAOC,OBOD, OAOB, OAOBOCOD, OBCD, CEDE, OE 是ACD 的中位线, OEAD, ODABOD, OAOD, OADODA, OAD+ODA+AODBOD+BOC+AOD180,AODBOC, AO

41、DBODBOC60, AOB120, 故答案为:120 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 23综合与探究 如图,在ABC 和ADE 中,ABAC,ADAE,BACDAE,CE 的延长线交 BD 于点 F (1)求证:ACEABD (2)若BACDAE50,请直接写出BFC 的度数 (3)过点 A 作 AHBD 于点 H,求证:EF+DHHF 【分析】 (1)可利用 SAS 证明结论; (2)由全等三角形的性质可得AECADB,结合平角的定义可得DAE+DFE180,根据BFC+DFE180,可求得B

42、FCDAE,即可求解; (3)连接 AF,过点 A 作 AJCF 于点 J结合全等三角形的性质利用 HL 证明 RtAFJRtAFH,RtAJERtAHD 可得 FJFH,EJDH,进而可证明结论 【解答】 (1)证明:BACDAE CAEBAD 在ACE 和ABD 中, = = = , ACEABD(SAS) ; (2)解:ACEABD, AECADB, AEF+AECAEF+ADB180 DAE+DFE180, BFC+DFE180, BFCDAEBAC50; (3)证明:如图,连接 AF,过点 A 作 AJCF 于点 J ACEABD, SACESABD,CEBD, AJCE,AHBD

43、12 =12 , AJAH 在 RtAFJ 和 RtAFH 中, = = , RtAFJRtAFH(HL) , FJFH 在 RtAJE 和 RtAHD 中, = = , RtAJERtAHD(HL) , EJDH, EF+DHEF+EJFJFH 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定条件是解题的关键 24如图,在ABC 中,BC,点 D 是边 BC 上一点,CDAB,点 E 在边 AC 上 (1)若ADEB,求证: BADCDE; BDCE; (2)若 BDCE,BAC70,求ADE 的度数 【分析】 (1)利用 ASA 证明ABDDCE,即可解决问题; (2)由

44、SAS 证明ABDDCE,可得BADCDE,进而根据等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】 (1)证明:在ABC 中,BAD+B+ADB180, BAD180BADB, 又CDE180ADEADB, 且ADEB, BADCDE; 由得:BADCDE, 在ABD 与DCE 中, = = = , ABDDCE(ASA) , BDCE; (2)解:在ABD 与DCE 中, = = = , ABDDCE(SAS) , BADCDE, 又ADE180CDEADB, ADE180BADADBB, 在ABC 中,BAC70,BC, BC=12(180BAC)=1211055, ADE55 【点评】本题考查了

45、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是得到ABDDCE 25如图,在ABC 中,ABC、ACB 的平分线交于点 D,延长 BD 交 AC 于 E,G、F 分别在 BD、BC上,连接 DF、GF,其中A2BDF,GDDE (1)当A80时,求EDC 的度数; (2)求证:CFFG+CE 【分析】(1) 在 BC 上取点 M, 使 CMCE, 证明CDECDM (SAS) , 可得 DEDM, DECDMC,EDCMDC,证明BDM18012ABCDMB18012ABCAEBA80,进而可以解决问题 (2)结合(1)然后证明DGFDMF(SAS) ,可得 GFMF,进而可以解决问题 【解答】 (

46、1)解:如图,在 BC 上取点 M,使 CMCE, CD 平分ACB, ACDBCD, 在CDE 和CDM 中, = = = , CDECDM(SAS) , DEDM,DECDMC,EDCMDC, GDDE, GDMD, DEC+AEB180,DMC+DMF180, AEBDMF, BE 平分ABC, ABECBE=12ABC, BDM18012ABCDMB18012ABCAEBA80, EDM100, EDC50; (2)证明:A2BDF, BDM2BDF, FDMBDF, 在DGF 和DMF 中, = = = , DGFDMF(SAS) , GFMF, CFCM+FMCE+GF CFFG+

47、CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的定义,解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到DGFDMF 26在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D,A,E,在直线 m 上方有 ABAC,且满足BDAAECBAC (1)如图 1,当 90时,猜想线段 DE,BD,CE 之间的数量关系是 DEBD+CE ; (2)如图 2,当 0180 时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由; (3)拓展与应用:如图 3,当 120时,点 F 为BAC 平分线上的一点,且 ABAF,分别连接 FB,FD,FE,FC,试判断DEF 的形状,并说明理由 【分析】

48、(1) 由BDABACAEC90得到BAD+EACBAD+DBA90, 进而得到DBAEAC,然后结合 ABAC 得证DBAEAC,最后得到 DEBD+CE; (2)由BDABACAEC 得到BAD+EACBAD+DBA180,进而得到DBAEAC,然后结合 ABAC 得证DBAEAC,最后得到 DEBD+CE; (3)先由 120和 AF 平分BAC 得到BAFCAF60,然后结合 ABAFAC 得到ABF 和ACF 是等边三角形,然后得到 FAFC、FCAFAB60,然后结合BDAEAC 得到BADACE、 ADCE, 从而得到FADFCE, 故可证FADFCE, 从而得到 DFEF、 D

49、FAEFC,最后得到DFEDFA+AFEEFC+AFE60,即可得证DEF 是等边三角形 【解答】解: (1)DEBD+CE,理由如下, BDABACAEC90, BAD+EACBAD+DBA90, DBAEAC, ABAC, DBAEAC(AAS) , ADCE,BDAE, DEAD+AEBD+CE, 故答案为:DEBD+CE (2)DEBD+CE 仍然成立,理由如下, BDABACAEC, BAD+EACBAD+DBA180, DBAEAC, ABAC, DBAEAC(AAS) , BDAE,ADCE, DEAD+AEBD+CE; (3)DEF 是等边三角形,理由如下, 120,AF 平分BAC, BAFCAF60, ABAFAC, ABF 和ACF 是等边三角形, FAFC,FCAFABAFC60, 同(2)可得,BDAAEC, BADACE,ADCE, FADFCE, FADFCE(SAS) , DFEF,DFAEFC, DFEDFA+AFEEFC+AFEAFC60, DEF 是等边三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质,解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等