1、第一章全等三角形第一章全等三角形 一选择题一选择题 1如图，下列各组条件中，不能得到ABCBAD 的是（ ） ABCAD，ABCBAD BBCAD，ACBD CACBD，CABDBA DBCAD，CABDBA 2如图，在四边形 ABCD 与四边形 ABCD中，ABAB，BB，BCBC下列条件中： AA，ADAD； AA，DD； AA，CDCD； ADAD，CDCD 添加上述条件中的其中一个， 可使四边形 ABCD四边形 ABCD 上述条件中符合要求的有 （ ） A B C D 3 如图， 已知 ABAC， AEAD， 要利用 “SSS” 推理得出ABDACE， 还需要添加的一个条件是 （ ）
2、ABC BBDCE CBADCAE D以上都不对 4下列说法正确的是（ ） A长度为 2cm、3cm 和 5cm 的三条线段首尾相接可以组成三角形 B面积相等的两个三角形全等 C两直线被第三条直线所截，同位角相等 D等角的补角相等 5如图，在 RtABC 中，A90，M 为 BC 的中点，H 为 AB 上一点，过点 C 作 CGAB，交 HM 的延长线于点 G，若 AC8，AB6，则四边形 ACGH 周长的最小值是（ ） A24 B22 C20 D18 6 如图， 在 RtABC 中， ACB90， ABC30， 若ABCABC， 且点 A恰好落在 AB 上，则ACA的度数为（ ） A30 B
3、45 C50 D60 7如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AC 为边，作ACD，满足 ADAC，E 为 BC 上一点，连接AE，CAD2BAE，连接 DE，下列结论中：ADEACB；ACDE；AEBAED；DECE+2BE其中正确的有（ ） A B C D 8如图，在ABC 和ADE 中，CABDAE36，ABAC，ADAE连接 CD，连接 BE 并延长交 AC，AD 于点 F，G若 BE 恰好平分ABC，则下列结论错误的是（ ） AADCAEB BCDAB CDEGE DCDBE 二填空题二填空题 9在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高，AD，CE 所在直
4、线交于点 F，若 ABCF，CD5，BD2，则ACF 的面积为 10如图，在ABC 中，D，E 是 BC 边上的两点，ADAE，BECD，12110，BAE60，则BAC 的度数为 11如图，E 是ABC 的边 AC 的中点，过点 C 作 CFAB，过点 E 作直线 DF 交 AB 于 D，交 CF 于 F，若 AB9，CF6.5，则 BD 的长为 12如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形图中ABC 是格点三角形，请你找出方格中所有与ABC 全等，且以 A 为顶点的格点三角形这样的三角形共有 个（ABC 除外） 13如图，ABC 中，AB13c
5、m，BC11cm，AC6cm，点 E 是 BC 边的中点，点 D 在 AB 边上，现将DBE 沿着 BA 方向向左平移至ADF 的位置，则四边形 DECF 的周长为 cm 14如图，在ABC 中，ABBC，BE、CF 分别是 AC、AB 边上的高，在 BE 上取点 D，使 BDCA，在射线 CF 上取点 G，使 CGBA，连接 AD、AG，若DAE38，EBC20，则GAB 15如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上的一点，BAD28，在 AD 的右侧作ADE，使得 AEAD，DAEBAC，连接 CE，DE，DE 交 AC 于点 O，若 CEAB，则DOC 的度数为 16如图，已知四边
6、形 ABCD 中，AB10cm，BC8cm，CD12cm，BC，点 E 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度沿 BCB 运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动当点Q 的运动速度为 cm/s 时，能够使BPE 与CQP 全等 三解答题三解答题 17如图，BDBC，点 E 在 BC 上，且 BEAC，DEAB （1）求证：ABCEDB； （2）判断 AC 和 BD 的位置关系，并说明理由 18如图，线段 AB 上两点 C，D，ACBD，AB，AEBF，连结 DE 并延长至点 M，连结 CF 并延长至点 N，DE、CF 交于点 P，MNAB 求证：
7、PMN 是等腰三角形 19泾河以洪水猛烈、输沙量大著称（居全国江河支流之冠） ，是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度 AB， 如图李刚在河岸边的点 C 处用测角仪测得视线 CA 与河岸 CB之间的夹角ACB 的度数，王烨沿 AB 方向向前走，直到到达点 D 处时，李刚测得视线 CD 与河岸 CB 的夹角DCB 与ACB 相等，此时测得 BD30 米，已知 A、B、D 在一条直线上，CBAD，请你求出泾河此段的宽度 AB 20如图，已知在CDE 中，12，直线 AB 经过点 E，DAAB，CBAB，垂足分别为 A、B，ADBE，求证：AEBC 21如图，在四边
8、形ABCD 中，ABAC，BE 平分CBA，连接 AE，若 ADAE，DAECAB （1）求证：ADCAEB； （2）若CAB36，求证：CDAB 22如图，AOBCOD，OD 与 AB 交于点 G，OB 与 CD 交于点 E （1）AOD 与COB 的数量关系是：AOD COB； （2）求证：AOGCOE； （3）若 OAOB，当 A，O，C 三点共线时，恰好 OBCD，则此时AOB 23综合与探究 如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，CE 的延长线交 BD 于点 F （1）求证：ACEABD （2）若BACDAE50，请直接写出BFC 的度数 （3）过点 A 作
9、 AHBD 于点 H，求证：EF+DHHF 24如图，在ABC 中，BC，点 D 是边 BC 上一点，CDAB，点 E 在边 AC 上 （1）若ADEB，求证： BADCDE； BDCE； （2）若 BDCE，BAC70，求ADE 的度数 25如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交于点 D，延长 BD 交 AC 于 E，G、F 分别在 BD、BC上，连接 DF、GF，其中A2BDF，GDDE （1）当A80时，求EDC 的度数； （2）求证：CFFG+CE 26在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D，A，E，在直线 m 上方有 ABAC，且满足BDAAECBAC （1）如图 1，当
10、90时，猜想线段 DE，BD，CE 之间的数量关系是 ； （2）如图 2，当 0180 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图 3，当 120时，点 F 为BAC 平分线上的一点，且 ABAF，分别连接 FB，FD，FE，FC，试判断DEF 的形状，并说明理由 第一章全等三角形第一章全等三角形 一选择题一选择题 1如图，下列各组条件中，不能得到ABCBAD 的是（ ） ABCAD，ABCBAD BBCAD，ACBD CACBD，CABDBA DBCAD，CABDBA 【分析】根据图形可得公共边 ABAB，再加上选项所给条件，利用判
11、定定理 SSS、SAS、ASA、AAS 分别进行分析即可 【解答】解：根据图形可得公共边：ABAB， A、BCAD，ABCBAD 可利用 SAS 证明ABCBAD，故此选项不合题意； B、BCAD，ACBD 可利用 SSS 证明ABCBAD，故此选项不合题意； C、ACBD，CABDBA 可利用 SAS 证明ABCBAD，故此选项不合题意； D、BCAD，CABDBA 不能证明ABCBAD，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】 本题考查三角形全等的判定方法， 判定两个三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个
12、三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 2如图，在四边形 ABCD 与四边形 ABCD中，ABAB，BB，BCBC下列条件中： AA，ADAD； AA，DD； AA，CDCD； ADAD，CDCD 添加上述条件中的其中一个， 可使四边形 ABCD四边形 ABCD 上述条件中符合要求的有 （ ） A B C D 【分析】连接 AC、AC，通过证明ABCABC（SAS） ，ACDACD（SAS） ，即可得到结论 【解答】解：符合要求的条件是， 证明：连接 AC、AC， 在ABC 与ABC中， = = = ， ABCABC（SAS） ， ACAC，ACBACB，AC
13、BACB， BADBAD， BADDACBADDAC， DACDAC， 在ACD 和ACD 中， = = = ， ACDACD（SAS） ， DD，ACDACD，CDCD， BCDBCD， 四边形 ABCD 和四边形 ABCD中， ABAB，BCBC，ADAD，DCDC， BB，BCDBCD，DD，BADBAD， 四边形 ABCD四边形 ABCD 同理根据的条件证得四边形 ABCD四边形 ABCD 故选：B 【点评】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 3 如图， 已知 ABAC， AEAD， 要利用 “SSS”
14、 推理得出ABDACE， 还需要添加的一个条件是 （ ） ABC BBDCE CBADCAE D以上都不对 【分析】根据 BDCE，利用“SSS”定理解答即可 【解答】解：当 BDCE 时， 在ABD 和ACE 中， = = = ， ABDACE（SSS） ， 故选：B 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟练运用“SSS”定理是解题的关键 4下列说法正确的是（ ） A长度为 2cm、3cm 和 5cm 的三条线段首尾相接可以组成三角形 B面积相等的两个三角形全等 C两直线被第三条直线所截，同位角相等 D等角的补角相等 【分析】根据三角形三边关系定理即可判断选项 A；根据全等三角形的判定即可
15、判断选项 B；根据平行线的性质即可判断选项 C；根据补角的性质即可判断选项 D 【解答】解：A2+35，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B当一个三角形的底边是 2，这边上的高是 1，而另一个三角形的底边是 1，对应的高是 2，此时两三角形的面积相等，但两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； C只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项不符合题意； D等角的补角相等，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识点，能熟记全等三角形的判定、平行线的性质、三角形三边关系定理是解此题的关键 5如图
16、，在 RtABC 中，A90，M 为 BC 的中点，H 为 AB 上一点，过点 C 作 CGAB，交 HM 的延长线于点 G，若 AC8，AB6，则四边形 ACGH 周长的最小值是（ ） A24 B22 C20 D18 【分析】通过证明BMHCMG 可得 BHCG，可得四边形 ACGH 的周长即为 AB+AC+GH，进而可确定当 MHAB 时，四边形 ACGH 的周长有最小值，通过证明四边形 ACGH 为矩形可得 HG 的长，进而可求解 【解答】解：CGAB， BMCG， M 是 BC 的中点， BMCM， 在BMH 和CMG 中， = = = ， BMHCMG（ASA） ， HMGM，BHC
17、G， AB6，AC8， 四边形 ACGH 的周长AC+CG+AH+GHAB+AC+GH14+GH， 当 GH 最小时，即 MHAB 时四边形 ACGH 的周长有最小值， A90，MHAB， GHAC， 四边形 ACGH 为矩形， GH8， 四边形 ACGH 的周长最小值为 14+822， 故选：B 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定 GH 的值是解题的关键 6 如图， 在 RtABC 中， ACB90， ABC30， 若ABCABC， 且点 A恰好落在 AB 上，则ACA的度数为（ ） A30 B45 C50 D60 【分析】证明ACA是等边三角形，可得结论 【解答】解：ACB9
18、0，ABC30， A903060， ABCABC， CACA， ACA为等边三角形， ACA60， 故选：D 【点评】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型 7如图，在 RtABC 中，ABC90，以 AC 为边，作ACD，满足 ADAC，E 为 BC 上一点，连接AE，CAD2BAE，连接 DE，下列结论中：ADEACB；ACDE；AEBAED；DECE+2BE其中正确的有（ ） A B C D 【分析】 因为CAD2BAE， 且ABC90， 故延长 EB 至 G， 使 BEBG， 从而得到GAECAD，进一步证明GACEAD
19、，且 AEAG，接着证明GACEAD，则ADEACG，DECG，所以是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出是正确的，根据等腰三角形的性质可以判断是正确的，当CAEBAE 时，可以推导出 ACDE，否则 AC 不垂直于 DE，故是错误的 【解答】解：如图，延长 EB 至 G，使 BEBG，设 AC 与 DE 交于点 M， ABC90， ABGE， AB 垂直平分 GE， AGAE，GABBAE=12DAC， BAE=12GAE， GAECAD， GAE+EACCAD+EAC， GACEAD， 在GAC 与EAD 中， = = = ， GACEAD（SAS） ， GAED，ACBADE，故是
20、正确的； AGAE， GAEGAED，故正确； AE 平分BED， 当BAEEAC 时，AMEABE90，则 ACDE， 当BAEEAC 时，AMEABE，则无法说明 ACDE，故是不正确的； GACEAD， CGDE， CGCE+GECE+2BE， DECE+2BE，故是正确的， 综上所述：其中正确的有 故选：D 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质， 解决本题的关键是通过二倍角这一条件， 构造两倍的BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求 8如图，在ABC 和ADE 中，CABDAE36，ABAC，ADAE连接 CD，连接 BE
21、 并延长交 AC，AD 于点 F，G若 BE 恰好平分ABC，则下列结论错误的是（ ） AADCAEB BCDAB CDEGE DCDBE 【分析】利用 AAS 证明DACEAB 可得ADCAEB，CDBE，可判断 A，D 选项正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解ACB 的度数，利用角平分线的定义求得ACDABE36，即可得ACDCAB，进而可证明 CDAB，即可判断 B 选项正确，进而可求解 【解答】解：ACABDAE36， CABCAEDAECAE，即DACEAB， 在DAC 和EAB 中， = = = ， DACEAB（SAS） ， ADCAEB，故 A
22、选项不符合题意； CDBE，故 D 选项不符合题意； BDACEAB， ACAB， ACBABC， CABDAE36， ACBABC（18036）272， BE 平分ABC， ABECBE36， ACDABE36， DCACAB36， CDAB（内错角相等，两直线平行） ， 故 B 选项不符合题意； C根据已知条件无法证明 DEGE，故 C 选项符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，证明DACEAB 是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上
23、的高，AD，CE 所在直线交于点 F，若 ABCF，CD5，BD2，则ACF 的面积为 152 【分析】由 AD 是 BC 边上的高，CF 是 AB 边上的高得ADBCDF90，BEC90，进而得出BADFCD， ，还有条件 ABCE，即可证明ABDCFD，得 ADCD5，EDBD2，继而求出AF 的长度，即可计算出ACF 的面积 【解答】解：如图， AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高， ADBC，CEAB， ADBCDF90，BEC90， BAD+BFCD+B90， BADFCD， 在ABD 和CED 中， = = = ， ABDCFD（AAS） ， ADCD，FDBD， C
24、D5，BD2， AD5，FD2， AFADFD523， =12 =1235=152， 故答案为：152 【点评】此题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等等知识，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解题的关键 10如图，在ABC 中，D，E 是 BC 边上的两点，ADAE，BECD，12110，BAE60，则BAC 的度数为 80 【分析】证ACDABE（SAS） ，得 ACAB，CADBAE60，再由等腰三角形的性质得BC，然后由三角形的外角性质求出C50，即可解决问题 【解答】解：ADAE， ADCAEB， 在ACD 和ABE 中， = = = ， ACDABE（SAS） ， ACAB
25、，CADBAE60， BC， C1CAD1106050， B50， BAC180BC180505080， 故答案为：80 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 11如图，E 是ABC 的边 AC 的中点，过点 C 作 CFAB，过点 E 作直线 DF 交 AB 于 D，交 CF 于 F，若 AB9，CF6.5，则 BD 的长为 2.5 【分析】根据平行线性质得出ADEF，FCEA，求出 AEEC，根据 AAS 证ADECFE，根据全等三角形的性质推出即可 【解答】证明：CFA
26、B， ADEF，FCEA， 点 E 为 AC 的中点， AEEC， 在ADE 和CFE 中， = = = ， ADECFE（AAS） ， ADCF6.5， AB9， BDABAD96.52.5， 故答案为：2.5 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS 12如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形图中ABC 是格点三角形，请你找出方格中所有与ABC 全等，且以 A 为顶点的格点三角形这样的三角形共有 5 个（ABC 除外） 【分析】根据全等三角形的
27、判定定理 SSS 画出和ABC 全等的三角形，再得出答案即可 【解答】解：如图 1 所示： 方格中所有与ABC 全等，且以 A 为顶点的格点三角形有FAO，HOA，EAD，AEF，ACH，共 5个， 故答案为：5 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 等 13如图，ABC 中，AB13cm，BC11cm，AC6cm，点 E 是 BC 边的中点，点 D 在 AB 边上，现将DBE 沿着 BA 方向向左平移至ADF 的位置，则四边形 DECF 的周长为 17 cm
28、【分析】连接 EF，证明CEFDFE（ASA） ，推出 DECF，可得结论 【解答】解：连接 EF 由平移的性质可知，AFDEEFAD，AFDE，EFAD，DFBC， CEFDFE，CFEDEF， 在CEF 和DFE 中， = = = ， CEFDFE（ASA） ， DECF， AFCFDE3cm E 是 BC 的中点， ECEBDF5.5cm， 四边形 DECF 的周长2（3+5.5）17cm 故答案为：17 【点评】本题考查平移变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题 14如图，在ABC 中，ABBC，BE、CF 分别是 AC、AB 边上的高，在 B
29、E 上取点 D，使 BDCA，在射线 CF 上取点 G，使 CGBA，连接 AD、AG，若DAE38，EBC20，则GAB 58 【分析】首先证明ABDGCA 可得AGCBAD，然后根据直角三角形两个锐角互余可得GAFABD+DAE20+3858，进而可以解决问题 【解答】解：BE、CF 分别是 AC、AB 两边上的高， BEACFA90， ABE+BAC90，ACF+BAC90， ABEACF， 在ABD 和GCA 中 = = = ， ABDGCA（SAS） ， AGCBAD， ABBC，BEAC， ABEEBC20， AGF+GAF90，ABE+BAD+DAE90， GAFABD+DAE2
30、0+3858， 即GAB58， 故答案为：58 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到ABDGCA 15如图，在ABC 中，ABAC，D 为 BC 上的一点，BAD28，在 AD 的右侧作ADE，使得 AEAD，DAEBAC，连接 CE，DE，DE 交 AC 于点 O，若 CEAB，则DOC 的度数为 92 【分析】根据已知条件证明DABEAC，可得BACE，再根据 CEAB，可得B+ACB+ACE180， 然后证明ABC 是等边三角形， ADE 是等边三角形， 进而根据三角形内角和定理即可解决问题 【解答】解：DAEBAC， DAEDACBACDAC， DABEAC，
31、 在DAB 和EAC 中， = = = ， DABEAC（SAS） ， BACE， CEAB， B+BCE180， B+ACB+ACE180， ABAC， BACB， BACBACE60， ABC 是等边三角形， DAEBAC60， ADE 是等边三角形， ADE60， BAD28， OAD602832， DOCOAD+ADE32+6092 故答案为：92 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到DABEAC 16如图，已知四边形 ABCD 中，AB10cm，BC8cm，CD12cm，BC，点 E 为 AB 的中点如果点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度沿 BC
32、B 运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动当点Q 的运动速度为 913或 3 或54或154 cm/s 时，能够使BPE 与CQP 全等 【分析】设点 P 在线段 BC 上运动的时间为 t，分两种情况讨论，点 P 由 B 向 C 运动时，BPECQPBPECPQ，点 P 由 C 向 B 运动时，BPECQP，BPECPQ，根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可 【解答】解：设点 P 在线段 BC 上运动的时间为 t， 点 P 由 B 向 C 运动时，BP3t，CP83t， BPECQP， BECP5， 583t， 解得 t1， BPCQ3， 此时，点 Q 的运动速度为
33、313cm/s； 点 P 由 B 向 C 运动时， BPECPQ， BPCP， 3t83t， t=43， 此时，点 Q 的运动速度为：543=154cm/s； 点 P 由 C 向 B 运动时，CP3t8， BPECQP， BECP5， 53t8， 解得 t=133， BPCQ3， 此时，点 Q 的运动速度为 3133=913cm/s； 点 P 由 C 向 B 运动时， BPECPQ， BPCP4， 3t84， t4， BECQ5， 此时，点 Q 的运动速度为 54=54cm/s； 综上所述：点 Q 的运动速度为913cm/s 或 3cm/s 或45cm/s 或154cm/s； 故答案为：913
34、或 3 或54或154 【点评】本题考查三角形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论，它们也是解决问题的关键 三解答题三解答题 17如图，BDBC，点 E 在 BC 上，且 BEAC，DEAB （1）求证：ABCEDB； （2）判断 AC 和 BD 的位置关系，并说明理由 【分析】 （1）根据 SSS 即可证明ABCEDB； （2）根据ABCEDB，可得ACBEBD，进而可得 ACBD 【解答】 （1）证明：在ABC 和EDB 中， = = = ， ABCEDB（SSS） ； （2）解：ACBD，理由如下： ABCEDB， ACBEBD， ACBD 【点评】本题考查了
35、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到ADEBCF 18如图，线段 AB 上两点 C，D，ACBD，AB，AEBF，连结 DE 并延长至点 M，连结 CF 并延长至点 N，DE、CF 交于点 P，MNAB 求证：PMN 是等腰三角形 【分析】证明ADEBCF可得ADEBCF，然后根据平行线的性质即可解决问题 【解答】证明：ACBD， AC+CDBD+CD， ADBC， 在ADE 和BCF 中， = = = ， ADEBCF（SAS） ， ADEBCF， MNAB， ADEM，BCFN， MN， PMPN， PMN 是等腰三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得
36、到ADEBCF 19泾河以洪水猛烈、输沙量大著称（居全国江河支流之冠） ，是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度 AB， 如图李刚在河岸边的点 C 处用测角仪测得视线 CA 与河岸 CB之间的夹角ACB 的度数，王烨沿 AB 方向向前走，直到到达点 D 处时，李刚测得视线 CD 与河岸 CB 的夹角DCB 与ACB 相等，此时测得 BD30 米，已知 A、B、D 在一条直线上，CBAD，请你求出泾河此段的宽度 AB 【分析】根据垂直定义可得ABCDBC90，然后利用 ASA 证明ABCDBC，从而利用全等三角形的性质即可解答 【解答】解：CBAD， ABCDB
37、C90， 在ABC 和DBC 中， = = = ， ABCDBC（ASA） ， ABBD300 米， 泾河此段的宽度 AB 为 300 米 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 20如图，已知在CDE 中，12，直线 AB 经过点 E，DAAB，CBAB，垂足分别为 A、B，ADBE，求证：AEBC 【分析】由等腰三角形的性质证得 DECE，根据 HL 定理证得 RtDAERtEBC，由全等三角形的性质即可证得结论 【解答】解：证明：DAAB，CBAB， AB90 又12， DECE， 在 RtDAE 和 RtEBC 中， ADBE，DECE，
38、RtDAERtEBC（HL） ， AEBC 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记直角三角形全等的判定定理是解决问题的关键 21如图，在四边形ABCD 中，ABAC，BE 平分CBA，连接 AE，若 ADAE，DAECAB （1）求证：ADCAEB； （2）若CAB36，求证：CDAB 【分析】 （1）根据 SAS 证明全等 （2）只需证明ACDCAB 即可 【解答】 （1）证明：DAECAB， DAECAECABCAE DACEAB 在DAC 和EAB 中 = = = DACEAB（SAS） （2）证明：ABAC，CAB36， = =12(180 36) = 72 平分， =12 =
39、36. = = 36. ， = = 36. = = 36. /. 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正确找齐全等三角形的条件是求解本题的关键 22如图，AOBCOD，OD 与 AB 交于点 G，OB 与 CD 交于点 E （1）AOD 与COB 的数量关系是：AOD COB； （2）求证：AOGCOE； （3）若 OAOB，当 A，O，C 三点共线时，恰好 OBCD，则此时AOB 120 【分析】 （1）由全等三角形的性质得AOBCOD，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得 OAOC，AC，再由 ASA 证AOGCOE 即可； （3）由全等三角形的性质得 OAOC，OBOD，则 O
40、AOBOCOD，再由三角形中位线定理得 OEAD，则ODABOD，然后证AODBODBOC60，即可得出结论 【解答】 （1）解：AOBCOD， AOBCOD， AOBBODCODBOD， 即AODCOB， 故答案为：； （2）证明：AOBCOD， OAOC，AC， 在AOG 和COE 中， = = = ， AOGCOE（ASA） ； （3）如图，AOBCOD， OAOC，OBOD， OAOB， OAOBOCOD， OBCD， CEDE， OE 是ACD 的中位线， OEAD， ODABOD， OAOD， OADODA， OAD+ODA+AODBOD+BOC+AOD180，AODBOC， AO
41、DBODBOC60， AOB120， 故答案为：120 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 23综合与探究 如图，在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE，CE 的延长线交 BD 于点 F （1）求证：ACEABD （2）若BACDAE50，请直接写出BFC 的度数 （3）过点 A 作 AHBD 于点 H，求证：EF+DHHF 【分析】 （1）可利用 SAS 证明结论； （2）由全等三角形的性质可得AECADB，结合平角的定义可得DAE+DFE180，根据BFC+DFE180，可求得B
42、FCDAE，即可求解； （3）连接 AF，过点 A 作 AJCF 于点 J结合全等三角形的性质利用 HL 证明 RtAFJRtAFH，RtAJERtAHD 可得 FJFH，EJDH，进而可证明结论 【解答】 （1）证明：BACDAE CAEBAD 在ACE 和ABD 中， = = = ， ACEABD（SAS） ； （2）解：ACEABD， AECADB， AEF+AECAEF+ADB180 DAE+DFE180， BFC+DFE180， BFCDAEBAC50； （3）证明：如图，连接 AF，过点 A 作 AJCF 于点 J ACEABD， SACESABD，CEBD， AJCE，AHBD
43、12 =12 ， AJAH 在 RtAFJ 和 RtAFH 中， = = ， RtAFJRtAFH（HL） ， FJFH 在 RtAJE 和 RtAHD 中， = = ， RtAJERtAHD（HL） ， EJDH， EF+DHEF+EJFJFH 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键 24如图，在ABC 中，BC，点 D 是边 BC 上一点，CDAB，点 E 在边 AC 上 （1）若ADEB，求证： BADCDE； BDCE； （2）若 BDCE，BAC70，求ADE 的度数 【分析】 （1）利用 ASA 证明ABDDCE，即可解决问题； （2）由
44、SAS 证明ABDDCE，可得BADCDE，进而根据等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】 （1）证明：在ABC 中，BAD+B+ADB180， BAD180BADB， 又CDE180ADEADB， 且ADEB， BADCDE； 由得：BADCDE， 在ABD 与DCE 中， = = = ， ABDDCE（ASA） ， BDCE； （2）解：在ABD 与DCE 中， = = = ， ABDDCE（SAS） ， BADCDE， 又ADE180CDEADB， ADE180BADADBB， 在ABC 中，BAC70，BC， BC=12（180BAC）=1211055， ADE55 【点评】本题考查了
45、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到ABDDCE 25如图，在ABC 中，ABC、ACB 的平分线交于点 D，延长 BD 交 AC 于 E，G、F 分别在 BD、BC上，连接 DF、GF，其中A2BDF，GDDE （1）当A80时，求EDC 的度数； （2）求证：CFFG+CE 【分析】（1） 在 BC 上取点 M， 使 CMCE， 证明CDECDM （SAS） ， 可得 DEDM， DECDMC，EDCMDC，证明BDM18012ABCDMB18012ABCAEBA80，进而可以解决问题 （2）结合（1）然后证明DGFDMF（SAS） ，可得 GFMF，进而可以解决问题 【解答】 （
46、1）解：如图，在 BC 上取点 M，使 CMCE， CD 平分ACB， ACDBCD， 在CDE 和CDM 中， = = = ， CDECDM（SAS） ， DEDM，DECDMC，EDCMDC， GDDE， GDMD， DEC+AEB180，DMC+DMF180， AEBDMF， BE 平分ABC， ABECBE=12ABC， BDM18012ABCDMB18012ABCAEBA80， EDM100， EDC50； （2）证明：A2BDF， BDM2BDF， FDMBDF， 在DGF 和DMF 中， = = = ， DGFDMF（SAS） ， GFMF， CFCM+FMCE+GF CFFG+
47、CE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到DGFDMF 26在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D，A，E，在直线 m 上方有 ABAC，且满足BDAAECBAC （1）如图 1，当 90时，猜想线段 DE，BD，CE 之间的数量关系是 DEBD+CE ； （2）如图 2，当 0180 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图 3，当 120时，点 F 为BAC 平分线上的一点，且 ABAF，分别连接 FB，FD，FE，FC，试判断DEF 的形状，并说明理由 【分析】
48、（1） 由BDABACAEC90得到BAD+EACBAD+DBA90， 进而得到DBAEAC，然后结合 ABAC 得证DBAEAC，最后得到 DEBD+CE； （2）由BDABACAEC 得到BAD+EACBAD+DBA180，进而得到DBAEAC，然后结合 ABAC 得证DBAEAC，最后得到 DEBD+CE； （3）先由 120和 AF 平分BAC 得到BAFCAF60，然后结合 ABAFAC 得到ABF 和ACF 是等边三角形，然后得到 FAFC、FCAFAB60，然后结合BDAEAC 得到BADACE、 ADCE， 从而得到FADFCE， 故可证FADFCE， 从而得到 DFEF、 D
49、FAEFC，最后得到DFEDFA+AFEEFC+AFE60，即可得证DEF 是等边三角形 【解答】解： （1）DEBD+CE，理由如下， BDABACAEC90， BAD+EACBAD+DBA90， DBAEAC， ABAC， DBAEAC（AAS） ， ADCE，BDAE， DEAD+AEBD+CE， 故答案为：DEBD+CE （2）DEBD+CE 仍然成立，理由如下， BDABACAEC， BAD+EACBAD+DBA180， DBAEAC， ABAC， DBAEAC（AAS） ， BDAE，ADCE， DEAD+AEBD+CE； （3）DEF 是等边三角形，理由如下， 120，AF 平分BAC， BAFCAF60， ABAFAC， ABF 和ACF 是等边三角形， FAFC，FCAFABAFC60， 同（2）可得，BDAAEC， BADACE，ADCE， FADFCE， FADFCE（SAS） ， DFEF，DFAEFC， DFEDFA+AFEEFC+AFEAFC60， DEF 是等边三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等