1、2021-2022 学年山东省聊城市九年级上学年山东省聊城市九年级上第一次调研数学试卷第一次调研数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）已知 sina，且 a 是锐角，则 a（ ） A75 B60 C45 D30 2 （3 分）已知两个相似三角形的相似比为 4：9，则它们周长的比为（ ） A2：3 B4：9 C3：2 D16：81 3 （3 分）如图，12，则下列各式不能说明ABCADE 的是（ ） ADB BEC C D 4 （3 分）下列说法不一定正确的是（ ） A所有的等边三角形都相似 B有一个角
2、是 100的等腰三角形相似 C所有的正方形都相似 D所有的矩形都相似 5 （3 分）在 RtACB 中，C90，AB10，sinA，则 BC 的长为（ ） A6 B7.5 C8 D12.5 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，下列式子正确的是（ ） AsinA BcosA CtanA DcosB 7 （3 分）如图， 在网格中，小正方形的边长均为 1， 点 A、 B、 O 都在格点上， 则AOB 的正弦值是 （ ） A B C D 8 （3 分）如图，以某点为位似中心，将OAB 进行位似变换得到DFE，若OAB 与DFE 的相似比为k，则位似中心的坐标与 k
3、的值分别为（ ） A （2，2） ，2 B （0，0） ，2 C （2，2） ， D （0，0） ， 9 （3 分）如图，某建筑物 BC 直立于水平地面，AC9 米，A30，要建造阶梯 AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建（ ） （最后一阶的高不足 20cm 时按一阶计算，1.732） A23 阶 B24 阶 C25 D26 阶 10 （3 分）如图，在ABC 中，EFBC，EGAB，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 11 （3 分）如图，在ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已知 SAEF4，则下列结论
4、：；SBCE36；SABE12；AEFACD，其中一定正确的是（ ） A B C D 12 （3 分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 18cm，底边上的高长 18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分.只要求填写最后结果）只要求填写最后结果） 13 （3 分）已知ABCDEF，AB：DE3：5，ABC 的面积为 9，则DEF 的面积为 14 （3 分）在A
5、BC 中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB）20，那么C 15 （3 分）在长 8cm，宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 cm2 16 （3 分）如图，在ABC 中，B45，C60，AB6BC 的长为 （结果保留根号） 17 （3 分）如图，ABC 中，AB8 厘米，AC16 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运动，点 Q 从 C 同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间为 三解答题（本题共三解
6、答题（本题共 7 个小题，共个小题，共 69 分分.） 18 （8 分）计算： （1）2tan452sin260+； （2）2cos30+tan30cos60 19 （7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系 （1）将ABC 先向上平移 5 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到A1B1C1，请在网格内画出A1B1C1 （2）以 A 为位似中心，将A1B1C1放大，使变换后得到的A1B2C2与A1B1C1对应边的比为 2：1，请在网格内画出A1B2C2 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC8，BC6，点 D
7、 为 BC 上一点，BD2过点 D 作射线 DE 交AC 于点 E，使ADEB求线段 EC 的长度 21 （8 分）2021 年 3 月 23 日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图 1 的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备， 某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索AC的长， 他们测量了如下数据， A30，ABC105，AB90m，请你帮助他们求出悬索 AC 的长（结果保留根号） 22 （8 分）如图，山坡上有一棵竖直的树 AB，坡面上点 D 处放置高度为 1.6m 的测倾器 CD，测倾器的顶部 C 与树底部 B 恰好在同一水平线上（即 BCMN） ，此时测得树顶部 A 的仰角为 50已
8、知山坡的坡度 i1： 3 （即坡面上点 B 处的铅直高度 BN 与水平宽度 MN 的比） ， 求树 AB 的高度 （结果精确到 0.1m 参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19） 23 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是高，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，QM 在 BC 上，AD交 PN 于点 E设 BC20，AD10，PQ：PN3：4 （1）证明：APNABC； （2）求矩形 PQMN 的面积 24 （10 分）龙门黄河大桥全长 4566m是黄河上跨径最大的斜拉桥号称“黄河第一桥” 也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁其中的
9、双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度如图，同学们在无人机上搭载测角仪，当无人机垂直上升到离地面 NP 高 41m 的点 A 处时悬停 测得其中一座塔的塔尖 M 的仰角MAC53 无人机从点 A 处垂点上升 20m 后到达点 B 处再次悬停此时测得该塔塔尖 M 的仰角MBD45已知点A、 B、 C、 D、 M、 N、 P 均在同一平面内， 求此花瓶型塔 MN 的高度 （结果精确到 0.1m； 参考数据： sin530.80，cos530.60，tan531.33） 25 （12 分）如图，在ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，且 A
10、DAB，AEBC，垂足为点 E过点 D 作 DFAB，交边 AC 于点 F，连接 EF，EF2BDEC （1）求证：EDFEFC； （2）如果，求证：ABBD 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1 （3 分）已知 sina，且 a 是锐角，则 a（ ） A75 B60 C45 D30 【分析】根据 sin60得出 a 的值 【解答】解：sinasin60，a 是锐角， a60 故选：B 【点评】本题考查特殊角的三角函数值特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主 2 （3 分
11、）已知两个相似三角形的相似比为 4：9，则它们周长的比为（ ） A2：3 B4：9 C3：2 D16：81 【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案 【解答】解：两个相似三角形的相似比为 4：9， 它们的周长比等于相似比，即：4：9 故选：B 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解 （1）相似三角形周长的比等于相似比 （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方 （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 3 （3 分）如图，12，则下列各式不能说明ABCADE 的是（ ） ADB BEC C D 【分析】根据12，可知DAEBAC，因此只要再找一组角
12、或一组对应边成比例即可 【解答】解：A 和 B 符合有两组角对应相等的两个三角形相似； C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似 故选：D 【点评】此题考查了相似三角形的判定： 有两个对应角相等的三角形相似； 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； 三组对应边的比相等，则两个三角形相似 4 （3 分）下列说法不一定正确的是（ ） A所有的等边三角形都相似 B有一个角是 100的等腰三角形相似 C所有的正方形都相似 D所有的矩形都相似 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案
13、【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； B、有一个角是 100的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确； D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误 故选：D 【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同 5 （3 分）在 RtACB 中，C90，AB10，sinA，则 BC 的长为（ ） A6 B7.5 C8 D12.5 【分析】根据正弦的定义得到 sinA，然后利用比例性质求 BC 【解答】解：如图， 在
14、 RtACB 中，sinA， BC106 故选：A 【点评】 本题考查了解直角三角形： 在直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形 6 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB 于 D，下列式子正确的是（ ） AsinA BcosA CtanA DcosB 【分析】利用同角的余角相等可得ABCD，再根据正弦定义可得答案 【解答】解：ACB90，CDAB， A+DCA90，DCA+BCD90， ABCD， sinAsinBCD， 故选：A 【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做A的正弦，记作 sinA
15、7 （3 分）如图， 在网格中，小正方形的边长均为 1， 点 A、 B、 O 都在格点上， 则AOB 的正弦值是 （ ） A B C D 【分析】过 B 作 BCOA 于 C，根据勾股定理求出 OA、OB，根据三角形面积求出 BC，解直角三角形求出即可 【解答】解：如图： 过 B 作 BCOA 于 C， OEB90， 由勾股定理得：AO2，OB2， SABOABOEOABC， 222BC， BC， AOB 的正弦值是， 故选：B 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，题目比较好，难度适中 8 （3 分）如图，以某点为位似中心，将OAB 进
16、行位似变换得到DFE，若OAB 与DFE 的相似比为k，则位似中心的坐标与 k 的值分别为（ ） A （2，2） ，2 B （0，0） ，2 C （2，2） ， D （0，0） ， 【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得 k 【解答】解：连接 OD、BE，延长 OD 交 BE 的延长线于点 O，点 O也就是位似中心为（2，2） ； kOA：FD8：42， 故选：A 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比 9 （3 分）如图，某建筑物 BC 直立于水平地面，AC9 米，A
17、30，要建造阶梯 AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建（ ） （最后一阶的高不足 20cm 时按一阶计算，1.732） A23 阶 B24 阶 C25 D26 阶 【分析】利用 30的正切值可求得 BC 长；BC 除以 20 采用进一法即可求得台阶数 【解答】解：AC9 米，A30， BCACtan30519.6cm， 台阶数为：519.62026 个， 故选：D 【点评】解决本题的关键是理解阶梯数等于 BC 长度除以每个台阶的高度 10 （3 分）如图，在ABC 中，EFBC，EGAB，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 【分析】利用平行线分线段成比例定理，由 EFBC
18、得到，则可对 A 选项进行判断；再由 EGAB 得到，则可对 B 选项进行判断；由 EGAB 得到，由 EFBC 得到，则可对 C 选项进行判断；由 EGAB 得到，由 EFBC 得到，则可对 D 选项进行判断 【解答】解：EFBC， ，所以 A 选项错误； EGAB， ， ，所以 B 选项错误； EGAB， ， EFBC， ， ，所以 C 选项错误； EGAB， ， EFBC， ， ，所以 D 选项正确 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构
19、造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系 11 （3 分）如图，在ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 是 OA 的中点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，已知 SAEF4，则下列结论：；SBCE36；SABE12；AEFACD，其中一定正确的是（ ） A B C D 【分析】根据平行四边形的性质得到 AECE，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到 AFAD，于是得到；故正确；根据相似三角形的性质得到 SBCE36；故正确；根据三角形的面积公式得到 SABE12， 故正确； 由于AEF 与ADC 只有一个角相等， 于是得到AEF与ACD 不一定相似，故错误 【解
20、答】解：在ABCD 中，AOAC， 点 E 是 OA 的中点， AECE， ADBC， AFECBE， ， ADBC， AFAD， ；故正确； SAEF4，（）2， SBCE36；故正确； ， ， SABE12，故正确； BF 不平行于 CD， AEF 与ADC 只有一个角相等， AEF 与ACD 不一定相似，故错误， 故选：D 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 12 （3 分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长 18cm，底边上的高长 18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为 3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张
21、是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A第 4 张 B第 5 张 C第 6 张 D第 7 张 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张 【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是 3， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 x， 则，解得 x3， 所以另一段长为 18315， 因为 1535，所以是第 5 张 故选：B 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分
22、，共分，共 15 分分.只要求填写最后结果）只要求填写最后结果） 13 （3 分）已知ABCDEF，AB：DE3：5，ABC 的面积为 9，则DEF 的面积为 25 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案 【解答】解：ABCDEF，AB：DE3：5， （）2， ABC 的面积为 9， DEF 的面积为 25， 故答案为：25 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 14 （3 分）在ABC 中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB）20，那么C 75 【分析】先根据ABC 中，tanA1，cosB，求出A 及B 的度
23、数，进而可得出结论 【解答】解：ABC 中，|tanA1|+（cosB）20 tanA1，cosB A45，B60， C75 故答案为：75 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 15 （3 分）在长 8cm，宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是 27 cm2 【分析】由题意，在长为 8cm 宽 6cm 的矩形中，截去一个矩形使留下的矩形与原矩形相似，根据相似形的对应边长比例关系，就可以求解 【解答】解：设截去的矩形宽为 x， 留下的矩形与原矩形相似， ， 解得 x 截去的矩形的面积为621cm2， 留
24、下的矩形的面积为 482127cm2， 故答案为：27 【点评】此题主要考查多边形相似的性质：对应边长成比例，相似比的平方等于面积比，学生对此性质要熟练掌握 16 （3 分）如图，在ABC 中，B45，C60，AB6BC 的长为 3+ （结果保留根号） 【分析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 RtABD 中，利用锐角三角函数的定义求出 AD，BD 的长，然后在 RtACD 中，利用锐角三角函数的定义求出 CD 的长，进行计算即可解答 【解答】解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D， 在 RtABD 中，AB6，B45， ADABsin4563， BDABcos4563， 在 RtACD
25、 中，C60， CD， BCBD+CD3+， 故答案为：3+ 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 17 （3 分）如图，ABC 中，AB8 厘米，AC16 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运动，点 Q 从 C 同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间为 t或 t4 秒 【分析】此题应分两种情况讨论 （1）当APQABC 时； （2）当APQACB 时利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解： （1）
26、当APQABC 时， ， 设用 t 秒时，以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 则 AP2t，CQ3t，AQ163t 于是， 解得，t； （2）当APQACB 时， ， 设用 t 秒时，以 A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似 则 AP2t，CQ3t，AQ163t 于是， 解得 t4 故答案为：t或 t4 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意将对应边转换，得到两组相似三角形是解题的关键 三解答题（本题共三解答题（本题共 7 个小题，共个小题，共 69 分分.） 18 （8 分）计算： （1）2tan452sin260+； （2）2cos30+tan30cos60 【分
27、析】 （1）tan451，sin30，sin60，代入锐角三角函数值计算即可； （2）cos30，tan30，cos60，tan60，代入锐角三角函数值计算即可 【解答】解： （1）2tan452sin260+ 212（）2+ 22+ 0； （2）2cos30+tan30cos60 2+ +（1） +1 【点评】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记 19 （7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC 的顶点都在格点上，建
28、立平面直角坐标系 （1）将ABC 先向上平移 5 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到A1B1C1，请在网格内画出A1B1C1 （2）以 A 为位似中心，将A1B1C1放大，使变换后得到的A1B2C2与A1B1C1对应边的比为 2：1，请在网格内画出A1B2C2 【分析】 （1）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可； （2）利用位似变换的性质，分别作出 B1，C1的对应点 B2，C2即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求； （2）如图，A1B2C2即为所求 【点评】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移
29、变换的性质，属于中考常考题型 20 （8 分）如图，在ABC 中，ABAC8，BC6，点 D 为 BC 上一点，BD2过点 D 作射线 DE 交AC 于点 E，使ADEB求线段 EC 的长度 【分析】 由条件可得到BADEDC， 可证明ABDDCE， 由相似三角形的性质可得到，代入可求得 EC 【解答】解：ABAC， BC， ADC 是ABD 的一个外角， ACDB+BADADE+EDC， 又BADE， BADEDC， ABDDCE， ， BC6，BD2， CD4， ， 解得 EC1 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到BADDCE 证得ABDDCE 是解题的关键 21 （8
30、 分）2021 年 3 月 23 日苏伊士运河发生阻塞时使用了一种如图 1 的浮式起重机，它是捞、救援的重要设备， 某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索AC的长， 他们测量了如下数据， A30，ABC105，AB90m，请你帮助他们求出悬索 AC 的长（结果保留根号） 【分析】 过点 B 作 BDAC 于点 D， 由含 30甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出 BDAB45m，AD45（m） ，再证BCD 为等腰直角三角形，得 CDBD45m，即可求解 【解答】解：过点 B 作 BDAC 于点 D，如图 2 所示： 在 RtABD 中，ADB90，A30，AB90m， BDAB
31、45m，AD45（m） ，ABD60， ABC105， CBDABCABD1056045， BDAC， BCD 为等腰直角三角形， CDBD45m， ACAD+CD（45+45 ） （m） ， 答：悬索 AC 的长为（45+45 ）m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含 30甲的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；求出 CD、AD 的长是解题的关键 22 （8 分）如图，山坡上有一棵竖直的树 AB，坡面上点 D 处放置高度为 1.6m 的测倾器 CD，测倾器的顶部 C 与树底部 B 恰好在同一水平线上（即 BCMN） ，此时测得树顶部 A 的仰角为 5
32、0已知山坡的坡度 i1： 3 （即坡面上点 B 处的铅直高度 BN 与水平宽度 MN 的比） ， 求树 AB 的高度 （结果精确到 0.1m 参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19） 【分析】先求出 BC4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解 【解答】解：山坡 BM 的坡度 i1：3， i1：3tanM， BCMN， CBDM， tanCBDtanM1：3， BC3CD4.8（m） ， 在 RtABC 中，tanACBtan501.19， AB1.19BC1.194.85.7（m） ， 即树 AB 的高度约为 5.7m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角
33、问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和坡度坡角定义，求出 BC 的长是解题的关键 23 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是高，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，QM 在 BC 上，AD交 PN 于点 E设 BC20，AD10，PQ：PN3：4 （1）证明：APNABC； （2）求矩形 PQMN 的面积 【分析】 （1）由 PNBC 即可得出结论； （2）设 PQ3x，则 PN4x，利用 PNBC，可得到，代入可求得 x，再计算矩形 PQMN 的面积即可 【解答】 （1）证明：四边形 PQMN 是矩形， PNQM， APNABC； （2）解：PQ：PN3：4，
34、设 PQ3x，则 PN4x， 四边形 PQMN 为矩形， EDPQ3x，AEADDE103x， 又 PNBC， APNABC， ， 即， 解得 x2， PQ6，PN8， S矩形PQMNPQPN6848 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 24 （10 分）龙门黄河大桥全长 4566m是黄河上跨径最大的斜拉桥号称“黄河第一桥” 也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美数学课外小组的同学们准备用无人机测量花瓶型塔的高度如图，同学们在无人机上搭载测角仪，当无人机垂直上升到离地面 N
35、P 高 41m 的点 A 处时悬停 测得其中一座塔的塔尖 M 的仰角MAC53 无人机从点 A 处垂点上升 20m 后到达点 B 处再次悬停此时测得该塔塔尖 M 的仰角MBD45已知点A、 B、 C、 D、 M、 N、 P 均在同一平面内， 求此花瓶型塔 MN 的高度 （结果精确到 0.1m； 参考数据： sin530.80，cos530.60，tan531.33） 【分析】分别延长 AC、BD 交 MN 于 E、F，延长 BA 交 NP 于 H，则四边形 ABFE、四边形 AHNE 都是矩形，得 AEBF，ENAH41m，EFAB20m，证MBF 是等腰直角三角形，得 MFBF，则 MFAE
36、，再由锐角三角函数定义求出 ME1.33AE，则 201.33AEAE，解得 AE60.61（m） ，即可解决问题 【解答】解：分别延长 AC、BD 交 MN 于 E、F，延长 BA 交 NP 于 H，如图 2 所示： 则四边形 ABFE、四边形 AHNE 都是矩形， AEBF，ENAH41m，EFAB20m， 在 RtMBF 中，MBF45， MBF 是等腰直角三角形， MFBF， MFAE， 在 RtMAE 中，tanMAE， tan531.33， ME1.33AE， EFMEMF， 201.33AEAE， 解得：AE60.61（m） ， MFAE60.61m， MNMF+EF+EN60.
37、61+20+41121.6（m） ， 答：花瓶型塔 MN 的高度约为 121.6m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，由锐角三角函数定义求出 AE 是解题的关键 25 （12 分）如图，在ABC 中，点 D 为边 BC 上一点，且 ADAB，AEBC，垂足为点 E过点 D 作 DFAB，交边 AC 于点 F，连接 EF，EF2BDEC （1）求证：EDFEFC； （2）如果，求证：ABBD 【分析】 （1）利用“两边成比例且夹角相等”即可证得EDFEFC； （2）根据相似三角形的性质可得（）2，推出，即 EDAD，由此即可解决问题； 【解答】证明： （1）ABAD，AEBC， BEEDDB； EF2BDEC， EF2EDEC，即得 ， 又FEDCEF， EDFEFC （2）ABAD， BADB， 又DFAB， FDCB， ADBFDC， ADB+ADFFDC+ADF，即得EDFADC； EDFEFC， EFDC， EDFADC， （）2， ，即 EDAD； 又EDBEBD， BDAD， ABBD 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，充分发挥基本图形的作用本题属于中考常考题型