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第三章圆锥曲线的方程 单元测试卷(含答案)2022-2023学年高二上数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1、 第三章圆锥曲线的方程第三章圆锥曲线的方程 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y231 的渐近线的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D. 3 2.椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(3,0),F2(3,0),点 P 为椭圆 C 上一点,且|PF1|PF2|10,那么椭圆 C 的短轴长是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.在平面直角坐标系 Oxy 中,动点 P 关于 x 轴对称的点为 Q,且OP OQ2,则点 P 的轨迹方程为( ) A.x2y22 B.x2

2、y22 C.xy22 D.xy22 4.椭圆 C:x2a2y221(a0)的长轴长为 4,则 C 的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D. 2 5.“m3”是“曲线 mx2(m2)y21 为双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.抛物线 y24x 的焦点为 F,准线为 l,经过点 F 且斜率为 3的直线 l1与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AKl,垂足为 K,则AKF 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 7.已知双曲线 C1:x2a2y2b21(a0,b0)的一个焦点 F 与抛物线 C2:y

3、22px(p0)的焦点相同,C1与 C2交于 A,B 两点,且直线 AB 过点 F,则双曲线 C1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 21 8.直线 y 3x 与椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)交于 A、B 两点,以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为( ) A.32 B.312 C. 31 D.42 3 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对得 3 分) 9.若方程x25ty2t11 所表示的曲线为 C,则下面四个命题中正确的是(

4、) A.若 1t5,则 C 为椭圆 B.若 t1,则 C 为双曲线 C.若 C 为双曲线,则焦距为 4 D.若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆,则 3tb0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e1,椭圆 C1的上顶点为 M,且MF1 MF20,双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点,且双曲线 C2的离心率为 e2,P 为曲线 C1与 C2的一个公共点若F1PF23,则下列各项正确的是( ) A.e2e12 B.e1e232 C.e21e2252 D.e22e211 11.已知 F1,F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的左、右焦点,A 为左顶点,P 为双曲线右支上一点,若|PF1

5、|2|PF2|,且PF1F2的最小内角为 30 ,则( ) A.双曲线的离心率为 3 B.双曲线的渐近线方程为 y 2x C.PAF245 D.直线 x2y20 与双曲线有两个公共点 12.已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,直线 l 的斜率为 3且经过点 F,直线 l 与抛物线 C交于 A,B 两点(点 A 在第一象限),与抛物线的准线交于点 D若|AF|8,则以下结论正确的是( ) A.p4 B.DFFA C.|BD|2|BF| D.|BF|4 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上) 13.抛物线 y28x 的焦点到双曲线x22y221

6、 的渐近线的距离为_ 14.过直线 y2 与抛物线 x28y 的两个交点, 并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_ 15.椭圆x25y241 的左焦点为 F, 直线 xm 与椭圆相交于点 M, N, 当FMN 的周长最大时,FMN 的面积是_ 16.已知椭圆 M:x2a2y2b21(ab0),双曲线 N:x2m2y2n21.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 则椭圆M的离心率为_;双曲线 N 的离心率为_(第一空 2 分,第二空 3 分) 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)

7、已知椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的离心率为32,双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,求椭圆 C 的标准方程 18.(12 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x2a2y2b21(a0,b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点 P32, 6 ,求抛物线的方程和双曲线的方程 19.(12 分)已知 F1,F2分别为椭圆x2100y2b21(0b10)的左、右焦点,P 是椭圆上一点 (1)求|PF1| |PF2|的最大值;(2)若F1PF260 ,且F1PF2的面积为64 33,求 b 的

8、值 20.(12 分)如图所示,已知抛物线 C:x24y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点) (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴), 与直线 y2 相交于点 N1, 与(1)中的定直线相交于点 N2.证明:|MN2|2|MN1|2为定值,并求此定值 21.(12 分)设 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l1:x3 的距离的比是常数33.记点 M 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程; (2)过定点 F 的直线 l2交曲线 C 于

9、 A,B 两点,以 O、A、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形 OAPB,若点 P 刚好在曲线 C 上,求直线 l2的方程 22 (12 分)已知椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F1(1,0), F2(1,0), 点 A1,22在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线 l,使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M,N 时,能在直线 y53上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q,满足PMNQ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由 参考答案 一、单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6

10、.C 7.D 8.C 二、多项选择题 9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABC 三、填空题 13.答案: 2 14.答案:x2(y2)216 15.答案:8 55 16.答案: 31,2 四、解答题 17.解:因为椭圆的离心率为32,所以 eca32,c234a2a2b2,所以 b214a2,即 a24b2. 双曲线的渐近线方程为 y x,代入椭圆方程得x2a2x2b21,即x24b2x2b25x24b21,所以 x245b2,x25b.所以 y25b,则在第一象限,双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为25b,25b, 所以四边形的面积为 425b25b165b216,所以 b25,

11、所以椭圆 C 的方程为x220y251. 18.解:依题意,设抛物线的方程为 y22px(p0), 点 P32, 6 在抛物线上,62p32.p2,所求抛物线的方程为 y24x. 双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上,c1,即 a2b21, 又点 P32, 6 在双曲线上,94a26b21, 解方程组 a2b21,94a26b21,得 a214,b234或 a29,b28(舍去)所求双曲线的方程为 4x243y21. 19.解:(1)|PF1| |PF2|PF1|PF2|22100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号), |PF1| |PF2|的最大值为 100. (2)SF1PF212|P

12、F1| |PF2|sin 60 64 33,|PF1| |PF2|2563, 由题意知: |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4a2,|PF1|2|PF2|24c22|PF1| |PF2|cos 60 ,3|PF1| |PF2|4004c2 由得 c6,b8. 20.证明:(1)依题意可设 AB 的方程为 ykx2,代入 x24y, 得 x24(kx2),即 x24kx80, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x28,直线 AO 的方程为 yy1x1x,BD 的方程为 xx2, 则交点 D 的坐标为x2,y1x2x1. 又 x1x28,x214y1,则有y1x2x1

13、y1x1x2x218y14y12, 即 D 点在定直线 y2 上(x0) (2)依题意,切线 l 的斜率存在且不等于 0. 设切线 l 的方程为 yaxb(a0),代入 x24y,得 x24(axb), 即 x24ax4b0,由 0 得(4a)216b0, 化简整理,得 ba2,故切线的方程为 yaxa2. 分别令 y2,y2,得 N12aa,2 ,N22aa,2 , 则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28,即|MN2|2|MN1|2为定值 8. 21.解:(1)由题意得,x12y2|x3|33,则 3(x1)2y2(x3)2, 即 2x23y26,x23y221,故曲线 C 的方程

14、为x23y221. (2)设直线 l2的方程为 xmy1,P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 xmy1,2x23y26,消去 x,得(2m23)y24my40. 则 y1y24m2m23,x1x2m(y1y2)24m22m23262m23, x0 x1x262m23,y0y1y24m2m23. P(x0,y0)在椭圆x23y221 上,122m2328m22m2321,即 2m234,解得 m22. 直线 l2的方程为 x22y1 或 x22y1,即 2xy 20 或 2xy 20. 22解:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c1, A1,22在椭圆 C 上,2a|

15、AF1|AF2|112222222 2, a 2,b2a2c21,故椭圆 C 的方程为x22y21. (2)假设这样的直线存在,设直线 l 的方程为 y2xt, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),Px3,53,Q(x4,y4),MN 的中点为 D(x0,y0), 由 y2xtx22y22,消去 x,得 9y22tyt280,y1y22t9,且 4t236(t28)0, 故 y0y1y22t9且3t3, 由PMNQ,知四边形 PMQN 为平行四边形, 而 D 为线段 MN 的中点,因此 D 为线段 PQ 的中点, y053y42t9,得 y42t159,又3t3,可得73y41, 点 Q 不在椭圆上,故不存在满足题意的直线 l.