1、 第三章圆锥曲线的方程第三章圆锥曲线的方程 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2y231 的渐近线的距离是( ) A.12 B.32 C.1 D. 3 2.椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(3,0)，F2(3,0)，点 P 为椭圆 C 上一点，且|PF1|PF2|10，那么椭圆 C 的短轴长是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.在平面直角坐标系 Oxy 中，动点 P 关于 x 轴对称的点为 Q，且OP OQ2，则点 P 的轨迹方程为( ) A.x2y22 B.x2
2、y22 C.xy22 D.xy22 4.椭圆 C：x2a2y221(a0)的长轴长为 4，则 C 的离心率为( ) A.12 B.22 C.32 D. 2 5.“m3”是“曲线 mx2(m2)y21 为双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 且斜率为 3的直线 l1与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A，AKl，垂足为 K，则AKF 的面积是( ) A.4 B.3 3 C.4 3 D.8 7.已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点 F 与抛物线 C2：y
3、22px(p0)的焦点相同，C1与 C2交于 A，B 两点，且直线 AB 过点 F，则双曲线 C1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 21 8.直线 y 3x 与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)交于 A、B 两点，以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为( ) A.32 B.312 C. 31 D.42 3 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分) 9.若方程x25ty2t11 所表示的曲线为 C，则下面四个命题中正确的是(
4、) A.若 1t5，则 C 为椭圆 B.若 t1，则 C 为双曲线 C.若 C 为双曲线，则焦距为 4 D.若 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则 3tb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1，椭圆 C1的上顶点为 M，且MF1 MF20，双曲线 C2和椭圆 C1有相同焦点，且双曲线 C2的离心率为 e2，P 为曲线 C1与 C2的一个公共点若F1PF23，则下列各项正确的是( ) A.e2e12 B.e1e232 C.e21e2252 D.e22e211 11.已知 F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF1
5、|2|PF2|，且PF1F2的最小内角为 30 ，则( ) A.双曲线的离心率为 3 B.双曲线的渐近线方程为 y 2x C.PAF245 D.直线 x2y20 与双曲线有两个公共点 12.已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 l 的斜率为 3且经过点 F，直线 l 与抛物线 C交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 D若|AF|8，则以下结论正确的是( ) A.p4 B.DFFA C.|BD|2|BF| D.|BF|4 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上) 13.抛物线 y28x 的焦点到双曲线x22y221
6、 的渐近线的距离为_ 14.过直线 y2 与抛物线 x28y 的两个交点， 并且与抛物线的准线相切的圆的方程为_ 15.椭圆x25y241 的左焦点为 F， 直线 xm 与椭圆相交于点 M， N， 当FMN 的周长最大时，FMN 的面积是_ 16.已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线 N：x2m2y2n21.若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 则椭圆M的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_(第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)
7、已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，双曲线 x2y21 的渐近线与椭圆 C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，求椭圆 C 的标准方程 18.(12 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点 P32， 6 ，求抛物线的方程和双曲线的方程 19.(12 分)已知 F1，F2分别为椭圆x2100y2b21(0b10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点 (1)求|PF1| |PF2|的最大值；(2)若F1PF260 ，且F1PF2的面积为64 33，求 b 的
8、值 20.(12 分)如图所示，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点) (1)证明：动点 D 在定直线上； (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)， 与直线 y2 相交于点 N1， 与(1)中的定直线相交于点 N2.证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值 21.(12 分)设 M(x，y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l1：x3 的距离的比是常数33.记点 M 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程； (2)过定点 F 的直线 l2交曲线 C 于
9、 A，B 两点，以 O、A、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形 OAPB，若点 P 刚好在曲线 C 上，求直线 l2的方程 22 (12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)， 点 A1，22在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为 2 的直线 l，使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足PMNQ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 参考答案 一、单项选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6
10、.C 7.D 8.C 二、多项选择题 9.BD 10.BD 11.ABD 12.ABC 三、填空题 13.答案： 2 14.答案：x2(y2)216 15.答案：8 55 16.答案： 31，2 四、解答题 17.解:因为椭圆的离心率为32，所以 eca32，c234a2a2b2，所以 b214a2，即 a24b2. 双曲线的渐近线方程为 y x，代入椭圆方程得x2a2x2b21，即x24b2x2b25x24b21，所以 x245b2，x25b.所以 y25b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆 C 的交点坐标为25b，25b， 所以四边形的面积为 425b25b165b216，所以 b25，
11、所以椭圆 C 的方程为x220y251. 18.解:依题意，设抛物线的方程为 y22px(p0)， 点 P32， 6 在抛物线上，62p32.p2，所求抛物线的方程为 y24x. 双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上，c1，即 a2b21， 又点 P32， 6 在双曲线上，94a26b21， 解方程组 a2b21，94a26b21，得 a214，b234或 a29，b28(舍去)所求双曲线的方程为 4x243y21. 19.解:(1)|PF1| |PF2|PF1|PF2|22100(当且仅当|PF1|PF2|时取等号)， |PF1| |PF2|的最大值为 100. (2)SF1PF212|P
12、F1| |PF2|sin 60 64 33，|PF1| |PF2|2563， 由题意知： |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|4a2，|PF1|2|PF2|24c22|PF1| |PF2|cos 60 ，3|PF1| |PF2|4004c2 由得 c6，b8. 20.证明:(1)依题意可设 AB 的方程为 ykx2，代入 x24y， 得 x24(kx2)，即 x24kx80， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28，直线 AO 的方程为 yy1x1x，BD 的方程为 xx2， 则交点 D 的坐标为x2，y1x2x1. 又 x1x28，x214y1，则有y1x2x1
13、y1x1x2x218y14y12， 即 D 点在定直线 y2 上(x0) (2)依题意，切线 l 的斜率存在且不等于 0. 设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y，得 x24(axb)， 即 x24ax4b0，由 0 得(4a)216b0， 化简整理，得 ba2，故切线的方程为 yaxa2. 分别令 y2，y2，得 N12aa，2 ，N22aa，2 ， 则|MN2|2|MN1|22aa2422aa28，即|MN2|2|MN1|2为定值 8. 21.解:(1)由题意得，x12y2|x3|33，则 3(x1)2y2(x3)2， 即 2x23y26，x23y221，故曲线 C 的方程
14、为x23y221. (2)设直线 l2的方程为 xmy1，P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 xmy1，2x23y26，消去 x，得(2m23)y24my40. 则 y1y24m2m23，x1x2m(y1y2)24m22m23262m23， x0 x1x262m23，y0y1y24m2m23. P(x0，y0)在椭圆x23y221 上，122m2328m22m2321，即 2m234，解得 m22. 直线 l2的方程为 x22y1 或 x22y1，即 2xy 20 或 2xy 20. 22解:(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1， A1，22在椭圆 C 上，2a|
15、AF1|AF2|112222222 2， a 2，b2a2c21，故椭圆 C 的方程为x22y21. (2)假设这样的直线存在，设直线 l 的方程为 y2xt， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，Px3，53，Q(x4，y4)，MN 的中点为 D(x0，y0)， 由 y2xtx22y22，消去 x，得 9y22tyt280，y1y22t9，且 4t236(t28)0， 故 y0y1y22t9且3t3， 由PMNQ，知四边形 PMQN 为平行四边形， 而 D 为线段 MN 的中点，因此 D 为线段 PQ 的中点， y053y42t9，得 y42t159，又3t3，可得73y41， 点 Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线 l.