1、 第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a(3,2,5)，b(1,5，1)，则 a (a3b)( ) A.(0,34,10) B.(3,19,7) C.44 D.23 2.设 l1的方向向量为 a(1,2， 2)， l2的方向向量为 b(2,3， m)， 若 l1l2， 则 m 等于( ) A.1 B.2 C.12 D.3 3.在空间四边形 ABCD 中，若向量AB(3,5,2)，CD(7，1，4)，点 E，F 分别为线段 BC，AD 的中点，则EF的坐标为
2、( ) A.(2,3,3) B.(2，3，3) C.(5，2,1) D.(5,2，1) 4.如图所示， 在平行六面体 ABCD- A1B1C1D1中， 点 E 为上底面对角线 A1C1的中点， 若BEAA1xAByAD，则( ) A.x12，y12 B.x12，y12 C.x12，y12 Dx12，y12 5.已知 A(2，5,1)，B(2，4,2)，C(1，4,1)，则AB与AC的夹角为( ) A.30 B.60 C.45 D.90 6.已知二面角 l 的大小为3，m，n 为异面直线，且 m，n，则 m，n 所成的角为( ) A.6 B.3 C.2 D.23 7.如图，在棱长为 a 的正方体
3、 ABCD- A1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，Q 为 A1B1上任意一点，E，F 为 CD 上两个动点，且 EF 的长为定值，则点 Q 到平面 PEF 的距离( ) A.等于55a B.和 EF 的长度有关 C.等于23a D.和点 Q 的位置有关 8.如图所示，ABCD- A1B1C1D1是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且AEBF.当 A1，E，F，C1四点共面时，平面 A1DE 与平面 C1DF 所成夹角的余弦值为( ) A.22 B.12 C.15 D.2 65 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中
4、，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的中心为 O，则下列结论中正确的有( ) A.OAOD与OB1OC1是一对相反向量 B.OBOC与OA1OD1是一对相反向量 C.OAOBOCOD与OA1OB1OC1OD1是一对相反向量 D.OA1OA与OCOC1是一对相反向量 10.在以下选项中，不正确的命题有( ) A.|a|b|ab|是 a，b 共线的充要条件 B.若 ab，则存在唯一的实数 ，使 ab C.对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若OP2OA2OBOC，则 P，A，B，C四点共面
5、D.若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底 11.下列说法正确的是( ) A.直线 l 的方向向量 a(1，1,2)，直线 m 的方向向量 b2，1，12，则 l 与 m 垂直 B.直线 l 的方向向量 a(0,1，1)，平面 的法向量 n(1，1，1)，则 l C.平面 ， 的法向量分别为 n1(0,1,3)，n2(1,0,2)，则 D.平面 经过三点 A(1,0，1)， B(0,1,0)，C(1,2,0)，向量 n(1，u， t)是平面 的法向量，则 ut1 12.如图(1)是一副直角三角板的示意图现将两三角板拼成直二面角，得到四面体 ABCD，如图(2)所示
6、，则下列结论中正确的是( ) A.BD AC0 B.平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直 C.异面直线 BC 与 AD 所成的角为 60 D.直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 30 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上) 13.已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且BP平面 ABC，则BP_ 14.已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 共面，则 _ 15.已知 A(0,0，x)，B(1， 2，2)，C(x， 2，2)三点，点 M 在平面 ABC 内，O
7、是平面 ABC外一点，且OMxOA2xOB4OC，则 x_，AB与AC的夹角为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16.如图，等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB，二面角 C- AB- D 的余弦值为33，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值为_ 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 aAB，bAC. (1)若|c|3，且 cBC，求向量 c；(2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值； (3)若 ka
8、b 与 ka2b 互相垂直，求实数 k 的值 18.(12 分)如图，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABC90 ，BC2，CC14，点 E 在线段 BB1上，且 EB11，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点 (1)求证：B1D平面 ABD；(2)求证：平面 EGF平面 ABD 19.(12 分)如图，已知四边形 ABCD 为矩形，四边形 ABEF 为直角梯形，FAAB，ADAFFE1，AB2，ADBE. (1)求证：BEDE；(2)求点 F 到平面 CBE 的距离 20.(12 分)如图，在直三棱柱 A1B1C1- ABC 中，ACAB，ACAB4，AA16，点 E，
9、F 分别为 CA1，AB 的中点 (1)证明：EF平面 BCC1B1；(2)求 B1F 与平面 AEF 所成角的正弦值 21.(12分)如图所示的几何体中， BEBC， EAAC， BC2， AC2 2， ACB45 ， ADBC，BC2AD (1)求证：AE平面 ABCD； (2)若ABE60 ，点 F 在 EC 上，且满足 EF2FC，求平面 FAD 与平面 ADC 的夹角的余弦值 22.(12 分)如图，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60 ，ADP90 ，平面 ADP平面 ABCD，F 为棱 PD 的中点 (1)在棱 AB 上是否存在一点 E，
10、使得 AF平面 PCE？并说明理由； (2)当二面角 D- FC- B 的余弦值为14时，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 参考答案参考答案 一、单项选择题 1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.A 8.B 二、选择题 9.ACD 10.ABC 11.AD 12.AD 三、填空题 13.答案：337，157，3 14.答案：657 15.答案：1，3 16.答案：16 四、解答题 17.解：(1)cBC，存在实数 m，使得 cmBCm(2，1,2)(2m，m,2m) |c|3， 2m2m22m23|m|3，m 1.c(2，1,2)或 c(2,1，2) (2)a(1,1,0
11、)， b(1,0,2)， a b(1,1,0) (1,0,2)1.又|a|121202 2， |b| 120222 5，cosa，ba b|a|b|1101010，即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为1010. (3)kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)，(k1，k,2) (k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2 或 k52.当 kab 与 ka2b 互相垂直时，实数 k 的值为 2 或52. 18.解：如图， 以 B 为坐标原点，BA，BC， BB1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz，则 B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,
12、4) (1)设 BAa，则 A(a,0,0) 所以BA(a,0,0)，BD(0,2,2)，B1D(0,2，2)所以B1D BA0，B1D BD0440. 所以 B1DBA，B1DBD 又 BABDB，所以 B1D平面 ABD (2)由题意及(1)，知 E(0,0,3)，Ga2，1，4 ，F(0,1,4)，所以EGa2，1，1 ，EF(0,1,1) 所以B1D EG0220，B1D EF0220.所以 B1DEG，B1DEF. 又 EGEFE，所以 B1D平面 EGF. 由(1)，知 B1D平面 ABD，故平面 EGF平面 ABD 19.解：四边形 ABCD 为矩形，ADAB， 又 ADBE，A
13、BBEB，AD平面 ABEF， 又 AD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ABEF. FAAB，平面 ABCD平面 ABEFAB，FA平面 ABCDFAAD (1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则 B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)， BE(0，1,1)，DE(1,1,1)， BE DE0(1)(1)1110，BEDE，BEDE. (2)由(1)得BC(1,0,0)，BE(0，1,1)，FE(0,1,0)， 设 n(x，y，z)是平面 CBE 的法向量，则由 n BC0，n BE0，得 x0，yz0， 令 y1，得 z1，n(0,1,1
14、)是平面 CBE 的一个法向量 设点 F 到平面 CBE 的距离为 d，则 dFE n|n|1222.点 F 到平面 CBE 的距离为22. 20.(1)证明：如图，连接 EC1，BC1，因为三棱柱 A1B1C1- ABC 为直三棱柱，所以 E 为 AC1的中点 又因为 F 为 AB 的中点，所以 EFBC1. 又 EF平面 BCC1B1，BC1平面 BCC1B1，所以 EF平面 BCC1B1. (2)解： 以 A1为原点， A1C1， A1B1， A1A 所在直线分别为 x、 y、 z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 A1xyz， 则 A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3
15、)，F(0,2,6)， 所以B1F(0，2,6)，AE(2,0，3)，AF(0,2,0)， 设平面 AEF 的法向量为 n(x，y，z)，则 n AE2x3z0，n AF2y0， 令 x3，得 n(3,0,2)， 记 B1F 与平面 AEF 所成角为 ，则 sin |cosB1F，n|B1F n|B1F| |n|3 13065. 21.(1)证明：在ABC 中，BC2，AC2 2，ACB45 ， 由余弦定理可得 AB2BC2AC22BCACcos 45 4，所以 AB2(负值舍去)， 因为 AC2AB2BC2，所以ABC 是直角三角形，ABBC 又 BEBC，ABBEB，所以 BC平面 ABE
16、. 因为 AE平面 ABE，所以 BCAE， 因为 EAAC，ACBCC，所以 AE平面 ABCD (2)解：由题易得 EB2AB4，由(1)知，BC平面 ABE，所以平面 BEC平面 ABE，如图， 以 B 为原点，过点 B 且垂直于平面 BEC 的直线为 z 轴，BE，BC 所在直线分别为 x，y 轴，建立空间直角坐标系 Bxyz，则 C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0， 3)，D(1,1， 3)， 因为 EF2FC，所以 F43，43，0 ，易知AD(0,1,0)，AF13，43， 3 ， 设平面 FAD 的法向量为 n(x，y，z)，则 AD n0，AF n0，即 y0，1
17、3x43y 3z0， 令 z 3，则 x9，所以 n(9,0， 3) 由(1)知 EA平面 ABCD，所以EA(3,0， 3)为平面 ABCD 的一个法向量 设平面 FAD 与平面 ADC 的夹角为 ，则 cos |EA n|EA| |n|242 32 212 77， 所以平面 FAD 与平面 ADC 的夹角的余弦值为2 77. 22.解：(1)在棱 AB 上存在点 E，使得 AF平面 PCE，且 E 为棱 AB 的中点 理由如下：如图，取 PC 的中点 Q，连接 EQ，FQ，由题意得，FQDC 且 FQ12CD， 因为 AECD 且 AE12CD，所以 AEFQ 且 AEFQ.所以四边形 A
18、EQF 为平行四边形所以 AFEQ. 又 EQ平面 PCE，AF平面 PCE，所以 AF平面 PCE. (2)连接 BD，DE.由题意知ABD 为正三角形，所以 EDAB，即 EDCD， 又ADP90 ，所以 PDAD，且平面 ADP平面 ABCD，平面 ADP平面 ABCDAD，所以 PD平面ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设 FDa，则由题意知 F(0,0，a)，C(0,2,0)，B( 3，1,0)，则FC(0,2，a)，CB( 3，1,0)， 设平面 FBC 的法向量为 m(x，y，z)则 m FC2yaz0，m CB 3xy0， 令 x1，则 y 3，z2 3a，所以 m1， 3，2 3a，易知平面 DFC 的一个法向量 n(1,0,0)， 因为二面角 D- FC- B 的余弦值为14，所以|cosm，n|m n|m|n|14，即1412a214，解得 a1(负值舍去) 因为 PD平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD， 所以PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角， 由题意知在 RtPBD 中，tanPBDPDBD2FDBD1，所以PBD45 ， 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 .