1、第四章对数运算与对数函数第四章对数运算与对数函数 一、选择题一、选择题 1.2021 天津卷函数 y=ln|2:2的图象大致为( ) 2.2021 天津卷若 2a=5b=10,则1+1=( ) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 3.2020 全国卷文设 alog34=2,则 4-a=( ) A.116 B.19 C.18 D.16 4. 2021 全国甲卷理青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9,则其视力的
2、小数记录法的数据约为( 10101.259)( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 5.2019 北京卷理在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lg12,其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 6.2020 天津卷设 a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.abc B.bac C.bca D.cab
3、7. 2021 新高考卷若 a=log52,b=log83,c=12,则( ) A.cba B.bac C.acb D.abf(2;32)f(2;23) B.f(log314)f(2;23)f(2;32) C.f(2;32)f(2;23)f(log314) D.f(2;23)f(2;32)f(log314) 9.2020 全国卷理若 2x-2y0 B.ln(y-x+1)0 D.ln|x-y|2b B.ab2 D.ab2 11. 2020 全国卷理 12,5 分已知 5584,13485.设 a=log53,b=log85,c=log138,则( ) A.abc B.bac C.bca D.ca
4、b 二、非选择题二、非选择题 12.2020 北京卷函数 f(x)=1:1+ln x 的定义域是 . 13.2019 全国卷理已知 f(x)是奇函数,且当 x0,若 l1,l2分别与 M 相交于不同的点 C,A,B,D,如图所示,曲线段 CA,BD 在 x 轴上投影的长度分别为 a,b,则 b= (用 m 表示);当 m 变化时,log2的取值范围为 . 15.2022 江西景德镇一中高一上期末考试对于函数 f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数 a,b,使得 h(x)=af1(x)+bf2(x),那么称 h(x)为 f1(x),f2(x)的生成函数. (1)设 f1(x)=log2x
5、,f2(x)=log12x,a=2,b=1,生成函数为 h(x),求函数 (x)=h2(x)-2h(x)在区间1,8上的最小值. (2)设函数 g1(x)=log3(9x-1+1),g2(x)=x-1,判断是否存在一个函数 h(x),使得 h(x)是 g1(x),g2(x)的生成函数,且同时满足: h(x+1)是偶函数;h(x)在区间*2,+)上的最小值为 2log310-2.若存在,求出函数 h(x)的解析式;若不存在,请说明理由. 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.C 9.A 10.B 11.A 二、非选择题二、非选择题 1
6、2.(0,+) 13.-3 14.28-2m (42,+) 15.(1)依题意,得 h(x)=2log2x+log12x=log2x,则 (x)=(log2x)2-2log2x. 令 t=log2x,x1,8,则 t0,3,于是求函数 (x)在区间1,8上的最小值转化为求函数 F(t)=t2-2t 在区间0,3上的最小值. 显然 F(t)=t2-2t 在0,1上单调递减,在1,3上单调递增,所以 F(t)min=F(1)=-1, 所以函数 (x)在区间1,8上的最小值是 (2)=-1. (2)假设存在满足题意的 h(x),可设 h(x)=mlog3(9x-1+1)+n(x-1),m,nR, 则
7、 h(x+1)=mlog3(9x+1)+nx. 由 h(x+1)为偶函数,知 h(x+1)=h(-x+1), 即 mlog3(9x+1)+nx=mlog3(9-x+1)-nx, 整理得 mlog39:19:1=2nx, 所以 mlog39-x=2nx,解得 m=-n, 则 h(x)=mlog3(9x-1+1)-m(x-1)=mlog3(9x-1+1)-log33x-1=mlog391:131. 令u=3x-1,x2,+),则u3,+),于是h(x)在区间 *2,+)上的最小值转化为G(u)=mlog3(u+1)在*3,+)上的最小值, 因为 y=u+1在*3,+)上单调递增, 所以 y=u+13+13=103, 所以 y=log3(u+1)log3103=log310-1. 由 h(x)在区间*2,+)上的最小值为 2log310-2,知 m0,所以 h(x)min=m(log310-1)=2log310-2,所以 m=2,所以 n=-2. 所以假设成立,即存在一个函数 h(x)=2log3(9x-1+1)-2x+2 满足题意.