1、 第第 1 1 章特殊的平行四边形章特殊的平行四边形 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1下列说法不正确的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D一个角是直角的四边形是矩形 2下列说法正确的是（ ） A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形对角线互相垂直 C一组对边平行的四边形是平行四边形 D对角线相等的菱形是正方形 3边长是 4 且有一个内角为 60的菱形的面积为（ ） A2 B4 C8 D16 4如图，在ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列判断中不正确的是（ ） A
2、若 ABBC，则ABCD 是菱形 B若 ACBD，则ABCD 是菱形 C若 AC 平分BAD，则ABCD 是菱形 D若 ACBD，则ABCD 是菱形 5如图，在菱形 ABCD 中，AE 是菱形的高，若对角线 AC、BD 的长分别是 6、8，则 AE 的长是（ ） A B C D5 6如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O若ACB30，AC10，则 AB 的长为（ ） A6 B5 C4 D3 7如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中点，则 OE 的长是（ ） A2.5 B3 C4 D5 8如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F
3、 分别在 BC，CD 上，BECF，则图中与AEB 相等的角的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 9如图，正方形 ABCD 中，点 P 在 AC 上，PEAB，PFBC，垂足分别为 E、F，EF3，则 PD 的长为（ ） A1.5 B2 C2.5 D3 10如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DHAB 于点 H，连接 OH，若DHO20，则ADC 的度数是（ ） A120 B130 C140 D150 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分）分） 11已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则这个菱形的面积为 12如图，四边形 ABCD
4、中，E，F，G，H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点若四边形 EFGH 为菱形，则对角线 AC、BD 应满足条件 13如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB120，CEBD，DEAC，若 AD4，则四边形 CODE 的周长 14如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F且 AD 交 EF 于 O，则AOF 度 15 如图， 矩形 ABCD 中， E 在 AD 上， 且 EFEC， EFEC， DE2， 矩形的周长为 16， 则 AE 的长是 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16如
5、图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，AECD，CEAB，判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论 17如图，在 RtABC 中，ACB90，DE、DF 是ABC 的中位线，连接 EF、CD求证：EFCD 18如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，AE，BF 交于点 O，AOF90求证：BECF 19如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE （1）求证：BECE （2）求BEC 的度数 20如图，已知 ABDC，ACDB，AC 与 DB 交于点 M过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BNAC，CN 与BN
6、交于点 N （1）求证：ABCDCB； （2）求证：四边形 BNCM 是菱形 21如图，BD 是ABC 的角平分线，过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，DFAB 交 BC 于点 F （1）求证：四边形 BEDF 为菱形； （2）如果A90，C30，BD6，求菱形 BEDF 的面积 22如图，菱形 ABCD 中，分别延长 DC，BC 至点 E，F，使 CECD，CFCB，联结 DB，BE，EF，FD （1）求证：四边形 DBEF 是矩形； （2）如果A60，菱形 ABCD 的面积为，求 DF 的长 23已知：如图，在ABC 中，ABAC，ADBC，垂足为点 D，AN 是ABC 外角CAM
7、 的平分线，CEAN，垂足为点 E，连接 DE 交 AC 于点 F （1）求证：四边形 ADCE 为矩形； （2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明 （3）在（2）的条件下，若 ABAC2，求正方形 ADCE 周长 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是正确的，故该选项不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、一个角是直角的四边形是矩形是错误的，故该选项符
8、合题意； 故选：D 2解：两个同底的等腰三角形组成的四边形，对角线互相垂直，但不一定是菱形， A 错误； 根据矩形的性质可知 B 错误； 根据平行四边形的判定定理可知 C 错误； 根据正方形的判定定理可知 D 正确； 故选：D 3解：菱形一内角为 60，边长为 4， 过菱形一顶点作对边上的高为 面积为 428 故选：C 4解：A、由一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断ABCD 是菱形； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断ABCD 是菱形； C、由 AC 平分BAD，可得四边相等，即可判断ABCD 是菱形； D、由对角线相等的平行四边形是矩形，可判断ABCD 是矩形 故选：D 5解：四边
9、形 ABCD 是菱形 ACBD，BODO4，COAO3 BC5 S菱形ABCDACBDBCAE 245AE AE 故选：B 6解：四边形 ABCD 是矩形， OAOCOBODAC5，ABC90， OBCACB30 AOBOBC+ACB AOB60 OAOB AOB 是等边三角形 ABOA5 故选：B 7解：四边形 ABCD 为菱形， CDBC5，且 O 为 BD 的中点， E 为 CD 的中点， OE 为BCD 的中位线， OECB2.5， 故选：A 8证明：四边形 ABCD 是正方形， ABCD，ADBC，ABBC，ABEBCF90， 在ABE 和BCF 中， ， ABEBCF（SAS） ，
10、 BFCAEB， ADBC，ABCD， DAEAEB，BFCABF， 故图中与AEB 相等的角的个数是 3 故选：C 9解：如图，连接 PB， 在正方形 ABCD 中，ABAD，BACDAC45， APAP，ABAD，BACDAC45 ABPADP（SAS） ， BPDP； PEAB，PFBC，ABC90， 四边形 BFPE 是矩形， EFPB， EFDP3， 故选：D 10解：四边形 ABCD 是菱形， OBOD，ACBD，ADCABC， DHAB， OHOBBD， DHO20， OHB90DHO70， ABDOHB70， ADCABC2ABD140， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5
11、 小题，满分小题，满分 15 分）分） 11解：菱形的两条对角线长分别是 6 和 8， 这个菱形的面积为 68224 故答案为 24 12解：添加的条件应为：ACBD 证明：E，F，G，H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点， 在ADC 中，HG 为ADC 的中位线，所以 HGAC 且 HGAC；同理 EFAC 且 EFAC，同 理可得 EHBD， 则 HGEF 且 HGEF， 四边形 EFGH 为平行四边形，又 ACBD，所以 EFEH， 四边形 EFGH 为菱形 故答案为：ACBD 13解：四边形 ABCD 是矩形， BDAC，DOBO，AOCO， ODOA， AOB120， DOA
12、60， AOD 是等边三角形， DOAOADOC4， CEBD，DEAC， 四边形 CODE 是平行四边形， 四边形 CODE 是菱形， 四边形 CODE 的周长为：4OC4416， 故答案为：16 14解：DEAC，DFAB， 四边形 AEDF 为平行四边形， OAOD，OEOF，23， AD 是ABC 的角平分线， 12， 13， AEDE AEDF 为菱形 ADEF，即AOF90 故答案为：90 15解：设 CDx， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ADBC，AD90， EFEC， FEC90， AFE+AEF90，AEF+DEC90， AFEDEC， 在AFE 和DCE 中， ，
13、 AFEDCE（AAS） ， AEDCx， DE2， ADBCx+2， 矩形 ABCD 的周长为 16， 2（x+x+2）16， x3， 即 AE3， 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16解：四边形 ADCE 是菱形理由如下： AECD，CEAB， 四边形 ADCE 是平行四边形 又在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点， CDAD， 四边形 ADCE 是菱形 17证明：DE、DF 是ABC 的中位线， DEBC，DFAC， 四边形 DECF 是平行四边形， 又ACB90， 四边形 DECF 是矩形， EFCD 18证明：四边形
14、ABCD 是正方形， ABBC， ABEBCF90， AOF90，AOB90， BAE+OBA90， 又FBC+OBA90， BAECBF（同角的余角相等） ， 在ABE 和BCF 中 ， ABEBCF（ASA） BECF 19 （1）证明：四边形 ABCD 为正方形 ABADCD，BADADC90 三角形 ADE 为正三角形 AEADDE，EADEDA60 BAECDE150 在BAE 和CDE 中， BAECDE BECE； （2）ABAD，ADAE， ABAE， ABEAEB， 又BAE150， ABEAEB15， 同理：CED15 BEC6015230 20解： （1）在ABC 和DC
15、B 中， ABCDCB（SSS） ； （2）CNBD、BNAC， 四边形 BNCM 是平行四边形， ABCDCB， 12， BMCM， 四边形 BNCM 是菱形 21解： （1）DEBC，DFAB 四边形 DEBF 是平行四边形 DEBC EDBDBF BD 平分ABC ABDDBFABC ABDEDB DEBE 且四边形 BEDF 为平行四边形 四边形 BEDF 为菱形； （2）如图：过点 D 作 DHBC 于点 H A90，C30， ABC60 DBC30C DBDC6 DHBC，C30 DC2DH6 DH3 DFAB， AFDC90，且C30，DC6 DCDF DF2 四边形 BEDF
16、为菱形 BFDF2 S四边形BEDFBFDH236 22 （1）证明：CECD，CFCB， 四边形 DBEF 是平行四边形 四边形 ABCD 是菱形， CDCB CECF， BFDE， 四边形 DBEF 是矩形 （2）设 DB 为 2a， A60，菱形 ABCD 的面积为， 可得， 解得：a2， DB4， DBC60， DF 23 （1）证明：ABAC，ADBC，垂足为点 D， CADBAC AN 是ABC 外角CAM 的平分线， CAECAM BAC 与CAM 是邻补角， BAC+CAM180， CAD+CAE（BAC+CAM）90 ADBC，CEAN， ADCCEA90， 四边形 ADCE 为矩形； （2）BAC90且 ABAC 时，四边形 ADCE 是一个正方形， 证明：BAC90且 ABAC，ADBC， CADBAC45，ADC90， ACDCAD45， ADCD 四边形 ADCE 为矩形， 四边形 ADCE 为正方形； （3）解：由勾股定理，得 AB，ADCD， 即AD2， AD2， 正方形 ADCE 周长 4AD428