1、 第第 2 2 章特殊三角形章特殊三角形 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1下面说法错误的个数有（ ） （1）全等三角形对应边上的中线相等 （2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等 （3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 （4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2观察下面 A，B，C，D 四幅图，其中与如图成轴对称的是（ ） A B C D 3 如图，BAC110， 若 A， B 关于直线 MP 对称，A， C 关于直线 NQ 对称，则PAQ 的大小是 （ ） A70 B55 C40 D30 4如图
2、案分别表示“福” “禄” “寿” “喜” ，其中不是轴对称图形的是（ ） A B C D 5 如图， 分别以ABC的边AB， AC所在直线为对称轴作ABC的对称图形ABD和ACE， BAC150，线段 BD 与 CE 相交于点 O，连接 BE、ED、DC、OA有如下结论：EAD90；BOE60；OA 平分BOC；EAED；BPEQ其中正确的结论个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 6如图，在ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，点 E、F 分别是 AD、AB 上的动点，若BAC50，当 BE+EF 的值最小时，AEB 的度数为（ ） A105 B115 C120 D130 7
3、如图，在ABC 中，ABAC，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧交 AC 于点 C、E，再分别以点 C 与点 E 为圆心，大于 CE 长的一半为半径画弧，两弧交于点 F，连接 BF 交 AC 于点 D，若A50，则CBD 的大小是（ ） A25 B40 C50 D65 8已知射线 OC 平分AOB，点 P、M、N 分别在射线 OC、OA、OB 上，且 PMPN，PEOA 于点 E，若PNO110，则EPM 的度数为（ ） A20 B35 C55 D70 9如图，ABC 中，ABAC，B40，D 为线段 BC 上一动点（不与点 B，C 重合） ，连接 AD，作ADE40，DE 交线段 AC
4、于 E，以下四个结论：CDEBAD；当 D 为 BC 中点时，DEAC；当ADE 为等腰三角形时，BAD20；当BAD30时，BDCE其中正确的结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10如图，等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边中点，则下列结论不正确的是（ ） ABC BADBC CBADCAD DAB2BC 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分）分） 11如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E，BD 和 CE 交于 O，AO 的延长线交 BC 于 F，则图中全等的直角三角形有 对 12如图，在ABC 中，BAC90，AB4，AC
5、3，点 D 是 BC 上一动点（点 D 与点 B 不重合） ，连接AD， 作B关于直线AD的对称点E， 当点E在BC的下方时， 连接BE、 CE， 则CE的取值范围是 ；BEC 面积的最大值为 13 如图， APT 与CPT 关于直线 PT 对称， AAPT， 延长 AT 交 PC 于点 F， 当A 时，FTCC 14如图，已知 ABCB，要使四边形 ABCD 成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线） 15如图，在 33 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形图中的ABC 为格点三角形，在图中最多能画出 个格点三角形与A
6、BC 成轴对称 16如图，AC90，且 ABAC4，D，E 分别为射线 AC 和射线 CF 上两动点，且 ADCE，当BD+BE 有最小值时，则BDE 的面积为 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 56 分）分） 17如图，在ABC 和DCB 中，AD90，ACBD，AC 与 BD 相交于点 O （1）求证：ABCDCB； （2）OBC 是何种三角形？证明你的结论 18如图，直线 l1l2，直线 l3交直线 l1于点 B，交直线 l2于点 D，O 是线段 BD 的中点过点 B 作 BAl2于点 A，过点 D 作 DCl1于点 C，E 是线段 BD 上一动点（不与点 B，D 重合
7、） ，点 E 关于直线 AB，AD的对称点分别为 P，Q，射线 PO 与射线 QD 相交于点 N，连接 PQ （1）求证：点 A 是 PQ 的中点； （2）请判断线段 QN 与线段 BD 是否相等，并说明理由 19如图，ABC 中，ABC45，点 A 关于直线 BC 的对称点为 P，连接 PB 并延长过点 C 作 CDAC，交射线 PB 于点 D （1）如图，ACB 为钝角时，补全图形，判断 AC 与 CD 的数量关系： ； （2）如图，ACB 为锐角时， （1）中结论是否仍成立，并说明理由 20如图，直线 ab，请你设计两个不同的轴对称图形，使 a、b 都是它的对称轴 21如图，ABC 在正
8、方形网格中，已知网格的单位长度为 1，点 A，B，C 均在格点上，按要求回答下列问题： （1）分别写出点 A，B，C 的坐标； （2）求ABC 的面积； （3）请在这个坐标系内画出A1B1C1，使A1B1C1与ABC 关于 y 轴对称 22在ABC 中，ABAC，D 是直线 BC 上一点，以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使 AEAD，DAEBAC，连接 CE设BAC，BCE （1）如图（1） ，点 D 在线段 BC 上移动时，角 与 之间的数量关系是 ； 若线段 BC2，点 A 到直线 BC 的距离是 3，则四边形 ADCE 周长的最小值是 ； （2）如图（2） ，点 D 在线段 B
9、C 的延长线上移动时， 请问（1）中 与 之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由； 线段 BC、DC、CE 之间的数量是 23如图，在ABC 中，ABAC，A2ABD，当BDC 是等腰三角形时，求：DBC 的度数 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分）分） 1解： （1）全等三角形对应边上的中线相等正确； （2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等正确； （3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等错误； （4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等错误； 故选：B 2解：与已知图形成轴对称的图形是选项 C： 故选：C 3解：
10、BAC110， B+C70， A，B 关于直线 MP 对称，A，C 关于直线 NQ 对称， 又MP，NQ 为 AB，AC 的垂直平分线， BAPB，QACC， BAP+CAQ70， PAQBACBAPCAQ1107040 故选：C 4解：第一个图形不是轴对称图形， 第二、三、四个图形是轴对称图形， 故选：A 5解：ABD 和ACE 是ABC 的轴对称图形， BADCAEBAC，ABAE，ACAD， EAD3BAC360315036090，故正确； BAECAD（36090150）60， 由翻折的性质得，AECABDABC， 又EPOBPA， BOEBAE60，故正确； ACEADB， SACE
11、SADB，BDCE， BD 边上的高与 CE 边上的高相等， 即点 A 到BOC 两边的距离相等， OA 平分BOC，故正确； 只有当 ACAB 时，ADE30，才有 EAED，故错误； 在ABP 和AEQ 中，ABDAEC，ABAE，BAE60，EAQ90， BPEQ，故错误； 综上所述，结论正确的是共 3 个 故选：B 6 解： 过点 B 作 BBAD 于点 G， 交 AC 于点 B， 过点 B作 BFAB 于点 F， 与 AD 交于点 E，连接 BE，如图， 此时 BE+EF 最小 AD 是ABC 的角平分线， BADBAD25， AEF65， BBAD， AGBAGB90， AGAG，
12、 ABGABG（ASA） ， BGBG，ABGABG， AD 垂直平分 BB， BEBE， EBGEBG， BAC50， ABF40， ABE40， BEF50， AEB115 故选：B 7解：ABAC，A50， ACB（18050）265， 由题意可知，BCBE， BECACB65， CBE18065250， CBDCBE25 故选：A 8解：连接 MN， 射线 OC 平分AOB，PMPN， OPMN，MOPNOP， MPONPO， 在MOP 与NOP 中， ， MOPNOP（ASA） ， OMPPNO110， EPMOMPOEP1109020故选：A 9解：ABAC， BC40， BAD1
13、8040ADB，CDE18040ADB， BADCDE；故正确； D 为 BC 中点，ABAC， ADBC， ADC90， CDE50， C40， DEC90， DEAC，故正确； C40， AED40， ADEAED， ADE 为等腰三角形， AEDE， DAEADE40， BAC1804040100， BAD60， 或ADE 为等腰三角形， ADDE， DAEAED70， BAC1804040100， BAD30， 故错误， BAD30， CDE30， ADC70， CAD180704070， DACADC， CDAC， ABAC， CDAB， ABDDCE（ASA） ， BDCE；故正确
14、； 故选：C 10解：AABAC， BC， 故 A 不符合题意； BABAC，点 D 是 BC 边中点， ADBC， 故 B 不符合题意； CABAC，点 D 是 BC 边中点， BADCAD， 故 C 不符合题意； 所以排除 A，B，C， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题小题，满分，满分 24 分）分） 11解：BDAC，CEAB， ADBAEC90， ACAB， CAEBAD， AECADB（AAS） ； CEBD， ACAB， CBEBCD， BECCDB90， BCECBD（AAS） ； BECD， ADAE， AOAO， RtAODRtAOE（HL） ； DOCEOB，
15、CODBOE（AAS） ； OBOC， ABAC， CFBF，AFBC， ACFABF（SSS） ，COFBOF（SSS） ， 综上所述，共有 6 对全等的直角三角形 故答案是：6 12解：B、E 关于 AD 对称， AEAB4， 则可知 E 点在以 A 点为圆心、AE 为半径的圆上，如图， 在 RtABC 中，AB4，AC3，则 BC5， 当 E 点与 B 点重合时，有 CE 最长，即为 5； 又B、E 不重合， CE5， 当 E 点移动到 F 点时，使得 A、C、F 三点共线，此时 CF 最短，且为 CFAFAC43l， 即 CE 最短为 l， 即 CE 的取值范围为：1CE5； 当点 E
16、 移动到使得 AEBC 时，A 点到 BC 的距离最短，则 E 点到 BC 的距离最大，则此时BCE 的面积最大， 设 AE 交 BC 于点 G 点， 利用面积可知 ABACBCAG， AG2.4， AEAB4， EG42.41.6， BCE 的面积最大值为：1.654， BCE 的面积的最大值为 4； 故答案为：1CE5；4 13解：APT 与CPT 关于直线 PT 对称， AC，TATC，APTCPT， AAPT， ACAPTCPT， FTCC， AFPC+FTC2C2A， A+APF+AFP180， 5A180， A36， 故答案为：36 14解：ADCD， 理由：在ABD 与CBD 中
17、， ABDCBD， 四边形 ABCD 是一个轴对称图形， 故答案为：ADCD 15解：如图，最多能画出 6 个格点三角形与ABC 成轴对称 故答案为：6 16解：过点 B 作 BECF 于点 N， AC90，且 ABAC4， 四边形 ACNB 是正方形， ACCN， ADCE， CDNE BENNDC， BEDN， 延长 BA 到 M使得 AMAB，则 B，M 关于 AC 对称， BDMD， BD+BEMD+DN，最小时，M，N，D 三点共线， 此时 D 为 AC 的中点，BDE 的面积为：0.5（2+4）40.5420.5226 故答案为：6 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满
18、分 56 分）分） 17证明： （1）在ABC 和DCB 中，AD90 ACBD，BC 为公共边， RtABCRtDCB（HL） ； （2）OBC 是等腰三角形， RtABCRtDCB， ACBDBC， OBOC， OBC 是等腰三角形 18 （1）证明：连接 AE 点 E 关于直线 AB，AD 的对称点分别为 P，Q， APAE，AQAE，12，34， APAQ， ABl2， 2+390， 1+2+3+4180， P，A，Q 三点在同一条直线上， 点 A 是 PQ 的中点 （2）解：结论 QNBD，理由如下：连接 PB 点 E 关于直线 AB，AD 的对称点分别为 P，Q， BPBE，DQD
19、E，56，78， l1l2，DCl1， DCl2， 7+990， 8+1090， 910， 又ABl2，DCl2， ABCD， 69， 5+69+10， 即OBPODN， O 是线段 BD 的中点， OBOD， 又BOPDON， 在BOP 和DON 中， BOPDON（AAS） ， BPDN， BEDN， QNDQ+DNDE+BEBD 19解： （1）结论：ACCD 理由：如图中，设 AB 交 CD 于 O， A，P 关于 BC 对称，CACP， AP，ABCCBP45， ABPABD90， ACCD， ACODBO90， AOCDOB， DA， DP， CDCP， ACCD 故答案为：ACC
20、D （2） （1）中结论不变 理由：如图中， A，P 关于 BC 对称，CACP， AP，ABCCBP45， ABPABD90， ACCD， ACDDBA90， ABD+ACD180， A+BDC180， CDP+BDC180， ACDP CDPP， CDCP， ACCD 20解：如下图所示： （答案不唯一） 21解： （1）由图知，A（0，3） 、B（4，4） 、C（2，1） ； （2）ABC 的面积为 342214235， 答：ABC 的面积为 5； （3）如图所示，A1B1C1即为所求 22解： （1）+180；理由如下： DAEBAC， DAEDACBACDAC CAEBAD， 在AB
21、D 和ACE 中， ， ABDACE（SAS） ， ABDACE， BAC+ABD+ACB180， BAC+ACE+ACB180， BAC+BCE180，即 +180， 故答案为：+180； 由知，ABDACE， BDCE，ADAE， CD+CEBD+CDBC2， 当 ADBC 时，AD 最短， 即四边形 ADCE 周长的值最小， 点 A 到直线 BC 的距离是 3， ADAE3， 四边形 ADCE 周长的最小值是 2+3+38， 故答案为：8； （2）成立，理由如下： DAEBAC， DAE+CADBAC+CAD， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， ABDACE（SAS） ， A
22、BDACE， ACDABD+BACACE+DCE， BACDCE， BAC+BCEDCE+BCE180， 即 +180； ABDACE（SAS） ， ABDACE，BDCE， BDBC+CD， CEBC+CD， 故答案为：CEBC+CD 23解：ABAC， ABCC 当 BDCD 时，CCBDABC，故不成立； 当 BDBC 时，CBDCA+ABD， A+ABC+C180， A+A+ABD+A+ABD180， 3A+2ABD180，4A180， A45， ABD22.5， ABC（18045）67.5， DBCABCACD45； 当 CBCD 时，CBDCDBA+ABD， 设ABDx， A2x， CBDCDB3x， ABCC4x， A+ABC+C180， 2x+4x+4x180， x18， DBC54； 综上所述：DBC 的度数为 54或 45