1、导数及其应用一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分1、函数的单调递增区间是 A. B.(0,1) C. D. (-1,+)2、设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如右图，则导函数的图象可能是 3、方程的实根个数是 A、1 B、2 C、3 D、44、已知函数，若函数在上是单调递增，则实数的取值范围是 A、1 B、 C、88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点21（本小题满分12分）设, 其中为自然对数的底数，.(1) 若对任意的都成立, 求实数的取值范围;(2) 设, 当时,有三个不同的零点, 求实数的最小值.22（本小题
2、满分12分）已知函数f(x)(x2x1)ex3，g(x)xex，e为自然对数的底数（1）求函数f(x)的单调区间；（2）记函数g(x)在(0，)上的最小值为m，证明：em3参考答案1、D 2、C 3、A 4、B 5、C 6、A 7、D 8、D7、【解析】函数在上有两个零点，等价于与有两个不同的交点，恒过点，设与相切时切点为，因为，所以切线斜率为，则切线方程为，当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为，由函数图像特征可知：函数在上有两个零点，则实数的取值范围是.故选：D.8、【解析】在上递增，所以，.依题意关于的不等式在上恒成立，整理得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，所以时，时，所以
3、在递减，递增，所以，所以.故选：D9、BC 10、AC 11、CD 12、BCD12、解：对于，在上单调递减，不单调，故错误；对于，在上，函数单调递减， 在单调递增，故正确；对于，若在单调递减，由，得，在单调递增，故正确；对于，在上单调递减，在上恒成立令，令，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，在上恒成立，令，在上单调递增，综上：，故正确故选：13、 14、 15、 16、16、解：令，则，17、解：（1），当时，；当，时，；函数在上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为，单调递增区间为，；（2），恒成立恒成立构造函数，则，当时，恒成立，在上单调递增，（1），即，18解：（1）当时
4、，的定义域为.当时，.当时，.对任意实数x，在上是增函数；（2）当时，恒成立，即恒成立.设（），则，令，解得，.当，即时x+0-0+极大值极小值要使结论成立，则，即，.解得，；当，即时，恒成立，是增函数.又，故结论成立；当，即时，x+0-0+极大值极小值要使结论成立，则，即，.解得，.综上所述，若，当时，恒成立，实数a的取值范围是.19、（1）解：函数的定义域为，求导得，当时，恒成立，则在上单调递增，当时，的解集为，的解集为，即的单调递增区间为，单调递减区间为，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减（2）证明：因为，由（1）知，且（a），解得，设，则，要证，即证，即证，即证
5、，设，则，即在上单调递减，有（a），即，则成立，因此成立，要证，即证，即证，即证，即证，而，即证，令，则，设，求导得，即在上单调递增，则有（e），即，在上单调递减，而，当时，（a）（e），则当时，成立，故有成立，所以20、（）函数f（x）的导函数，由,得，因为，所以由基本不等式得因为，所以由题意得设，则，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上单调递增，故，即（）令m=，n=，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）kna0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点21、(1) ，设，则在减，在增，则 (2) 当时，恒成立，则单调递增，最多存在两
6、个零点，不合题意当时，则在减，在增，注意到当时，存在，则在增，在减，在增，此时其不可能存在3个零点当时，恒成立，则单调递增，最多存在一个零点，不合题意当时，存在，则在增，在减，在增，要使有三个不同的零点，则，则，令，注意到，则，由得到，令，则在增，即的最小值为22、解：（1）由f(x)(x2x1)ex3，得f (x)(x2x)ex2分令f (x)0，得x1或x0 因为当x(，1)(0，)时，f (x)0，当x(1，0)时，f (x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，1)，(0，)，f(x)的单调递减区间为(1，0)4分（2）g(x)xex(1)ex，x0，所以g(x)(x2x1)ex3由（1
7、）得f(x)在(0，)上递增，又因为f(1)e30，f(2)3e230，且f(x)的图象不间断，所以存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0，即g(x0)0，即(x02x01)e30 (*)6分所以当x(0，x0)，f(x)0，即g(x)0，所以g(x)单调递减；当x(x0，)，f(x)0，即g(x)0，所以g(x)单调递增，因此mg(x)ming(x0) (*)8分由(*)式得e，代入(*)式得m因为x0(1，2)，且函数y在(1，2)上递减，所以m(2，3)10分方法1由(*)式得(x01)ex02e3，代入(*)式得mx0e因为x0(1，2)，且函数yxex在(1，2)上递增，所以mx0ee12分方法2因为x(ex1)0，所以xexx，所以(x1)ex1x1，所以(x1)exe(x1)(当且仅当x1时取等号)所以g(x)(1)exe，所以mg(x)mine综上，em312分