1、 导数导数 0 01 1 导数的概念及其意义导数的概念及其意义 一、导数的概念一、导数的概念 1.1.函数的平均变化率：函数的平均变化率： 定义：一般地，已知函数( )yf x，0 x，1x是其定义域内不同的两点，记10 xxx ， 10yyy 10( )()f xf x00()()f xxf x ，则当0 x 时，商00()()f xxf xyxx 称作函数( )yf x在区间00,xxx （或00,xx x ）的平均变化率 注：这里x，y可为正值，也可为负值但0 x ，y可以为0 2 2函数的瞬时变化率、函数的导数：函数的瞬时变化率、函数的导数： 瞬时变化率：设函数( )yf x在0 x附
2、近有定义，当自变量在0 xx附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yf xxf x 如果当x趋近于0时，平均变化率00()()f xxf xyxx 趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小， 可以小于任意小的正数） ， 那么常数l称为函数( )f x在点0 x的瞬时变化率 函数的导数：“当x趋近于零时，00()()f xxf xx 趋近于常数l”可以用符号“”记作： “当0 x 时，00()()f xxf xlx ”，或记作“000()()limxf xxf xlx ”，符号“”读作“趋近于”函数在0 x的瞬时变化率，通常称为( )f x在0 xx处的导数，
3、并记作0()fx 这时又称( )f x在0 xx处是可导的于是上述变化过程，可以记作“当0 x 时，000()()()f xxf xfxx ”或“0000()()lim()xf xxf xfxx ” 3 3可导与导函数：可导与导函数： 定义：如果( )f x在开区间( , )a b内每一点都是可导的，则称( )f x在区间( , )a b可导这样，对开区间( , )a b 内每个值x，都对应一个确定的导数( )fx于是，在区间( , )a b内，( )fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数( )yf x的导函数记为( )fx或y（或xy） 注：导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的
4、导数，那么求导数指的就是求导函数 二、导数的几何意义二、导数的几何意义 1.1.导数的几何意义：导数的几何意义： x0 xyxODCBA 意义：设函数( )yf x的图象如图所示AB为过点00(,()A xf x与00(,()B xxf xx 的一条割线由此割线的斜率是00()()f xxf xyxx ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线过点A的切线，即000()()limxf xxf xx 切线AD的斜率由导数意义可知，曲线( )yf x过点00(,()xf x的切线的斜率等于0()fx 2.2.
5、求曲线的切线方程求曲线的切线方程 方法：若曲线( )yf x在点00(,)P xy及其附近有意义，给横坐标0 x一个增量x，相应的纵坐标也有一个增量00()()yf xxf x，对应的点00(,)Q xx yy.则PQ为曲线( )yf x的割线.当0 x 时QP,如果割线PQ 趋近于一确定的直线， 则这条确定的直线即为曲线的切线.当然， 此时割线PQ的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()yyk xx. 0 02 2 导数的运算导数的运算 一、初等函数的导数公式表一、初等函数的导数公式表 ( )yf x ( )yfx yc 0y nyx()nN 1nynx，n为正整数 yx(0,0,
6、)Q 1yx，为有理数 xya(0,1)aa lnxyaa logayx(0,1,0)aax 1lnyxa sinyx cosyx cosyx sinyx 注：lnlogeaa，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和一样重要的无理数2.7182818284e 注意()xxee 二、导数的四则运算法则二、导数的四则运算法则 1.1.函数和（或差）的求导法则函数和（或差）的求导法则 设( )f x，( )g x是可导的，则( ( )( )( )( )f xg xfxg x，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差） 2.2.函数积的求导法则函数积的求导法则 设( )f x，(
7、)g x是可导的，则 ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数 综上所述：( )( )Cf xCfx，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数 3.3.函数的商的求导法则函数的商的求导法则 设( )f x，( )g x是可导的，( )0g x ，则2( )( )( )( )( )( )( )f xg x fxf x g xg xgx特别是当( )1f x 时，有21( )( )( )g xg xgx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 法则
8、：法则：一般地，对于两个函数( )yf u和( )ug x，如果通过变量,u y可以表示成x的函数。那么称这个函数为函数( )yf u和( )ug x的复合函数，记作( ( )yf g x。复合函数( ( )yf g x的导数和函数( ),( )yf uug x的导数间的关系为xuxyyu（注：xy表示y对x的导数，uy表示y对u的导数 0 03 3 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 一、单调性一、单调性 【定理】【定理】 设函数( )yf x在 , a b上连续，在( , )a b内可导. （1）如果在( , )a b内( )0fx ，那么函数( )yf x在 , a b上单
9、调增加； （2）如果在( , )a b内( )0fx ，那么函数( )yf x在 , a b上单调减少. 【解读】【解读】设函数在某区间内可导，( )0( )fxf x在该区间上单调递增；( )0( )fxf x在该区间上单调递减.反之，若( )f x在某个区间上单调递增，则在该区间上有( )0fx 恒成立（但不恒等于0）；若( )f x在某个区间上单调递减，则在该区间上有( )0fx 恒成立（但不恒等于0）. 二、求可导函数单调区间二、求可导函数单调区间 1) 确定函数的( )f x的定义区间； 2) 求( )fx，令( )0fx ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数(
10、)f x的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数( )f x的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定( )fx在各个区间内的符号，根据( )fx的符号判定函数 f x在每个相应小区间内的增减性. 0 04 4 利用导数研究函数的极值与最值利用导数研究函数的极值与最值 一、一、函数的极值函数的极值 定义：定义：函数( )f x在点0 x附近有定义，如果对0 x附近的所有点都有0( )(),f xf x则称0()f x是函数的一个极大值，记作0= ();yf x极大值如果对0 x附近的所有点都有0( )(),f xf x则称0()f x是函数的一个极小值，记作0= ().yf x极小值极大值与极小值统称为极值，称0 x为极值点 二、求函数的极值的三个基本步骤二、求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数( )fx； 2) 求方程( )0fx 的所有实数根； 3) 检验( )fx在方程( )0fx 的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则( )f x在这个根处取得极大（小）值. 三、求函数最值三、求函数最值 1) 求函数( )f x在区间( , )a b上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值( ),( )f af b比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.