1、 随机变量及其分布随机变量及其分布 01 01 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 【知识点梳理】【知识点梳理】 1条件概率的概念 条件概率揭示了 P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)0，我们称 P(B|A)P（AB）P（A）为在事件 A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率 2概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)0，则 P(AB)P(A)P(B|A)我们称上式为概率的乘法公式 3条件概率的性质 设 P(A)0，则 (1)P(|A)1； (2)如果 B 与 C 是
2、两个互斥事件，则 P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)； (3)设B和 B 互为对立事件，则 P(B |A)1P(B|A) 4全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设 A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且 P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件 B，有 P(B) ni1P(Ai)P(B|Ai）. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一 5贝叶斯公式 设 A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且 P(Ai)0，
3、i1，2，n，则对任意事件 B，P(B)0， 有 P(Ai|B）P（Ai）P（B|Ai）P（B） i1，2，n. 6在贝叶斯公式中，P(Ai)和 P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率 02 02 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 【知识点梳理】【知识点梳理】 1随机变量 随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件 定义：一般地，对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有唯一的实数 X()与之对应，我们称X 为随机变量 2离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字
4、母表示随机变量的取值. 3.随机变量和函数的关系 随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点 相当于函数定义中的自变量，而样本空间 相当于函数的定义域，不同之处在于 不一定是数集 4离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，xn ，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(Xxi)pi，i1，2，n 为 X 的概率分布列，简称为分布列 (2)可以用表格来表示 X 的分布列，如下表 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 还可以用图形表示， 如
5、下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数 X 的分布列， 称为 X 的概率分布图 5离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi0，i1，2，n； (2) p1p2pn1. 6两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”，A表示“失败”，定义 X1，A发生，0，A发生.如果 P(A) p，则 P(A)1p，那么 X 的分布列如表所示 X 0 1 P 1p p 我们称 X 服从两点分布或 01 分布 03 03 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征 【知识点梳理】【知识点梳理】 1离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离
6、散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn ni1xipi为随机变量 X 的均值或数学期望， 数学期望简称为期望均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平 2两点分布的期望 一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)0 (1p)1 pp； 3离散型随机变量的均值的性质 设 X 的分布列为 P(Xxi) pi，i1，2，n. 一般地，下面的结论成立：E(aXb)aE(X)b 4离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方
7、差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 考虑 X 所有可能取值 xi与 E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2 ，(xnE(X)2 ，因为 X 取每个值的概率不尽相同， 所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均， 来度量随机变量 X 取值与其均值 E(X)的偏离程度，我们称 D(X)(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2(xnE(X)2pnni1 (xiE(X)2pi 为随机变量 X 的方差，有时也记为 Var(X)，并称 D（X）为随机变量 X 的标准差，记为 (X) 5几个常见的结
8、论 (1)D(aXb)a2D(X) (2)若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p) 04 04 二项分布与超几何分布二项分布与超几何分布 【知识点梳理】【知识点梳理】 1n 重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验 2n 重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做 n 次； (2)各次试验的结果相互独立 3二项分布 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0p0 为参数 显然对于任意 xR，f(x)0，它的图象在 x 轴的上方可以证明 x 轴和曲线
9、之间的区域的面积为 1我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线 若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 XN(，2)，特别地，当 0，1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布 2由 X 的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； (2)曲线在 x 处达到峰值1 2； (3)当| |x 无限增大时，曲线无限接近 x 轴 3正态分布的期望与方差 若 XN(，2)，则 E(X)，D(X)2 4正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(X)0.6827； (2)P(2X2)0.9545； (3)P(3X3)0.9973 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(，2)的随机变量 X 只取3，3中的值，这在统计学中称为 3 原则.