1、 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 2 2：常用逻辑用语常用逻辑用语 真题试练真题试练 1 （2022 北京 高考真题） 设 na是公差不为 0 的无穷等差数列， 则“ na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 （2022 浙江 高考真题）设 ，则“ sin = 1 ”是“ cos = 0 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （2021 全国甲卷） 等比数列 an 的公比为 q， 前 n 项和为 Sn， 设甲：
2、 q0， 乙: Sn 是递増数列， 则 （ ） A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 基础梳理基础梳理 1充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 p q p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示 (2)存在量词：短
3、语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示 3全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对 M 中任意一个 x，p(x)成立 存在 M 中的元素 x，p(x)成立 简记 xM，p(x) xM，p(x) 否定 xM，綈 p(x) xM，綈 p(x) 【常用结论】 1充分、必要条件与对应集合之间的关系 学科网（北京）股份有限公司 设 Ax|p(x)，Bx|q(x) 若 p 是 q 的充分条件，则 AB； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 AB； 若 p 是 q 的必要不充分条件，则 BA； 若 p 是 q 的充要条件，则 AB. 2含有一个
4、量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论” 3命题 p 与 p 的否定的真假性相反 考点一 充分、必要条件的判定 1 （2021 北京） 已知 () 是定义在上 ,0,1- 的函数， 那么“函数 () 在 ,0,1- 上单调递增”是“函数 () 在 ,0,1- 上的最大值为 (1) ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2 （2021 天津）已知 ，则“ 6 ”是“ 2 36 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不允分也不必要条件 【思维升华】 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进
5、行判断，适用于定义、定理判断性问题 (2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 考点二 充分、必要条件的应用 3 （2022 徐州模拟）关于椭圆 ： 22+22= 1( 0) ，有下面四个命题：甲：长轴长为 4；乙：短轴长为 2；丙：离心率为 12 ；丁：右准线的方程为 = 4 ；如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4 （2021 高三上 山东月考）若“ (0,),2 0”为假命题，则的取值范围为（ ） A(,2- B(,2- C(,2) D(,2) 【思维升华】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件
6、或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)要注意区间端点值的检验 考点三 全称量词与存在量词 学科网（北京）股份有限公司 5.已知命题 p：nN，n22n5，则綈 p 为( ) AnN，n22n5 BnN，n22n5 CnN，n2 ，：sin sin B：2= ，：，成等比数列 C是数列*+的前 n 项和，p：数列*+为等比数列，q：数列，2 ，3 2成等比数列 D ，：tan = 2，：cos2 = 35 2 （2022 成都模拟）命题“ ，+ 2 0”的否定是（ ） A0 ，0+ 2 0 B ，+ 2 0 C0 ，0+ 2 0 D0
7、 ，0+ 2 0 3 （2022 毕节模拟）设有下列四个命题： 1：“0 0，使得ln(0+ 1) 0”的否定是“ 0，都有ln( + 1) 0”； 2：若函数()是奇函数，则必有(0) = 0； 3：函数 = (2 )的图象可由 = ()的图象向右平移 2 个单位得到； 4：若幂函数 = 的图象与坐标轴没有公共点，则 ”是“ln ln”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 6 （2021 高三上 新都月考）下列命题中正确的是（ ） A函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，则 () 的图像关于直线 = 1 对称
8、B函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，则 () 是以 4 为周期的周期函数 C若函数 () = ln( + 22+ ) 为奇函数，则 = （ 为自然对数的底数） D若函数 () =131+ 为奇函数，则 =12 7 （2021 高三上 宜春月考）对于实数 , ，下列说法：若 ，则 2 2 ；若 ，则 | | ；若 0, 0 ，则 + ；若 0 ，且 |ln| = |ln| ，则 2 + ,22,+) ，其中正确的命题的个数 A1 B2 C3 D4 8 （2020 海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 sin 0)，若 p 是 q 的充分条件，则 r 的取值范围为 . 10
9、（2022 晋中模拟）命题 ： 0 ， 2 2 + 2 3 ，则 为 . 11 （2022 葫芦岛模拟）写出一个使命题“ (2,3)，2 3 0”成立的充分不必要条件 （用 m 的值或范围作答） 12 （2021 高三上 山东月考）已知命题 ： 12 2 ，命题 ： |2 | 2 ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 三、解答题三、解答题 13 （2021 高三上 太原期中）已知集合 = *|2110， 乙: Sn 是递増数列， 则 （ ） A甲是乙的充分条件但不是必要条件 B甲是乙的必要条件但不是充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答
10、案】B 【解析】解：当 a1=-1，q=2 时，Sn是递减数列，所以甲不是乙的充分条件； 当Sn是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn0，即 a1qn0，则 q0，所以甲是乙的必要条件； 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故答案为：B 基础梳理基础梳理 1充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在
11、逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示 3全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对 M 中任意一个 x，p(x)成立 存在 M 中的元素 x，p(x)成立 简记 xM，p(x) xM，p(x) 否定 xM，綈 p(x) xM，綈 p(x) 【常用结论】 1充分、必要条件与对应集合之间的关系 设 Ax|p(x)，Bx|q(x) 若 p 是 q 的充分条件，则 AB； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则 AB； 若 p 是 q 的必要不充分条件，则 BA； 学科网（北京）股份
12、有限公司 若 p 是 q 的充要条件，则 AB. 2含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论” 3命题 p 与 p 的否定的真假性相反 考点一 充分、必要条件的判定 1 （2021 北京） 已知 () 是定义在上 ,0,1- 的函数， 那么“函数 () 在 ,0,1- 上单调递增”是“函数 () 在 ,0,1- 上的最大值为 (1) ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：【充分性】若函数 f(x)在0, 1上单调递增，根据函数的单调性可知:函数 f(x)在0, 1的最大值为 f(1), 所以“函数 f(x)在
13、0, 1.上单调递增”为“函数 f(x)在0, 1的最大值为 f(1)“的充分条件； 【必要性】若函数 f(x)在0, 1的最大值为 f(1)，函数 f(x)在0, 1上可能先递减再递增，且最大值为 f(1)， 所以“函数 f(x)在0, 1.上单调递增”不是“函数 f(x)在0, 1的最大值为 f(1)“的必要条件， 所以“函数 f(x)在0, 1上单调递增”是“函数 f(x)在0, 1的最大值为 f(1)“的充分而不必要条件. 故答案为：A 2 （2021 天津）已知 ，则“ 6 ”是“ 2 36 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不允分也不必要条件 【答案】
14、A 【解析】解：当 a6 时，a236，所以充分性成立； 当 a236 时，a6，所以必要性不成立， 故“a6”是“a236”的充分不必要条件. 故答案为：A 【思维升华】 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断，适用于定义、定理判断性问题 (2)集合法：根据 p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题 考点二 充分、必要条件的应用 3 （2022 徐州模拟）关于椭圆 ： 22+22= 1( 0) ，有下面四个命题：甲：长轴长为 4；乙：短轴长为 2；丙：离心率为 12 ；丁：右准线的方程为 = 4 ；如果只有一个假命题，
15、则该命题是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A甲 B乙 C丙 D丁 【答案】B 【解析】依题意，甲： = 2 ；乙： = 1 ；丙： =12 ；丁： 2= 4 ；2= ，甲丙丁真命题，故乙为假命题 故答案为：B 4 （2021 高三上 山东月考）若“ (0,),2 0”为假命题，则的取值范围为（ ） A(,2- B(,2- C(,2) D(,2) 【答案】A 【解析】依题意知命题“ (0,),2 0”为假命题， 则“ (0,),2 0”为真命题， 所以2 ，则 2， 解得 2，所以的取值范围为(,2-. 故答案为：A 【思维升华】 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转
16、化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解 (2)要注意区间端点值的检验 考点三 全称量词与存在量词 5.已知命题 p：nN，n22n5，则綈 p 为( ) AnN，n22n5 BnN，n22n5 CnN，n22n5 DnN，n22n5 【答案】C 【解析】由存在量词命题的否定可知，綈 p 为nN，n2 ，：sin sin B：2= ，：，成等比数列 C是数列*+的前 n 项和，p：数列*+为等比数列，q：数列，2 ，3 2成等比数列 D ，：tan = 2，：cos2 = 35 【答案】D 【解析】对 A， 中由正弦定理sin=sin，且，sin，sin
17、均为正数可知，若 则 ，sin sin，反之也成立， p 是 q 的充要条件； 对 B，若，成等比数列则2= ，但当 = = = 0时2= ，且，不成等比数列，故 p 是 q的必要不充分条件； 对 C，数列= (1)时*+为等比数列时，但2，4 2，6 4不成等比数列，故 p 不是 q 的充分不必要条件； 对 D，当tan = 2时，cos2 =cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2= 35，但当cos2 = 35时，tan = 2也成立，故 p是 q 的充分不必要条件 故答案为：D 2 （2022 成都模拟）命题“ ，+ 2 0”的否定是（ ） A0 ，0+ 2 0 B
18、，+ 2 0 C0 ，0+ 2 0 D0 ，0+ 2 0”的否定是“0 ，0+ 2 0”. 故答案为：A. 3 （2022 毕节模拟）设有下列四个命题： 1：“0 0，使得ln(0+ 1) 0”的否定是“ 0，都有ln( + 1) 0”； 2：若函数()是奇函数，则必有(0) = 0； 3：函数 = (2 )的图象可由 = ()的图象向右平移 2 个单位得到； 4：若幂函数 = 的图象与坐标轴没有公共点，则 0 则下述命题中真命题是（ ） A1 4 B2 3 C1 3 D2 4 【答案】B 【解析】 命题“0 0， 使得ln(0+ 1) 0”的否定是“ ”是“ln ln”的（ ） A充分不必要
19、条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由ln ln，得 0， 取 = 2， = 3，此时满足 ，但是不满足ln ln， 综上，“ ”是“ln ln”的必要不充分条件. 故答案为：B. 6 （2021 高三上 新都月考）下列命题中正确的是（ ） A函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，则 () 的图像关于直线 = 1 对称 B函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，则 () 是以 4 为周期的周期函数 C若函数 () = ln( + 22+ ) 为奇函数，则 = （ 为自然对数的底数） D若函数 () =131+ 为奇函数，则 =12
20、【答案】D 【解析】对于 A 中，函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，即 (1 ) = (1 + ) ， 所以函数 () 的图像关于直线 (1,0) 中心对称，所以 A 不正确； 对于 B 中，函数 () 满足 (2 ) + () = 0 ，可得 () = (2 ) ， 学科网（北京）股份有限公司 得不到 () = ( 4) 的形式，所以函数 () 不是周期函数，所以 B 不正确； 对于 C 中，若函数 () = ln( + 22+ ) 为奇函数， 则 () + () = ln( + 22+ ) + ln( + 22 ) = ln = 0 ， 解得 = 1 ，即当 = 1 时，函数
21、 () 为奇函数，所以 C 不正确； 对于 D 中，若函数 () =131+ 为奇函数， 则 () = () ，即 131+ = 131 ，即 2 = 131131= 1 ， 所以 =12 ，所以 D 符合题意. 故答案为：D. 7 （2021 高三上 宜春月考）对于实数 , ，下列说法：若 ，则 2 2 ；若 ，则 | | ；若 0, 0 ，则 + ；若 0 ，且 |ln| = |ln| ，则 2 + ,22,+) ，其中正确的命题的个数 A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】对于实数 , ，若 ，则 m=0， 2= 2 ，不成立； 由 f（x）=x|x|为奇函数，且 x0 时，f（x
22、）递增，可得 f（x）在 R 上递增， 若 ab，则 a|a|b|b|成立； 若 ba0，m0，则 +=+(+)=()(+)0， 可得 + 成立； 若 ab0 且|lna|=|lnb|， 则 lnalnb， 即有 a1， 0b1， 可得 lna+lnb=0， 即 = 1，2 + = 2 +1 在（1，+）递增，可得 2 + （3，+ ） 成立所以不正确 故答案为：B 8 （2020 海南模拟）已知命题 ：“若 为锐角三角形，则 sin cos ”；命题 ：“ 0 ，使得 sin0+ cos0 3 成立”若命题 与命题 的真假相同，则实数 的取值范围是（ ） A(,22) (22,+) B(,3
23、) (3,+) C(22,22) D(3,3) 【答案】C 【解析】先判断命题 的真假,若 为锐角三角形,则 0 2 ,则 2 + ,由此 0 2 2 ,所以 sin(2 ) cos ,所以命题 为假命题, 因为命题 与命题 的真假相同,故命题 也为假命题,即命题“ 0 ,使得 sin0+ cos0 3 成立”是假命题,所以命题 :“ ,sin + cos 3 恒成立”为真命题, 因为 sin + cos 2+ 1 ,所以 2+ 1 3 ,解得 22 0)，若 p 是 q 的充分条件，则 r 的取值范围为 . 【答案】5，+) 【解析】如图，阴影部分为命题 p 表示的点的集合，命题 q 为以原
24、点为圆心的圆的内部， 要想 p 是 q 的充分条件，则圆要把阴影部分包含在内， 故当圆过点(3， 4)时，为 r 的最小值，此时 = 9 + 16 = 5， 所以 r 的取值范围为5，+). 故答案为：5，+) 10 （2022 晋中模拟）命题 ： 0 ， 2 2 + 2 3 ，则 为 . 【答案】0 0 ， 02 20+ 2 3 【解析】命题 ： 0 ， 2 2 + 2 3 . 则 为： 0 0 ， 02 20+ 2 3 故答案为： 0 0 ， 02 20+ 2 3 11 （2022 葫芦岛模拟）写出一个使命题“ (2,3)，2 3 0”成立的充分不必要条件 （用 m 的值或范围作答） 【答
25、案】m=1（答案不唯一） 【解析】当 (2,3)时，易知2 = ( 12)214 ,2,6-，又 (2,3)，2 3 0 (2,3), 32 (32)min, (2,3) 12， 显然 = 1 12, 12 = 1，故 = 1是命题“ (2,3)，2 3 0”成立的充分不必要条件. 故答案为：m=1（答案不唯一）. 学科网（北京）股份有限公司 12 （2021 高三上 山东月考）已知命题 ： 12 2 ，命题 ： |2 | 2 ，若命题 是命题 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 【答案】4a6 【解析】 12 2 移项整理可得 32 0 ，解得 *|2 3+ ， |2 | 2 得 *|
26、1 +2 3 ，从而得出 4a6。 故答案为：4a6。 三、解答题三、解答题 13 （2021 高三上 太原期中）已知集合 = *|211 1+ ， = *|log2(3 1) 1+ . （1）求 ； （2）判断“ ”是“ ”的什么条件？并说明理由.（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答） 【答案】 （1）解：解不等式： 211 1 211 1 0 1 0 ( 1) 0 ，解得 0 1 ，则 = *|0 1+ ， 解不等式： log2(3 1) 1 log2(3 1) log22 0 3 1 2 ，解得 13 1 ，则 = *|13 1+ ， 所以 = *|13 1+ . （2）解：由(1)知， = *|0 1+ ， = *|13 0 ，即 ( (2+ 2)( ) 0 ，所以 = (,2+ 2) 若 = 0 ，则 = (0,2) ， 是 的既不充分也不必要条件. （2）解：若 是 的充分不必要条件，则 ，即 12+ 2 2 + 1 解得： 1 .