1、 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 8 8: :二次函数与幂函数二次函数与幂函数 真题试练真题试练 1 （2021 全国乙卷 高考真题）设 a0，若 x=a 为函数 2f xa xaxb 的极大值点，则（ ） Aab Bab Caba2 Daba2 2 （2022 上海 高考真题）下列幂函数中，定义域为 R 的是（ ） A1yx B12yx C13yx D12yx 基础梳理基础梳理 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)
2、和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当 0) yax2bxc (a0) 学科网（北京）股份有限公司 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 4acb24a， ，4acb24a 对称轴 xb2a 顶点 坐标 b2a，4acb24a 奇偶性 当 b0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数 单调性 在，b2a上单调递减； 在b2a， 上单调递增 在，b2a上单调递增； 在b2a， 上单调递减 考点一 幂函数的图象与性质 1.（2021 高三上 桂林月考）函数 43yx 的图象是（ ） A B C D 2 （2020 高三上 云南月考）已知函数 12( )f xx ，则下列说法正确的是（ ） Af（
3、x）的图象恒在 x 轴上方 Bf（x）的图象经过原点 Cf（x）是 R 上的减函数 Df（x）是偶函数 【思维升华】 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 所分区域根据 0,01 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定 学科网（北京）股份有限公司 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 考点二 二次函数的解析式 3. 已知 f(x)为二次函数，且 f(x)x2f(x)1，则 f(x)等于( ) Ax22x1 Bx22x1 C2x22x1 D2x22x1 4 .已知二次函数 f(x)的图象经
4、过点(4,3)，且图象被 x 轴截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)的解析式为_ 【思维升华】 求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式 考点三 二次函数的图象与性质 5 .设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) 6.（2022 浙江学考）已知函数 2( )2f xxaxb 在区间（-，1是减函数，则实数 a 的取值范围是（） A1，+） B （-，1 C-1，+） D （-，-1 【思
5、维升华】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 一一、单选单选题题 1. （2020 临沂模拟） 已知函数 21212f xxx ， 1,4x ， 当 xa 时， f x 取得最大值 b，则函数 x bg xa 的大致图象为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A B C D 2 （2021 高三上 陕西月考）幂函数 1nf xmx 在 0, 上单调递减，则 mn 的值可能是（ ） A1 B2 C3 D4 3 （2021 高三上 吉林月考）“ 2m ”
6、是“函数 21f xxmx 在 ,1 上单调递减”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （2021 高三上 嫩江月考）若函数 ( )(3)af xmx 是幂函数，则函数 ( )log () 1ag xxm (其中 0a 且 1a )的图象过定点（ ） A3,1 B2,1 C3,0 D3,1 5（2020 高三上 河南期中） 已知幂函数 2157mf xmmx 为奇函数， 则实数 m 的值为 （ ） A4 或 3 B2 或 3 C3 D2 6 （2020 高三上 贵溪月考）若函数 224yxx 在区间 ,m 上的最小值为 3，则实数 m 的取值范围
7、是（ ） A （-，1 B1+， C2.+ D2 +， 7 （2020 高三上 福州期中）幂函数 ( )f x 满足 (4)3 (2)ff ,则 1( )2f 等于（ ） A13 B3 C13 D-3 8 （2018 广东模拟）设实数 a 为常数，则函数 2f xxxa xR 存在零点的充分必要条件是（ ） A1a B1a C14a D14a 9.设 1,0,12,1,2,3，则使函数ayx的定义域为 R 且为奇函数的所有a的值有（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （2020 浙江学考）设 a 为实数，若函数 f(x)=2x2x+a 有零点，则函数
8、 y=ff(x)零点的个数是（ ） A1 或 3 B2 或 3 C2 或 4 D3 或 4 二、填空题二、填空题 11 （2022 高三上 罗湖期末）已知函数 f x的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为 f x 12 （2021 高三上 河南月考）已知幂函数 22nf xnn x在0,上单调递减，则实数n的值为 . 13 （2022 高三上 宝山模拟）已知函数2( )23f xxax 在区间(,4)上是增函数，则实数a的取值范围是 . 14 （2022 高三上 浦东模拟）已知函数2( )23f xxxm ，若( )0f x对任意的1,2x恒成立，则实数m的取值
9、范围是 . 三、解答题三、解答题 15. 已知二次函数 f(x)ax2(b2)x3，且1，3 是函数 f(x)的零点 (1)求 f(x)的解析式，并解不等式 f(x)3； (2)若 g(x)f(sin x)，求函数 g(x)的值域 16(2022 烟台模拟)已知二次函数 f(x)ax2bxc，且满足 f(0)2，f(x1)f(x)2x1. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 xt，t2(tR)时，求函数 f(x)的最小值 g(t)(用 t 表示) 专题专题 8: 8:二次函数与幂函数二次函数与幂函数 真题试练真题试练 1 （2021 全国乙卷 高考真题）设 a0，若 x=a 为函数 2
10、f xa xaxb 的极大值点，则（ ） Aab Bab Caba2 Daba2 【答案】D 【解析】当 a0 时，若 a 为极大值点，则(如图 1)，必有 ab,aba2.故 B,C 项错； 学科网（北京）股份有限公司 当 aba2,故 A 错。 故答案为：D. 2 （2022 上海 高考真题）下列幂函数中，定义域为 R 的是（ ） A1yx B12yx C13yx D12yx 【答案】C 【解析】解：对于 A， 1yx的定义域为x|x0，故 A 错误； 对于 B， 12yx的定义域为x|x0，故 B 错误； 对于 C， 13yx的定义域为 R，故 C 正确； 对于 D， 12yx的定义域为
11、x|x0，故 D 错误. 故答案为：C 基础梳理基础梳理 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 为常数 (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当 0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； 当 0) yax2bxc (a0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 4acb24a， ，4acb24a 对称轴 xb2a 顶点 坐标 b2a，4acb24a 奇偶性 当 b0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数 单调性 在，b2a上单调递减； 在b2a， 上单调递增 在，b2a上单调
12、递增； 在b2a， 上单调递减 考点一 幂函数的图象与性质 1.（2021 高三上 桂林月考）函数 43yx 的图象是（ ） A 学科网（北京）股份有限公司 B C D 【答案】A 【解析】函数 4433( )yf xxx ，满足 ()( )fxf x ，即函数是偶函数，图象关于 y 轴对称，D不符合题意；该函数是幂函数 yx ， 413 ，故该函数是增函数，且增长得越来越快，A 符合题意，BC 不符合题意. 故答案为：A. 2 （2020 高三上 云南月考）已知函数 12( )f xx ，则下列说法正确的是（ ） Af（x）的图象恒在 x 轴上方 Bf（x）的图象经过原点 Cf（x）是 R
13、上的减函数 Df（x）是偶函数 【答案】A 【解析】化简得 112211( )f xxxx ，故 ( )f x 的定义域为 (0 + )， ， 学科网（北京）股份有限公司 对于 A， ( )0f x ，所以 ( )f x 的图象恒在 x 轴上方，A 符合题意； 对于 B，该函数不经过原点，B 不符合题意； 对于 C，函数 ( )f x 的定义域为 (0 + )， ，在定义域内是减函数，并不是在 R 上的减函数，C 不符合题意； 对于 D，函数定义域并不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，不是偶函数，D 不符合题意； 故答案为：A。 【思维升华】 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内
14、三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 所分区域根据 0,01 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定 (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 考点二 二次函数的解析式 3. 已知 f(x)为二次函数，且 f(x)x2f(x)1，则 f(x)等于( ) Ax22x1 Bx22x1 C2x22x1 D2x22x1 答案 B 解析 设 f(x)ax2bxc(a0)， 则 f(x)2axb， 由 f(x)x2f(x)1 可得 ax2bxcx22ax(b1)， 所以 a1，b2a，cb1， 解得 a1，b2，c1， 因此，f(x)x22x1.
15、4 .已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被 x 轴截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x)x24x3 解析 f(2x)f(2x)对任意 xR 恒成立， f(x)图象的对称轴为直线 x2， 又f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， f(x)0 的两根为 1 和 3， 设 f(x)的解析式为 f(x)a(x1)(x3)(a0)， 学科网（北京）股份有限公司 f(x)的图象过点(4,3)， 3a3，a1， 所求函数的解析式为 f(x)(x1)(x3)， 即 f(x)x24x3. 【思维升华】 求二次函数解析式的
16、三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式 考点三 二次函数的图象与性质 5 .设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) 答案 D 解析 因为 abc0， 二次函数 f(x)ax2bxc，那么可知， 在 A 中，a0，b0，c0，不符合题意； B 中，a0，c0，不符合题意； C 中，a0，c0，不符合题意，故选 D. 6.（2022 浙江学考）已知函数 2( )2f xxaxb 在区间（-，1是减函数，则实数 a 的取值范围是（） A1，+） B
17、（-，1 C-1，+） D （-，-1 【答案】A 【解析】 2( )2f xxaxb 对称轴为 xa ，开口向上，要想在区间（-，1是减函数，所以 1a， 。 故答案为：A 【思维升华】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题一、单选题 1. （2020 临沂模拟） 已知函数 21212f xxx ， 1,4x ， 当 xa 时， f x 取得最大值 b，则函数 x bg xa 的大致图象为（ ） A B C
18、D 【答案】C 【解析】 2211212122f xxxx ，故 4a ， 1b . 1114,144,1xx bxxxg xax ，对比图像知 C 满足条件. 故答案为：C. 2 （2021 高三上 陕西月考）幂函数 1nf xmx 在 0, 上单调递减，则 mn 的值可能是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】A 【解析】因为 1nf xmx 是幂函数，所以 1 1m ，即 2m ， 又因为在 0, 上单调递减，所以 0n ， 所以 2mn ，结合选项知，选 A, 故答案为：A. 3 （2021 高三上 吉林月考）“ 2m ”是“函数 21f xxmx 在 ,1 上单调递减”的（ ） A
19、充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 【解析】由题意，函数 21f xxmx 的图象开口向上，对称轴为 2mx ， 若函数 f x 在 ,1 上单调递减，可得 12m ，解得 2m ， 所以 2m 是函数 21f xxmx 在 ,1 上单调递减的充分不必要条件. 故答案为：A. 4 （2021 高三上 嫩江月考）若函数 ( )(3)af xmx 是幂函数，则函数 ( )log () 1ag xxm (其中 0a 且 1a )的图象过定点（ ） A3,1 B2,1 C3,0 D3,1 【答案】A 【解析】解：函数 ( )(3
20、)af xmx 是幂函数， m-3=1 m=4 log41ag xx 令 x+4=1，即 x=-3 时，y=1 则 log41ag xx的图象必过定点(-3,1) 故答案为：A 5（2020 高三上 河南期中） 已知幂函数 2157mf xmmx 为奇函数， 则实数 m 的值为 （ ） A4 或 3 B2 或 3 C3 D2 【答案】D 【解析】 f x 是幂函数， 2571mm ，解得 2m 或 3， 当 2m 时， 3( )f xx 为奇函数；当 3m 时， 4( )f xx 为偶函数， 2m . 故答案为：D. 6 （2020 高三上 贵溪月考）若函数 224yxx 在区间 ,m 上的最
21、小值为 3，则实数 m 的取值范围是（ ） A （-，1 B1+， C2.+ D2 +， 【答案】A 【解析】函数 224yxx 的对称轴为 1x ， 学科网（北京）股份有限公司 当 1m 时， min13f xf ，成立； 当 1m 时， 2min243f xf mmm ， 即 2210mm ，解得 1m ， 综上：实数 m 的取值范围是 1AEF ， 故答案为：A 7 （2020 高三上 福州期中）幂函数 ( )f x 满足 (4)3 (2)ff ,则 1( )2f 等于（ ） A13 B3 C13 D-3 【答案】A 【解析】设幂函数 ( )f xx ， 则 43 2 ， 解得 2log
22、 3 ， 所以 2log 3( )f xx 所以 2log 311( )223f ， 故答案为：A 8 （2018 广东模拟）设实数 a 为常数，则函数 2f xxxa xR 存在零点的充分必要条件是（ ） A1a B1a C14a D14a 【答案】C 【解析】若函数 2f xxxa xR 存在零点 1 40a 14a 函数 2f xxxa xR 存在零点的充分必要条件是 14a 故答案为:C 9.设 1,0,12,1,2,3，则使函数ayx的定义域为 R 且为奇函数的所有a的值有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 【解析】 【分析】由幂函
23、数的基本性质可知，定义域为R的a的值为：1,2,3，函数为奇函数的a的值为1,1,3，故满足条件的所有a的值为1,3两个. 10 （2020 浙江学考）设 a 为实数，若函数 f(x)=2x2x+a 有零点，则函数 y=ff(x)零点的个数是（ ） A1 或 3 B2 或 3 C2 或 4 D3 或 4 【答案】C 【解析】当 f(x)有一个零点时，1 80a ，18a ，则 f(x)=2(x-14)2, 即 x=14是 f(x)的零点。 再由 f(x)=14 ，得 x=1244， 即 ff(x)有 2 个零点。 当 f(x)有 2 个零点 x1，x2时，由0 得18a ，则方程 f(x)=x
24、， 即 2x22x+a=0 的根为 x=11 84a，其中11 84a在 a18时成立， 即 ff(x)有 4 个零点。 故答案为：C。 二、填空题二、填空题 11 （2022 高三上 罗湖期末）已知函数 f x的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为 f x 【答案】3x（答案不唯一） 【解析】设幂函数 f xx， 由题意，得 f xx为奇函数，且在定义域内单调递增， 所以21n（Nn）或mn（,m n是奇数，且互质） ， 所以满足上述条件的幂函数可以为 3f xx。 故答案为：3x（答案不唯一） 。 12 （2021 高三上 河南月考）已知幂函数 22nf x
25、nn x在0,上单调递减，则实数n的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 【答案】12 【解析】由题意，幂函数 22nf xnn x，可得221nn，解得1n 或12n ， 当12n 时，函数12yx在区间0,上单调递减，符合题意； 当1n 时，函数yx在区间0,上单调递增，不符合题意， 所以实数n的值为12. 故答案为：12. 13 （2022 高三上 宝山模拟）已知函数2( )23f xxax 在区间(,4)上是增函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】4,) 【解析】2( )23f xxax 对称轴方程为xa， ( )f x在区间(,4)上是增函数，所以4a. 故答案为:4,). 14
26、（2022 高三上 浦东模拟）已知函数2( )23f xxxm ，若( )0f x对任意的1,2x恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 6,) 【解析】对任意1,2x，( )0f x 恒成立， 等价于223xxm 在1,2上恒成立， 令2( )23g xxx， 则其在1,2上的最小值为(1)6g，所以6m，得6m。 故答案为： 6,)。 三、解答题三、解答题 15. 已知二次函数 f(x)ax2(b2)x3，且1，3 是函数 f(x)的零点 (1)求 f(x)的解析式，并解不等式 f(x)3； (2)若 g(x)f(sin x)，求函数 g(x)的值域 解 (1)由题意得 13b2a，1
27、 33a， 学科网（北京）股份有限公司 解得 a1，b4， f(x)x22x3， 当x22x33 时，即 x22x0， 解得 x2 或 x0， 不等式的解集为(，02，) (2)令 tsin x， 则 g(t)t22t3(t1)24，t1,1， 当 t1 时，g(t)有最小值 0， 当 t1 时，g(t)有最大值 4， 故 g(t)0,4 所以 g(x)的值域为0,4 16(2022 烟台模拟)已知二次函数 f(x)ax2bxc，且满足 f(0)2，f(x1)f(x)2x1. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 xt，t2(tR)时，求函数 f(x)的最小值 g(t)(用 t 表示)
28、解 (1)因为二次函数 f(x)ax2bxc 满足 f(0)2，f(x1)f(x)2x1， 所以 c2，ax12bx1cax2bxc2x1， 即 c2，2axba2x1， 所以 c2，2a2，ba1， 解得 c2，a1，b0，因此 f(x)x22. (2)因为 f(x)x22 是图象的对称轴为直线 x0，且开口向上的二次函数， 当 t0 时，f(x)x22 在 xt，t2上单调递增， 则 f(x)minf(t)t22； 当 t20，即 t2 时， f(x)x22 在 xt，t2上单调递减， 则 f(x)minf(t2)(t2)22t24t6； 当 t0t2， 即2t0 时，f(x)minf(0)2， 学科网（北京）股份有限公司 综上 g(t) t22，t0，2，2t0，t24t6，t2.