1、 第第 1 1 章直线与方程章直线与方程 一、单项选择题一、单项选择题( (本题共本题共 8 8 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分分.).) 1.过点(2,-1)且方向向量为(1,2)的直线的方程为( ) A.2x-y+5=0 B.2x+y-5=0 C.2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 2.两直线 x+y-1=0 与 2x+2y-3=0 之间的距离为( ) A. 3.若直线 2x+y+5=0 与直线 kx+2y=0 互相垂直,则它们的交点坐标为( ) A.(-1,-3) B.(-2,-1) C.(- - ) D.(-1,-2) 4.已知直线 l1:xsin
2、 -2y+5=0,l2: x+(2-sin )y+cos( - )=0,若 l1l2,则 sin =( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 5.一束光线从点 M(5,3)射出,经 x 轴反射后的光线经过点 N(7,3),则反射光线所在直线的方程为( ) A.y=3x-18 B.y=-3x-12 C.y=3x+12 D.y=-3x+18 6.数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线,已知ABC 的顶点A(4,0),B(0,2),且 AC=BC,则ABC 的欧拉线方程为(
3、) A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0 7.著名数学家华罗庚曾说过:“数无形时少直觉,形少数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如: - - 可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得 f(x)= 的最小值为( ) A.5 B. 8.设 mR,动直线 l1:x+my-1=0 过定点 A,动直线 l2:mx-y-2m+ =0 过定点 B,若直线 l1与 l2相交于点 P(异于点 A,B),则PAB 周长的最大值为( ) A. +2 二、 多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 2
4、0 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分) 9.已知直线 l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是( ) A.若 l1l2,则 m=-1 或 m=3 B.若 l1l2,则 m=-1 C.若 l1l2,则 m=- D.若 l1l2,则 m= 10.在同一平面直角坐标系中,表示直线 l1:y=ax+b 与 l2:y=bx-a 的图形可能正确的是( ) 11.下列说法正确的是( ) A.直线 x-y+2=0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B.过(x1,y1),(x2,y2)两点的直线的方
5、程为 - - - - C.点(1,1)关于直线 x-y+1=0 的对称点为(0,2) D.经过点 P(3,4),且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线共有 6 条 12.台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落 A 沿角 的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落 C的球袋中,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan 的值可以为( ) A. 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若动点 A、B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则线段 A
6、B 的中点 M 到原点 O 的距离的最小值为 . 14.如图,l1,l2为两条互相垂直的道路,有一个电线杆,其底部(简化为点P)到道路 l1的距离为4米,到道路 l2的距离为 3 米,现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道,使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小,则人行道的长度为 米. 15.数学选修课中,同学们进行节能住房设计,在分析气候和民俗后,设计出房屋的剖面图(如图所示).屋顶所在直线的方程分别是y= x+3和y=- x+5,为保证采光,竖直窗户的高度设计为1 m,那么点 A 的横坐标是 . 16.已知点 A(4,5),点 B 在 x 轴上,点 C 在直线 2
7、x-y+2=0 上,则ABC 周长的最小值为 ,此时点 C 的坐标为 .(本题第一空 3 分,第二空 2 分) 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知直线 l1:2x+y-2=0;l2:mx+4y+n=0(m,n 为常数). (1)若 l1l2,求 m 的值; (2)若 l1l2,且它们的距离为 ,求 m,n 的值. 18.(本小题满分 12 分)已知三角形的三个顶点分别为 A(2,3),B(0,-1),C(-2,1). (1)求直线 AC 的方程; (2)求点 B 关于直线 AC 的对称点 D 的坐标; (3)
8、若直线 l 过点 B 且与直线 AC 交于点 E,BE=3,求直线 l 的方程. 19. (本小题满分 12 分)直线过点 P( )且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,问是否存在直线满足AOB的周长为12且AOB的面积为6?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 12 分)一束光从光源 C(1,2)射出,经 x 轴反射后(反射点为 M),射到线段y=-x+b,x3,5上的 N 处. (1)若 M(3,0),b=7,求光从 C 出发,到达点 N 时所走过的路程; (2)若 b=8,求反射光线的斜率的取值范围; (3)若 b6,求光线从
9、C 出发,到达点 N 时所走过的最短路程 s. 21.(本小题满分 12 分)过点 P(3,2)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A、B. (1)若 P 为线段 AB 的中点,求 l 的方程; (2)若 PAPB 最小,求 l 的方程; (3)若AOB 的面积 S 最小,求 l 的方程. 22.(本小题满分12分)如图,直线l过点(3,4),且与x轴、 y轴的正半轴分别交于A、 B两点,AOB的面积为 24.点 P 为线段 AB 上一动点,且 PQOB,交 OA 于点 Q. (1)求直线 AB 斜率的大小; (2)若APQ 的面积 SAPQ与四边形 OQPB 的面积 S四边形
10、OQPB满足 SAPQ= S四边形 OQPB,请你确定 P 点在线段AB 上的位置,并求出线段 PQ 的长; (3)在y轴上是否存在点M,使MPQ为等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由. 答案全解全析答案全解全析 1.C 因为所求直线的方向向量为(1,2), 所以该直线的斜率 k=2, 又该直线过点(2,-1), 所以所求直线方程为 y-(-1)=2(x-2),即 2x-y-5=0. 2.B 两直线方程分别为 x+y-1=0 与 2x+2y-3=0,即 2x+2y-2=0 与 2x+2y-3=0, 故它们之间的距离为 - .故选 B. 3.B 直线 2x+y+5=0 与直
11、线 kx+2y=0 互相垂直,2k+1 2=0,解得 k=-1, 直线 kx+2y=0 即-x+2y=0, 由 - 得 - - 两直线的交点坐标为(-2,-1), 故选 B. 4.A 直线 l1:xsin -2y+5=0,l2: x+(2-sin )y+cos( - )=0,l1l2, sin (2-sin )=-2 ,且 5(2-sin )-2cos( - ),解得 sin =3(舍去)或 sin =-1, 故选 A. 5.A 设点 M(5,3)关于 x 轴的对称点为 M,则 M(5,-3),易知 M(5,-3)在反射光线的反向延长线上, 则 kMN= - - - =3, 所以反射光线所在直
12、线的方程为 y-3=3(x-7),即 y=3x-18. 故选 A. 6.D 线段 AB 的中点为 M(2,1),kAB=- , 线段 AB 的垂直平分线方程为 y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0,AC=BC,ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB的垂直平分线上,ABC 的欧拉线方程为 2x-y-3=0,故选 D. 7.B f(x)= , 它可以转化为平面上点 M(x,0)与点 A(-5,2),B(-3,-3)的距离之和, 则 f(x)的最小值为 AB= - ,故选 B. 8.D 直线 l1:x+my-1=0 过定点 A(1,0), 直线 l2:mx-y-2m+ =0,即 m(x-2
13、)=y- ,可得直线 l2过定点 B(2, ), 1m+(-1)m=0, l1与 l2始终垂直, 又 P 是直线 l1与 l2的交点, PAPB,PA2+PB2=AB2=4. 由不等式的相关知识可知 2(PA2+PB2)(PA+PB)2, 即 PA+PB , 当且仅当 PA=PB= 时,等号成立, PAB 周长的最大值为 2+2 . 故选 D. 9.AD 已知直线 l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0, 若 l1l2,则 13-m(m-2)=0,且 m1-13,解得 m=3 或 m=-1,故 A 正确,B 不正确. 若 l1l2,则 1(m-2)+m3=0,解得 m= ,故
14、 C 不正确,D 正确. 故选 AD. 10.AC 由题图 A 可得直线 l1的斜率 a0,在 y 轴上的截距 b0; 而 l2的斜率 b0,在 y 轴上的截距-a0,故 A 能成立. 由题图 B 可得直线 l1的斜率 a0,在 y 轴上的截距 b0; 而 l2的斜率 b0,矛盾,故 B 不能成立. 由题图 C 可得直线 l1的斜率 a0; 而 l2的斜率 b0,在 y 轴上的截距-a0,即 a0,故 C 能成立. 由题图 D 可得直线 l1的斜率 a0,在 y 轴上的截距 b0,矛盾,故 D 不能成立. 故选 AC. 11.AC 选项 A:易得直线 x-y+2=0 与两坐标轴的交点分别为(-
15、2,0),(0,2),所以直线 x-y+2=0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 |-2|2=2,故选项 A 正确. 选项 B:直线方程写成 - - - - 的条件为 y1y2且 x1x2,故选项 B 错误. 选项 C:设点(1,1)关于直线 x-y+1=0 的对称点为(m,n), 则 - - - - 解得, 故选项 C 正确. 选项 D:当直线在两坐标轴上的截距均为零时,其方程为 y= x;当两截距均不为零时,设直线方程为 =1, 因为直线过定点 P(3,4),所以 =1,即 b=4+ - , 又 a,b 均为非负整数,所以 a-3 必为 12 的正因数,有 1,2,3,4,6,12,共 6
16、种取值情况, 综上可知,满足要求的直线共有 7 条,故选项 D 错误. 12.AD 如图 1: 图 1 设 A 关于 DC 边所在直线的对称点为 E,C 关于 AB 边所在直线的对称点为 F, 则 tan = . 如图 2: 图 2 设点 A 关于 BC 边所在直线的对称点为 P,C 关于 AD 边所在直线的对称点为 M, 则 tan = . 故选 AD. 13.答案 3 解析 动点 A 在直线 l1上,动点 B 在直线 l2上,点 M 是线段 AB 的中点,点 M 在到两直线 l1与 l2距离相等的直线上, 直线 l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0, 点 M 所在直线的方程为 x+y
17、-6=0, 则 MO 的最小值为 - . 14.答案 10 解析 如图,建立平面直角坐标系, 设人行道所在直线的方程为 y-4=k(x-3)(k0),则 A( - ),B(0,4-3k), 所以ABO 的面积 S= | - | ( - - ),因为 k0,b0), 若AOB 的周长为 12,则 a+b+ =12.(3 分) 直线过点 P( ), =1. 由可得 5a2-32a+48=0, 解得, 或 (6 分) 则直线的方程为 =1 或 =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.(8 分) 若AOB 的面积为 6,则 ab=12, 由可得 a2-6a+8=0, 解得, 或,
18、(10 分) 则直线的方程为 =1 或 =1,即 3x+4y-12=0 或 3x+y-6=0.(11 分) 综上所述,存在满足题意的直线,其方程为 3x+4y-12=0.(12 分) 20.解析 (1)C(1,2)关于 x 轴的对称点 C(1,-2),直线 CM 的方程为 y=x-3, 由 - - 得 x=53,5,则此时 N(5,2), 所以光所走过的路程 CN=4 .(4 分) (2)对于线段 y=-x+8,x3,5,令其端点为 A(3,5),B(5,3), 则 kCA= ,所以反射光线斜率的取值范围是* +.(8 分) (3)当反射光线与直线 y=-x+b 垂直时,光所走过的路程最短,则
19、由 - - 得 x= . b6,x= . 当 x= * +,即 6b7 时,光所走过的最短路程为点 C到直线 y=-x+b 的距离,此时 s= - - ;(10 分) 当 x= (5,+),即 b7 时,光所走过的最短路程为线段 CB,其中 B(5,b-5), 此时 s= - - - , 综上,s= - (12 分) 21.解析 (1)设 A(a,0),B(0,b), P(3,2)为线段 AB 的中点, A(6,0),B(0,4), 直线 l 的方程为 =1,即 2x+3y-12=0.(4 分) (2)由题意可设所求直线 l 的方程为 y-2=k(x-3),k0), 直线过点 P(3,2),
20、=1,1= 2 ,ab24, 当且仅当 ,即 a=6 且 b=4 时取等号, 此时AOB 的面积 S 的最小值为 12,且直线 l 的方程为 =1, 即 2x+3y-12=0.(12 分) 22.解析 (1)显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y-4=k(x-3), 令 y=0,得 x=3- , 令 x=0,得 y=4-3k, 则点 A( - ),点 B(0,4-3k), 于是 SAOB= | - |4-3k|=24, 解得 k=- (二重根), 所以直线 AB 的斜率为- .(3 分) (2)由(1)知直线 l 的方程为 y-4=- (x-3),即 4x+3y-24=0, 且 B
21、(0,8), 因为 SAPQ= S四边形 OQPB,所以 SAPQ= SABO, 又 PQOB,所以APQ 与ABO 相似,于是有 ,即 ,故 PQ=4,此时点 P 为线段 AB 的中点, 所以当 SAPQ= S四边形 OQPB时,点 P 为线段 AB 的中点,且 PQ=4.(6 分) (3)假定在 y 轴上存在点 M,使MPQ 为等腰直角三角形,由(1)知直线 l 的方程为 4x+3y-24=0. 当PQM=90时,因为点 M 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,则点 M 必与原点 O 重合,如图 1 所示, 设 Q(t,0)(0t6),因为 MQ=PQ,所以 P(t,t),于是有
22、4t+3t-24=0,解得 t= ,满足题意,此时 M(0,0).(8 分) 当MPQ=90时,如图 2 所示,由 PQOB,MP=PQ 知四边形 OMPQ 为正方形, 设 Q(t1,0)(0t16),所以 P(t1,t1),M(0,t1),于是有 4t1+3t1-24=0,解得 t1= ,满足题意,此时 M( ).(10 分) 当PMQ=90时,如图 3 所示,由 PQOB,MQ=MP,得OQM=PQM=45,即 OM=OQ, 设 Q(t2,0)(0t26),则 M(0,t2),P( - ), 易得直线 QM 的斜率为-1,则直线 PM 的斜率必为 1,即 - - - =1,解得 t2= ,满足题意,此时 M( ). 综上,在 y 轴上存在点 M(0,0)或 M( )或 M( ),使MPQ 为等腰直角三角形. (12 分)