1、2021-2022 学年九年级上开学模拟考试数学学年九年级上开学模拟考试数学试卷试卷 一选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） 111 的相反数是（ ） A11 B C D11 2化简（3a2）2的结果是（ ） A9a2 B6a2 C9a4 D3a4 3若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C球 D正方体 42022 年 3 月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：2021 年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到 1140000 亿元，增长 8.1%将 1140000 用科学记数法表示
2、应为（ ） A0.114107 B1.14107 C1.14106 D11.4105 5若方程（x3）217 的两根为 a 和 b，且 ab，则下列结论中正确的是（ ） Aa 与 b 相等 Ba 与 b 互为相反数 Ca3 是 17 的算术平方根 Db3 是 17 的算术平方根 6朗昊同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 7在平面直角坐标系中，点 P（2，2）向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位后，得到点 Q，则点 Q 的坐标是（ ） A（4，0）
3、 B（0，4） C（4，0） D（0，4） 8已知一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ，下列结论中正确的是（ ） Aqb2m Bqb2m Cqb2n Dq+b2m 9定义新运算：a*ba（mb） 若方程 x2mx+40 有两个相等正实数根，且 b*ba*a（其中 ab） ，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 10在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx6 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，直线 ykx+2k 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D，其中 k0，M，N 为线段 AB 上任意两点，P，Q 为线段 CD 上任意两点，记点 M，N，P，Q 组成的
4、四边形为图形 G下列四个结论中，不正确结论的序号是（ ） A对于任意的 k，都存在无数个图形 G 是平行四边形 B对于任意的 k，都存在无数个图形 G 是矩形 C存在唯一的 k，使得此时有一个图形 G 是菱形 D至少存在一个 k，使得此时有一个图形 G 是正方形 二填空题（共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 11分解因式：6x2y3xy 12用一组 a、b、c 的值说明命题 “若 ab，则 acbc” 错误的， 这组值可以是 a ，b ，c 13甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样 10 人，甲采样 160 人所用时间与乙采样140 人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别
5、采样多少人？设甲每小时采样 x 人，则可列分式方程为 14因式分解：2x24x+2 15如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别是 AB，AC 边上的中点，连接 CD，DE如果 AB5m，BC3m，那么 CD+DE 的长是 16如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，且 AD3BD，连接 CD 并取 CD 的中点 E，连接 BE，若ACDBED45，且 CD6，则 AB 的长为 第 15 题 第 16 题 三、解答题（共 9 题，共 86 分） 17计算题（共 2 题，每题 4 分，共 8 分） （1）. +|1|20220 （2）.()-1|2 5| 20 18.（8 分）
6、如图，点 B，F，C，E 在同一条直线上，BFEC，ABDE，BE 求证：AD 19.（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 20 （8 分）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为 10 万元，销售价为 10.5 万元；乙特产每吨成本价为 1 万元，销售价为 1.2 万元由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100 吨，且甲特产的销售量都不超过 20 吨 （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种
7、特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润 21 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D （1）求BDF 的大小； （2）求 CG 的长 22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，求出 m 的取值范围 2
8、3 （10 分）受第 24 届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道 A 端以平均（x+2）米/秒的速度滑到 B 端，用了 24 秒；第二次从滑雪道 A 端以平均（x+3）米/秒的速度滑到 B 端，用了 20 秒 （1）求 x 的值； （2） 设小勇从滑雪道 A 端滑到 B 端的平均速度为 v 米/秒， 所用时间为 t 秒， 请用含 t 的代数式表示 v （不要求写出 t 的取值范围） 24 （12 分）在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AP，延长 BC 至点 Q，使得 CQCP，
9、过点 Q 作 QHAP 于点 H，交 AB 于点 M （1）若PAC，求AMQ 的大小（用含 的式子表示） （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 25 （14 分）如图，RtABC 中，ABC90，ABBC，点 E 是边 BC 上的一个动点，点 D 是射线 AC上的一个动点；连接 DE，以 DE 为斜边，在 DE 右侧作等腰 RtDFE，再过点 D 作 DHBC，交射线 BC于点 H （1）如图 1，若点 F 恰好落在线段 AE 上，且DEH60，CD3，求出 DF 的长； （2）如图 2，若点 D 在 AC 延长线上，此时，过 F 作 FGBC 于点 G，FG 与 A
10、C 边的交点记为 M，当AEDE 时，求证：FM+MDAB 参考答案及试题解析参考答案及试题解析 一选择题（共 10 题） 111 的相反数是（ ） A11 B C D11 【考点】相反数 【分析】应用相反数的定义进行求解即可得出答案 【解答】解：（11）11 故选：D 2化简（3a2）2的结果是（ ） A9a2 B6a2 C9a4 D3a4 【考点】幂的乘方与积的乘方 【分析】应用积的乘方运算法则进行求解即可得出答案 【解答】解：（3a2）29a4 故选：C 3若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ） A圆柱 B圆锥 C球 D正方体 【考点】由三视图判断几何体
11、 【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状 【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球 故选：C 42022 年 3 月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：2021 年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到 1140000 亿元，增长 8.1%将 1140000 用科学记数法表示应为（ ） A0.114107 B1.14107 C1.14106 D11.4105 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，
12、n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：11400001.14106 故选：C 5若方程（x3）217 的两根为 a 和 b，且 ab，则下列结论中正确的是（ ） Aa 与 b 相等 Ba 与 b 互为相反数 Ca3 是 17 的算术平方根 Db3 是 17 的算术平方根 【考点】解一元二次方程直接开平方法；相反数；算术平方根 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据 ab 确定 a、b 的值，再判断各选项的说法是否正确 【解答】解：先解方程（x3）217， 直接开平方得，x3， 解得，x1，x2， 且 ab
13、，故 a，b， A、ab，A 选项错误； B、a 与 b 不是互为相反数，B 选项错误； C、a3，是 17 的算术平方根，C 选项正确； D、b3，不是 17 的算术平方根，D 选项错误 故选：C 6朗昊同学对数据 26，36，46，5，52 进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A平均数 B中位数 C方差 D标准差 【考点】标准差；算术平均数；中位数；方差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第 4 个数有关，而这组数据的中位数为 46，与第 4个数无关
14、故选：B 7在平面直角坐标系中，点 P（2，2）向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位后，得到点 Q，则点 Q 的坐标是（ ） A（4，0） B（0，4） C（4，0） D（0，4） 【考点】坐标与图形变化平移 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案 【解答】解：将点 P（2，2）向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位后 Q， 则点 Q 的坐标为（2+2，22） ，即（4，0） 故选：C 8已知一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ，下列结论中正确的是（ ） Aqb2m Bqb2m Cqb2n Dq+b2m 【考点】一次函数图象上点的
15、坐标特征；不等式的性质 【分析】 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出 q2p+b， 即 qb2p， 结合 pm 可得出 qb2m 【解答】解：一次函数 y2x+b（mxn）的图象经过点 P（p，q） ， q2p+b， qb2p 又pm， qb2m 故选：A 9定义新运算：a*ba（mb） 若方程 x2mx+40 有两个相等正实数根，且 b*ba*a（其中 ab） ，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【考点】根的判别式；实数的运算 【分析】根据判别式的意义得到（m）2440，解得 m14，m24，再利用方程有两个相等的正实数解，所以 m4，则 a*ba（4b） 利用新定义得到
16、b（4b）a（4a） ，然后整理后利用因式分解得到（ab） （a+b4）0，从而得到 a+b 的值 【解答】解：方程 x2mx+40 有两个相等实数根， （m）2440， 解得 m14，m24， 当 m4 时方程有两个相等的负实数解， m4， a*ba（4b）， b*ba*a， b（4b）a（4a） 整理得 a2b24a+4b0， （ab） （a+b4）0， 而 ab， a+b40， 即 a+b4 故选：B 10在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx6 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，直线 ykx+2k 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D，其中 k0，M，N 为线段 AB 上任意两
17、点，P，Q 为线段 CD 上任意两点，记点 M，N，P，Q 组成的四边形为图形 G下列四个结论中，不正确结论的序号是（ ） A对于任意的 k，都存在无数个图形 G 是平行四边形 B对于任意的 k，都存在无数个图形 G 是矩形 C存在唯一的 k，使得此时有一个图形 G 是菱形 D至少存在一个 k，使得此时有一个图形 G 是正方形 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；一次函数的性质 【分析】根据两个一次函数的比例系数都是 k，得两个一次函数图象平行， A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断； B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩
18、形判断； C、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断； D、根据一组邻边相等的菱形是正方形判断 【解答】解：ykx6 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，ykx+2k 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D，k0， ABCD， A、只要满足 MNPQ，则图形 G 是平行四边形，A 不符合题意； B、只要满足 MP 垂直于直线 ykx6 或直线 ykx+2k，即可得图形 G 是矩形，B 不符合题意； C、当 k3 时，四边形四边形 ABCD 是菱形， 存在唯一的 k，使得此时有一个图形 G 是菱形 C 不符合题意； D、不存在一个 k，使得此时有一个图形 G 是正方形，D 符合题意；故选：D 二
19、填空题（共 6 题） 11分解因式：6x2y3xy 3xy（2x1） 【考点】因式分解提公因式法 【分析】直接提取公因式 3xy，进而得出答案 【解答】解：6x2y3xy3x（2xyy） 12用一组 a、b、c 的值说明命题“若 ab，则 acbc”错误的，这组值可以是 a 1 ，b 1 ，c 0 （答案不唯一） 【考点】命题与定理 【分析】根据题意选择 a、b、c 的值即可 【解答】解：当 a1，b1，c0 时，11，而 100（1） ， 命题“若 ab，则 acbc”是错误的， 13甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样 10 人，甲采样 160 人所用时间与乙采样140
20、人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样 x 人，则可列分式方程为 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程 【解答】解：设甲每小时采样 x 人，则乙每小时采样（x10）人，根据题意得： 14因式分解：2x24x+2 2（x1）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】先提取 2，然后用完全平方公式分解即可 【解答】解：2x24x+22（x22x+1）2（x1）2 15如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别是 AB，AC 边上的中点，连接 CD，DE如果 AB5m，BC3m，那么 CD+DE 的长是 4 m
21、 【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【分析】根据三角形中位线定理可得 DE 的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD 的长，进一步即可求出 CD+DE 的长 【解答】解：点 D，E 分别是 AB，AC 边上的中点， DE 是ABC 的中位线，DEBC， BC3m，DE1.5m， ACB90，CDAB， AB5m，CD2.5m，CD+DE2.5+1.54（m）， 16如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，且 AD3BD，连接 CD 并取 CD 的中点 E，连接 BE，若ACDBED45，且 CD6，则 AB 的长为 4 【考点】相似三角形的
22、判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理 【分析】取 AD 中点 F，连接 EF，过点 D 作 DGEF 于 G，DHBE 于 H，设 BDa，由三角形中位线定理可得 DFa， EFAC， DE3， 通过证明四边形 DGEH 是正方形， 可得 DEDG3，DHEF，通过证明BDHDFG，可得，可求 BH 的长，在 RtDHB 中，利用勾股定理可求 BD 的长，即可求解 【解答】解：如图，取 AD 中点 F，连接 EF，过点 D 作 DGEF 于 G，DHBE 于 H， 设 BDa， AD3BD3a，AB4a， 点 E 为 CD 中点，点 F 为 AD 中点，CD6， DFa，EFAC，DE3，
23、FEDACD45， BED45，FEDBED，FEB90， DGEF，DHBE，四边形 EHDG 是矩形，DGDH，四边形 DGEH 是正方形， DEDG3，DHEF， DGDH3， DHEF， BDHDFG， BDHDFG， ， ，BH2， BD，AB4， 三解答题（共 9 题） 17计算： （1）+|1|20220 （2）.()-1|25|20 【考点】 （1）零指数幂；绝对值；算术平方根；估算无理数的大小；实数的运算 （2）实数的运算；负整数指数幂 【分析】 （1）应用零指数幂，绝对值，算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案 （2）直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的
24、性质，进而得出答案 【解答】解：（1）原式2+11 （2）原式252255 18如图，点 B，F，C，E 在同一条直线上，BFEC，ABDE，BE求证：AD 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】利用 SAS 证明ABCDEF，根据全等三角形的性质即可得解 【解答】证明：BFEC，BF+CFEC+CF，即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS），AD 19已知关于 x 的一元二次方程 x24mx+3m20 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若 m0，且该方程的两个实数根的差为 2，求 m 的值 【考点】解一元二次方程因式分解法；根的判别式 【分析】 （1）根
25、据方程的系数，结合根的判别式可得出4m2，利用偶次方的非负性可得出 4m20，即0，再利用“当0 时，方程有两个实数根”即可证出结论； （2）方法一：利用因式分解法求出 x1m，x23m由题意得出 m 的方程，解方程则可得出答案 方法二：利用根与系数的关系可求出答案 【解答】 （1）证明：a1，b4m，c3m2， b24ac（4m）2413m24m2 无论 m 取何值时，4m20，即0，原方程总有两个实数根 （2）解：方法一：x24mx+3m20，即（xm） （x3m）0，x1m，x23m m0，且该方程的两个实数根的差为 2，3mm2，m1 方法二：设方程的两根为 x1，x2，则 x1+x2
26、4m，x1x23m2， x1x22， （x1x2）24，（x1+x2）24x1x24，（4m）243m24，m1， 又 m0，m1 20某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为 10 万元，销售价为 10.5 万元；乙特产每吨成本价为 1 万元，销售价为 1.2 万元由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是 100吨，且甲特产的销售量都不超过 20 吨 （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为 235 万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润 【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用 【分析】
27、（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨； （2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值 【解答】解： （1）设销售甲种特产 x 吨，则销售乙种特产（100 x）吨， 10 x+（100 x）1235， 解得，x15，100 x85， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为 15 吨，85 吨； （2）设利润为 w 万元，销售甲种特产 a 吨， w（10.510）a+（1.21）（100a）0.3a+20， 0a20，当 a20 时，w 取得最大值，此时 w26
28、， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是 26 万元 21如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8线段 AD 由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转90得到，EFG 由ABC 沿 CB 方向平移得到，且直线 EF 过点 D （1）求BDF 的大小； （2）求 CG 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质 【分析】 （1）由旋转的性质得，ADAB10，ABD45，再由平移的性质即可得出结论； （2） 方法 1、 先判断出ADEACB， 进而得出ADEACB， 得出比例式求出 AE， 即可得出结论 方法 2、先判断出四边形 ABFE 是平行四边形，
29、再利用 SABFEAEACABAD，求出 AE12.5，即可得出勓 【解答】解： （1）线段 AD 是由线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90得到， DAB90，ADAB10， ABD45， EFG 是ABC 沿 CB 方向平移得到， ABEF， BDFABD45； （2）方法 1、由平移的性质得，AECG，ABEF， DEADFCABC，ADE+DAB180， DAB90， ADE90， ACB90， ADEACB， ADEACB， ， AC8，ABAD10， AE12.5， 由平移的性质得，CGAE12.5； 方法 2、由平移的性质得，AECG，ABEF， 四边形 ABFE 是平行四
30、边形， SABFEAEACABAD， 由旋转知，ADAB10， AC8， AE81010， AE12.5， 由平移的性质得，CGAE12.5 【点评】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出ADEACB 是解本题的关键 22在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到 （1）求这个一次函数的解析式； （2）当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 ykx+b 的值，求出 m的取值范围 【考点】一次函数图象与几何变换；一
31、次函数图象与系数的关系 【分析】 （1）根据平移的规律即可求得 （2）根据点（2，2）结合图象即可求得 【解答】解： （1）函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到 yx1， 一次函数 ykx+b（k0）的图象由函数 yx 的图象向下平移 1 个单位长度得到， 这个一次函数的表达式为 yx1 （2）把 x2 代入 yx1，求得 y2， 函数 ymx（m0）与一次函数 yx1 的交点为（2，2） ， 把点（2，2）代入 ymx，求得 m1， 当 x2 时，对于 x 的每一个值，函数 ymx（m0）的值大于一次函数 yx1 的值，m1 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数
32、的关系，数形结合是解题的关键 23受第 24 届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道 A 端以平均（x+2）米/秒的速度滑到 B 端，用了 24 秒；第二次从滑雪道 A 端以平均（x+3）米/秒的速度滑到 B 端，用了 20 秒 （1）求 x 的值； （2） 设小勇从滑雪道 A 端滑到 B 端的平均速度为 v 米/秒， 所用时间为 t 秒， 请用含 t 的代数式表示 v （不要求写出 t 的取值范围） 【考点】一元一次方程的应用；列代数式 【分析】 （1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）求出从滑雪道 A 端滑到
33、 B 端的路程，即可解决问题 【解答】解： （1）由题意得：24（x+2）20（x+3） ， 解得：x3，答：x 的值为 3； （2）从滑雪道 A 端滑到 B 端的路程为：24（3+2）120（米） ， 小勇从滑雪道 A 端滑到 B 端的平均速度为 v 米/秒，所用时间为 t 秒， v 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 24在等腰直角ABC 中，ACB90，P 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合） ，连接 AP，延长 BC至点 Q，使得 CQCP，过点 Q 作 QHAP 于点 H，交 AB 于点 M （1）若PAC，求AMQ 的大小
34、（用含 的式子表示） （2）用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系，并证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 （1）由等腰直角三角形的性质得出BACB45，PAB45，由直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接 AQ，作 MEQB，由 AAS 证明APCQME，得出 PCME，MEB 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论 【解答】解：（1）AMQ45+；理由如下： PAC，ACB 是等腰直角三角形， BACB45，PAB45， QHAP， AHM90， AMQ180AHMPAB45+； （2）PQMB；理由如下： 连接 AQ，作 MEQB，如图
35、所示： ACQP，CQCP， QACPAC， QAM45+AMQ， APAQQM， 在APC 和QME 中， ， APCQME（AAS）， PCME， MEB 是等腰直角三角形， PQMB， PQMB 方法二：也可以延长 AC 到 D，使得 CDCQ 则易证ADPQBM BMPDCDQCPQ， 即 PQMB 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键 25如图，RtABC 中，ABC90，ABBC，点 E 是边 BC 上的一个动点，点 D 是射线 AC 上的一个动点； 连接 DE， 以 DE
36、 为斜边， 在 DE 右侧作等腰 RtDFE， 再过点 D 作 DHBC， 交射线 BC 于点 H （1）如图 1，若点 F 恰好落在线段 AE 上，且DEH60，CD3，求出 DF 的长； （2）如图 2，若点 D 在 AC 延长线上，此时，过 F 作 FGBC 于点 G，FG 与 AC 边的交点记为 M，当AEDE 时，求证：FM+MDAB； 【考点】四边形综合题 【分析】 （1）解直角三角形求出 DE，再根据等腰直角三角形的性质求出 DF 即可 （2）如图 2，过点 D 作 DNFM 交其延长线于点 N，证明 RtABERtDHE（AAS） ，RtDNFRtFGE（HL） ，利用全等三角
37、形的性质解决问题即可 【解答】 （1）解：如图 1， DHBC，DEH60，CD3，DHEDHC90， DEH+DHE+HDE180，HDE30， ABBC，ABC90，BCABAC45，HCDHDC45， CHD 是等腰直角三角形，CHDH， 在 RtCDH 中，CD3，HCD45，DHC90， CHDHCDsinHCD33， HDE30，cosHDEcos30，DEDH2， DFE 是等腰直角三角形，DFE90， DFEFDE2 （2）证明：如图 2，过点 D 作 DNFM 交其延长线于点 N， DHBC，DHEABE90，AEDE，EDAEAD， ACBDCECDH45，EDH45+ED
38、A，AEB45+EAD， EDHAEB，RtABERtDHE（AAS）， ABEH，BEDHOH，DMGGCMDCH45，DNNF，DNF90， FGBC，FGEDNF90， DFE 是等腰直角三角形，DFFE，RtDNFRtFGE（HL）， cosNDMcos45，DNDM， ABHEHG+GEDN+NF2DN+MF，ABDM+FM 【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形， 垂线段最短等知识， 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题， 学会利用参数解决问题，第三个问题的突破点是证明 tanFOH，推出点 F 的运动轨迹是射线 OF