1、 第第7章章 锐角三角函数锐角三角函数 一选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1.如图，在 RtABC 中，C90 ，AB6，AC2，CDAB 于 D，设ACD，则 cos 的值为（ ） A2 23 B22 C2 2 D13 2.当 A 为锐角，且12cosA32时，A 的范围是（ ） A0 A30 B30 A60 C60 A90 D30 A45 3.如图，已知直线 l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都 是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sin（ ） A12 B55 C52 D2 55 4.下列式子错误的是（ ） Acos40 =sin50 Btan15
2、tan75=1 Csin225 +cos225 =1 Dsin60 =2sin30 5.如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tan= ，则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是（ ） A144cm B180cm C240cm D360cm 6.如图，网格中小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 在正方形的顶点处，则 cosACB 的值为( ) A2 3417 B22 C8517 D7 8585 二填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7.在 RtABC 中，C=90 ，sinA=12，那么 cos
3、A=_ 8.用不等号“”或“”连接：sin50 _cos50 9.在锐角ABC 中，若|cos2A14|+（tanB3）20，则C 的正切值是_ 10.如下图：直角三角形纸片的两直角边长分别为 4，8，现将ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则tanCBE的值是_ 11.如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 _ 12.如图，直线MN与O相切于点M，MEEF且/EF MN，则cos E _ 13.如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高 ADBE15cm，深 DE30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无
4、障碍通道，设台阶起点为 A，斜坡的起点为 C，若斜坡 CB 的坡度 i1：9，则 AC 的长为_cm 14.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C=90 ，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tanDBA=15，则 AD 的长是_. 15.如图，要在宽 AB 为 20 米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 与灯柱 BC 成 120 角，灯罩的轴线DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线（即 O 为 AB 的中点）时照明效果最佳，若CD=3米，则路灯的灯柱 BC 高度应该设计为_米（计算结果保留根号） 16.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片
5、ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，则 67.5 角的正切值是 三解答题（共 68 分） 17.（8 分）(1)3tan30 cos245 2sin60 ； (2)sin601tan602tan453cos30 2sin45 . 18.（10 分）在ABC 中，A120 ，AB12，AC6.求 tanB 的值 19.（10 分）在ABC 中，B、C 均为锐角，其对边分别为 b、c，求证：sinsinbcBC 20.（10 分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸
6、EFMN，小聪在河岸 MN上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向，然后沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30 方向，此时，其他同学测得 CD=10 米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 21.（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCD 是钝角，AB=AD，BD 平分ABC，若 CD=3，BD=26，sinDBC=33，求对角线 AC 的长. 22. （10 分） 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示， 箱体长 AB=50cm， 拉杆最大伸长距离 BC=35cm， （点 A、B、C 在同一条直线上） ，在箱体的底端装有一圆形滚轮A，
7、A 与水平地面切于点 D，AEDN，某一时刻，点 B 距离水平面 38cm，点 C 距离水平面 59cm （1）求圆形滚轮的半径 AD 的长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点 C 距离水平地面 73.5cm，求此时拉杆箱与水平面 AE 所成角CAE 的大小（精确到 1 ，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19） 23.（10 分）如图，已知ABC 中，ACB90 ，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与 CD 相交于点 E （1）如果 BC6，AC8，且 P 为 A
8、C 的中点，求线段 BE 的长； （2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值； （3）联结 PD，如果 BP22CD2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长 5 第第8章章 锐角三角函数（单元培优卷）锐角三角函数（单元培优卷） 一选择题（每小题 2 分，共 12 分） 1.如图，在 RtABC 中，C90 ，AB6，AC2，CDAB 于 D，设ACD，则 cos 的值为（ ） A2 23 B22 C2 2 D13 【答案】A 【解析】解：CDAB，A +ACD90 ， ACB90 ，A +B90 ，BACD， 在 RtABC 中， 2222624 2BCABAC
9、，cosB4 22 2.63BCABcos2 23. 故选 A 2.当 A 为锐角，且12cosA32时，A 的范围是（ ） A0 A30 B30 A60 C60 A90 D30 A45 【答案】B 【解析】cos60 =12， cos30 =32， 30 A60 故选 B 3.如图，已知直线 l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都 是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sin（ ） A12 B55 C52 D2 55 【答案】B 【解析】过 D 作 EF1l,交1l于 E,交4l 于 F， 6 11234,EFl llll EF 和234, ,l l l的夹角都
10、是90， 即 EF 与234, ,l l l都垂直，DE=1，DF=2. 四边形 ABCD 是正方形，90ADCADCD， 90ADECDF， 又90ADE， =CDF， ,90ADCDAEDDFC， ADEDCF， DE=CF=1，在RtCDF中,225CDCFDF， 15sinsin.55CFCDFCD 故选 B. 4.下列式子错误的是（ ） Acos40 =sin50 Btan15tan75=1 Csin225 +cos225 =1 Dsin60 =2sin30 【答案】D 【解析】选项 A，sin40 =sin（90 50 ）=cos50 ，式子正确；选项 Btan15tan75=ta
11、n15cot15=1，式子正确；选项 C，sin225 +cos225 =1 正确；选项 D，sin60 =32，sin30 =12，则 sin60 =2sin30 错误故答案选 D 5.如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tan= ，则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是（ ） A144cm B180cm C240cm D360cm 【答案】B 【解析】解：如图： 7 根据题意可知： ：AFOABD，OF= EF=30cm， ，CD=72cm， tan= ，AD=180cm 故选 B 6.如图，
12、网格中小正方形的边长都为 1，点 A，B，C 在正方形的顶点处，则 cosACB 的值为( ) A2 3417 B22 C8517 D7 8585 【答案】D 【解析】如图，作 DEBC 于点 E. 由勾股定理得，22215BC ,22117222CD, 1122BC DEBD CF,3522DE , 3 55DE ,22173 57 52510CE, 7 57 8510cos85172CEACBCD. 故选 D. 8 二填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7.在 RtABC 中，C=90 ，sinA=12，那么 cosA=_ 【答案】32 【解析】RtABC 中，C=90 ，sinA=a
13、c， sinA=12，c=2a，b=223caa ，cosA=32bc， 故答案为32. 8.用不等号“”或“”连接：sin50 _cos50 【答案】 【解析】cos50 =sin40 ，sin50 sin40 ， sin50 cos50 故答案为 9.在锐角ABC 中，若|cos2A14|+（tanB3）20，则C 的正切值是_ 【答案】3 【解析】解：由题意得，cos2A-14=0，tanB-3=0， 则 cosA=12，tanB=3， 解得，A=60 ，B=60 ， 则C=180 -60 -60 =60 ， tan60 =3， 则C 的正切值是3， 故答案为3 10.如下图：直角三角形
14、纸片的两直角边长分别为 4，8，现将ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则tanCBE的值是_ 9 【答案】34 【解析】解：根据题意，BE=AE设 BE=x，则 CE=8-x 在 RtBCE 中，x2=（8-x）2+42，解得 x=5，CE=8-5=3， tanCBE=34CECB 故答案为34 11.如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 _ 【答案】1sin 【解析】AC=1sin，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：111sinsin 故答案为1sin 12.如图，直线MN与O相切于点M，M
15、EEF且/EF MN，则cos E _ 【答案】12 【解析】连接OM、MF，OM的反向延长线交EF与C，如解图，直线MN与O相切于点M， OMMN，/EFMN，MCEF，CECF，MEMF，而MEEF，MEEFMF，MEF为等边三角形，60E，1coscos602E，故答案为12 10 13.如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高 ADBE15cm，深 DE30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为 A，斜坡的起点为 C，若斜坡 CB 的坡度 i1：9，则 AC 的长为_cm 【答案】240 【解析】延长 BE 交 AC 延长线于 F 点，则 BF=30cm， 坡度1:9
16、i ， FC=930=270cm, AC=FC-DE=270-30=240cm. 14.如图，在等腰直角三角形 ABC 中，C=90 ，AC=6，D 是 AC 上一点，若 tanDBA=15，则 AD 的长是_. 【答案】2 【解析】作 DEAB 于 E，如图， 11 C=90 ，AC=BC=6， ACB 为等腰直角三角形，AB=2AC=62,A=45 ， 在 RtADE 中，设 AE=x，则 DE=x，AD=2x， 在 RtBED 中，tanDBE=DEBE =15 ，BE=5x，x+5x=62，解得 x=2 AD=22=2 15.如图，要在宽 AB 为 20 米的瓯海大道两边安装路灯，路灯
17、的灯臂 CD 与灯柱 BC 成 120 角，灯罩的轴线DO 与灯臂 CD 垂直，当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线（即 O 为 AB 的中点）时照明效果最佳，若CD=3米，则路灯的灯柱 BC 高度应该设计为_米（计算结果保留根号） 【答案】83 【解析】如图，延长 OD，BC 交于点 P. ODC=B= 90 ,P= 30 ，OB= 10 米， CD=3米， 在直角CPD 中,DP = DC*cos30 = 3 米,PC=23米 .P=P, PDC=B= 90 ， PDCCPBO， PDCD=PBOB PB=103米， BC=PB- PC= (103-23)=83米 16.小明在学习“锐
18、角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在BC 边上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，则 67.5 角的正切值是 12 【答案】21. 【解析】解：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，ABBE，AEBEAB45 .还原后， 再沿过点 E 的直线折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处， AEEF， EAFEFA45 222.5 ，FAB67.5 .设 ABx，则 AEEF2x，tanFABtan67.5 FBAB2xxx21. 三解答题（
19、共 68 分） 17.（8 分）(1)3tan30 cos245 2sin60 ； (2)sin601tan602tan453cos30 2sin45 . 【答案】 （1）12； （2）0. 【解析】(1)原式33322223212. (2)原式31232 1 3322220. 18.（10 分）在ABC 中，A120 ，AB12，AC6.求 tanB 的值 【答案】tanB35 【解析】过点 C 作 CDAB，交 BA 的延长线于点 D， A120 ，DAC60 ， cos 60 ADAC，sin 60 CDAC， 13 AB12，AC6，ADAC cos 60 6123， CDAC sin
20、 60 63233， 在 RtBCD 中，tanBCDBD3 31535. 19.（10 分）在ABC 中，B、C 均为锐角，其对边分别为 b、c，求证：sinsinbcBC 【答案】证明见解析 【解析】证明：根据题意画出图形，过 A 作 ADBC 于 D， 在 RtABD 中，sinBADAB，ADABsinB， 在 RtADC 中，sinCADAC，ADACsinC，ABsinBACsinC， 而 ABc，ACb，csinBbsinC， sinsinbcBC 20.（10 分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸 EFMN，小聪在河岸 MN上点 A 处用测角仪测得河对
21、岸小树 C 位于东北方向，然后沿河岸走了 30 米，到达 B 处，测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30 方向，此时，其他同学测得 CD=10 米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 【答案】 （30+103）米 【解析】解：如图作 BHEF，CKMN，垂足分别为 H、K，则四边形 BHCK 是矩形， 14 设 CK=HB=x， CKA=90 ，CAK=45 ，CAK=ACK=45 ，AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30， HD=x-30+10=x-20， 在 RtBHD 中，BHD=90 ，HBD=30 ，tan30 =HDBH，320=3xx 解得 x=30+103
22、河的宽度为（30+103）米 21.（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，BCD 是钝角，AB=AD，BD 平分ABC，若 CD=3，BD=26，sinDBC=33，求对角线 AC 的长. 【答案】AC=23. 【解析】 解： 过 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E， 则E=90 ， 因为 sinDBC=33， BD=26， 所以 DE=22，所以 BE=4，因为 CD=3，所以 CE=1，所以 BC=3，所以 BC=CD，所以CBD=CDB，因为 BD 平分ABC，所以ABD=DBC，所以ABD=CDB，所以 ABCD，同理 ADBC，所以四边形 ABCD是菱形，连接 AC 交
23、BD 于 O，则 ACBD，AO=CO，BO=DO=6，所以 OC=22BCBO =3，所以AC=23. 15 22. （10 分） 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示， 箱体长 AB=50cm， 拉杆最大伸长距离 BC=35cm， （点 A、B、C 在同一条直线上） ，在箱体的底端装有一圆形滚轮A，A 与水平地面切于点 D，AEDN，某一时刻，点 B 距离水平面 38cm，点 C 距离水平面 59cm （1）求圆形滚轮的半径 AD 的长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点 C 距离水平地面 73.5cm，求此时拉杆箱
24、与水平面 AE 所成角CAE 的大小（精确到 1 ，参考数据：sin500.77，cos500.64，tan501.19） 【答案】 （1）圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm； （2）CAF=50 【解析】 （1）作 BHAF 于点 G，交 DM 于点 H则 BGCF，ABGACF 设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm则=，即=，解得：x=8 则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm； （2）CF=73.58=65.5（m） 则 sinCAF=0.77， 则CAF=50 23.（10 分）如图，已知ABC 中，ACB90 ，D 是边 AB 的中点，P 是边 AC 上一动点，BP 与 CD 相
25、交 16 于点 E （1）如果 BC6，AC8，且 P 为 AC 的中点，求线段 BE 的长； （2）联结 PD，如果 PDAB，且 CE2，ED3，求 cosA 的值； （3）联结 PD，如果 BP22CD2，且 CE2，ED3，求线段 PD 的长 【答案】 （1）4133（2）63(3) 15. 【解析】解： （1）P 为 AC 的中点，AC=8，CP=4, ACB=90 ，BC=6，BP=2 13, D 是边 AB 的中点，P 为 AC 的中点，点 E 是ABC 的重心, 241333BEBP, （2）过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F, BDFDBFDADCCA, BD=DA，FD=DC，BF=AC, CE=2，ED=3，则 CD=5，EF=8,2184CPCEBFEF,14CPCA， 13CPPA，设 CP=k，则 PA=3k， PDAB，D 是边 AB 的中点，PA=PB=3k,2 2BCk，2 6ABk， 4ACk，6cos3A , 17 （3）ACB=90 ，D 是边 AB 的中点，12CDBDAB, 222BPCD，22BPCD CDBD AB, PBD=ABP，PBDABP,BPD=A, A=DCA，DPE=DCP， PDE=CDP，DPEDCP，2PDDE DC, DE=3,DC=5，.