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第7章锐角三角函数 单元培优卷(含答案)2021-2022学年苏科版九年级数学下册

1、 第第7章章 锐角三角函数锐角三角函数 一选择题(每小题 2 分,共 12 分) 1.如图,在 RtABC 中,C90 ,AB6,AC2,CDAB 于 D,设ACD,则 cos 的值为( ) A2 23 B22 C2 2 D13 2.当 A 为锐角,且12cosA32时,A 的范围是( ) A0 A30 B30 A60 C60 A90 D30 A45 3.如图,已知直线 l1l2l3l4,相邻两条平行直线间的距离都 是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则 sin( ) A12 B55 C52 D2 55 4.下列式子错误的是( ) Acos40 =sin50 Btan15

2、tan75=1 Csin225 +cos225 =1 Dsin60 =2sin30 5.如图,已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF,tan= ,则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是( ) A144cm B180cm C240cm D360cm 6.如图,网格中小正方形的边长都为 1,点 A,B,C 在正方形的顶点处,则 cosACB 的值为( ) A2 3417 B22 C8517 D7 8585 二填空题(每小题 2 分,共 20 分) 7.在 RtABC 中,C=90 ,sinA=12,那么 cos

3、A=_ 8.用不等号“”或“”连接:sin50 _cos50 9.在锐角ABC 中,若|cos2A14|+(tanB3)20,则C 的正切值是_ 10.如下图:直角三角形纸片的两直角边长分别为 4,8,现将ABC 如图那样折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,则tanCBE的值是_ 11.如图,两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为 ,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为 _ 12.如图,直线MN与O相切于点M,MEEF且/EF MN,则cos E _ 13.如图,某中学综合楼入口处有两级台阶,台阶高 ADBE15cm,深 DE30cm,在台阶处加装一段斜坡作为无

4、障碍通道,设台阶起点为 A,斜坡的起点为 C,若斜坡 CB 的坡度 i1:9,则 AC 的长为_cm 14.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,C=90 ,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tanDBA=15,则 AD 的长是_. 15.如图,要在宽 AB 为 20 米的瓯海大道两边安装路灯,路灯的灯臂 CD 与灯柱 BC 成 120 角,灯罩的轴线DO 与灯臂 CD 垂直,当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线(即 O 为 AB 的中点)时照明效果最佳,若CD=3米,则路灯的灯柱 BC 高度应该设计为_米(计算结果保留根号) 16.小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片

5、ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在BC 边上的点 E 处,还原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,则 67.5 角的正切值是 三解答题(共 68 分) 17.(8 分)(1)3tan30 cos245 2sin60 ; (2)sin601tan602tan453cos30 2sin45 . 18.(10 分)在ABC 中,A120 ,AB12,AC6.求 tanB 的值 19.(10 分)在ABC 中,B、C 均为锐角,其对边分别为 b、c,求证:sinsinbcBC 20.(10 分)在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸

6、EFMN,小聪在河岸 MN上点 A 处用测角仪测得河对岸小树 C 位于东北方向,然后沿河岸走了 30 米,到达 B 处,测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30 方向,此时,其他同学测得 CD=10 米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 21.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中,BCD 是钝角,AB=AD,BD 平分ABC,若 CD=3,BD=26,sinDBC=33,求对角线 AC 的长. 22. (10 分) 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示, 箱体长 AB=50cm, 拉杆最大伸长距离 BC=35cm, (点 A、B、C 在同一条直线上) ,在箱体的底端装有一圆形滚轮A,

7、A 与水平地面切于点 D,AEDN,某一时刻,点 B 距离水平面 38cm,点 C 距离水平面 59cm (1)求圆形滚轮的半径 AD 的长; (2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,已知某人的手自然下垂在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时,点 C 距离水平地面 73.5cm,求此时拉杆箱与水平面 AE 所成角CAE 的大小(精确到 1 ,参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.19) 23.(10 分)如图,已知ABC 中,ACB90 ,D 是边 AB 的中点,P 是边 AC 上一动点,BP 与 CD 相交于点 E (1)如果 BC6,AC8,且 P 为 A

8、C 的中点,求线段 BE 的长; (2)联结 PD,如果 PDAB,且 CE2,ED3,求 cosA 的值; (3)联结 PD,如果 BP22CD2,且 CE2,ED3,求线段 PD 的长 5 第第8章章 锐角三角函数(单元培优卷)锐角三角函数(单元培优卷) 一选择题(每小题 2 分,共 12 分) 1.如图,在 RtABC 中,C90 ,AB6,AC2,CDAB 于 D,设ACD,则 cos 的值为( ) A2 23 B22 C2 2 D13 【答案】A 【解析】解:CDAB,A +ACD90 , ACB90 ,A +B90 ,BACD, 在 RtABC 中, 2222624 2BCABAC

9、,cosB4 22 2.63BCABcos2 23. 故选 A 2.当 A 为锐角,且12cosA32时,A 的范围是( ) A0 A30 B30 A60 C60 A90 D30 A45 【答案】B 【解析】cos60 =12, cos30 =32, 30 A60 故选 B 3.如图,已知直线 l1l2l3l4,相邻两条平行直线间的距离都 是 1,如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则 sin( ) A12 B55 C52 D2 55 【答案】B 【解析】过 D 作 EF1l,交1l于 E,交4l 于 F, 6 11234,EFl llll EF 和234, ,l l l的夹角都

10、是90, 即 EF 与234, ,l l l都垂直,DE=1,DF=2. 四边形 ABCD 是正方形,90ADCADCD, 90ADECDF, 又90ADE, =CDF, ,90ADCDAEDDFC, ADEDCF, DE=CF=1,在RtCDF中,225CDCFDF, 15sinsin.55CFCDFCD 故选 B. 4.下列式子错误的是( ) Acos40 =sin50 Btan15tan75=1 Csin225 +cos225 =1 Dsin60 =2sin30 【答案】D 【解析】选项 A,sin40 =sin(90 50 )=cos50 ,式子正确;选项 Btan15tan75=ta

11、n15cot15=1,式子正确;选项 C,sin225 +cos225 =1 正确;选项 D,sin60 =32,sin30 =12,则 sin60 =2sin30 错误故答案选 D 5.如图,已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF,tan= ,则“人字梯”的顶端离地面的高度 AD 是( ) A144cm B180cm C240cm D360cm 【答案】B 【解析】解:如图: 7 根据题意可知: :AFOABD,OF= EF=30cm, ,CD=72cm, tan= ,AD=180cm 故选 B 6.如图,

12、网格中小正方形的边长都为 1,点 A,B,C 在正方形的顶点处,则 cosACB 的值为( ) A2 3417 B22 C8517 D7 8585 【答案】D 【解析】如图,作 DEBC 于点 E. 由勾股定理得,22215BC ,22117222CD, 1122BC DEBD CF,3522DE , 3 55DE ,22173 57 52510CE, 7 57 8510cos85172CEACBCD. 故选 D. 8 二填空题(每小题 2 分,共 20 分) 7.在 RtABC 中,C=90 ,sinA=12,那么 cosA=_ 【答案】32 【解析】RtABC 中,C=90 ,sinA=a

13、c, sinA=12,c=2a,b=223caa ,cosA=32bc, 故答案为32. 8.用不等号“”或“”连接:sin50 _cos50 【答案】 【解析】cos50 =sin40 ,sin50 sin40 , sin50 cos50 故答案为 9.在锐角ABC 中,若|cos2A14|+(tanB3)20,则C 的正切值是_ 【答案】3 【解析】解:由题意得,cos2A-14=0,tanB-3=0, 则 cosA=12,tanB=3, 解得,A=60 ,B=60 , 则C=180 -60 -60 =60 , tan60 =3, 则C 的正切值是3, 故答案为3 10.如下图:直角三角形

14、纸片的两直角边长分别为 4,8,现将ABC 如图那样折叠,使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE,则tanCBE的值是_ 9 【答案】34 【解析】解:根据题意,BE=AE设 BE=x,则 CE=8-x 在 RtBCE 中,x2=(8-x)2+42,解得 x=5,CE=8-5=3, tanCBE=34CECB 故答案为34 11.如图,两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为 ,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为 _ 【答案】1sin 【解析】AC=1sin,它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为:111sinsin 故答案为1sin 12.如图,直线MN与O相切于点M,M

15、EEF且/EF MN,则cos E _ 【答案】12 【解析】连接OM、MF,OM的反向延长线交EF与C,如解图,直线MN与O相切于点M, OMMN,/EFMN,MCEF,CECF,MEMF,而MEEF,MEEFMF,MEF为等边三角形,60E,1coscos602E,故答案为12 10 13.如图,某中学综合楼入口处有两级台阶,台阶高 ADBE15cm,深 DE30cm,在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道,设台阶起点为 A,斜坡的起点为 C,若斜坡 CB 的坡度 i1:9,则 AC 的长为_cm 【答案】240 【解析】延长 BE 交 AC 延长线于 F 点,则 BF=30cm, 坡度1:9

16、i , FC=930=270cm, AC=FC-DE=270-30=240cm. 14.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,C=90 ,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tanDBA=15,则 AD 的长是_. 【答案】2 【解析】作 DEAB 于 E,如图, 11 C=90 ,AC=BC=6, ACB 为等腰直角三角形,AB=2AC=62,A=45 , 在 RtADE 中,设 AE=x,则 DE=x,AD=2x, 在 RtBED 中,tanDBE=DEBE =15 ,BE=5x,x+5x=62,解得 x=2 AD=22=2 15.如图,要在宽 AB 为 20 米的瓯海大道两边安装路灯,路灯

17、的灯臂 CD 与灯柱 BC 成 120 角,灯罩的轴线DO 与灯臂 CD 垂直,当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中心线(即 O 为 AB 的中点)时照明效果最佳,若CD=3米,则路灯的灯柱 BC 高度应该设计为_米(计算结果保留根号) 【答案】83 【解析】如图,延长 OD,BC 交于点 P. ODC=B= 90 ,P= 30 ,OB= 10 米, CD=3米, 在直角CPD 中,DP = DC*cos30 = 3 米,PC=23米 .P=P, PDC=B= 90 , PDCCPBO, PDCD=PBOB PB=103米, BC=PB- PC= (103-23)=83米 16.小明在学习“锐

18、角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在BC 边上的点 E 处,还原后,再沿过点 E 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,则 67.5 角的正切值是 12 【答案】21. 【解析】解:将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,ABBE,AEBEAB45 .还原后, 再沿过点 E 的直线折叠, 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处, AEEF, EAFEFA45 222.5 ,FAB67.5 .设 ABx,则 AEEF2x,tanFABtan67.5 FBAB2xxx21. 三解答题(

19、共 68 分) 17.(8 分)(1)3tan30 cos245 2sin60 ; (2)sin601tan602tan453cos30 2sin45 . 【答案】 (1)12; (2)0. 【解析】(1)原式33322223212. (2)原式31232 1 3322220. 18.(10 分)在ABC 中,A120 ,AB12,AC6.求 tanB 的值 【答案】tanB35 【解析】过点 C 作 CDAB,交 BA 的延长线于点 D, A120 ,DAC60 , cos 60 ADAC,sin 60 CDAC, 13 AB12,AC6,ADAC cos 60 6123, CDAC sin

20、 60 63233, 在 RtBCD 中,tanBCDBD3 31535. 19.(10 分)在ABC 中,B、C 均为锐角,其对边分别为 b、c,求证:sinsinbcBC 【答案】证明见解析 【解析】证明:根据题意画出图形,过 A 作 ADBC 于 D, 在 RtABD 中,sinBADAB,ADABsinB, 在 RtADC 中,sinCADAC,ADACsinC,ABsinBACsinC, 而 ABc,ACb,csinBbsinC, sinsinbcBC 20.(10 分)在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸 EFMN,小聪在河岸 MN上点 A 处用测角仪测得河对

21、岸小树 C 位于东北方向,然后沿河岸走了 30 米,到达 B 处,测得河对岸电线杆 D 位于北偏东 30 方向,此时,其他同学测得 CD=10 米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 【答案】 (30+103)米 【解析】解:如图作 BHEF,CKMN,垂足分别为 H、K,则四边形 BHCK 是矩形, 14 设 CK=HB=x, CKA=90 ,CAK=45 ,CAK=ACK=45 ,AK=CK=x,BK=HC=AK-AB=x-30, HD=x-30+10=x-20, 在 RtBHD 中,BHD=90 ,HBD=30 ,tan30 =HDBH,320=3xx 解得 x=30+103

22、河的宽度为(30+103)米 21.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中,BCD 是钝角,AB=AD,BD 平分ABC,若 CD=3,BD=26,sinDBC=33,求对角线 AC 的长. 【答案】AC=23. 【解析】 解: 过 D 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E, 则E=90 , 因为 sinDBC=33, BD=26, 所以 DE=22,所以 BE=4,因为 CD=3,所以 CE=1,所以 BC=3,所以 BC=CD,所以CBD=CDB,因为 BD 平分ABC,所以ABD=DBC,所以ABD=CDB,所以 ABCD,同理 ADBC,所以四边形 ABCD是菱形,连接 AC 交

23、BD 于 O,则 ACBD,AO=CO,BO=DO=6,所以 OC=22BCBO =3,所以AC=23. 15 22. (10 分) 一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示, 箱体长 AB=50cm, 拉杆最大伸长距离 BC=35cm, (点 A、B、C 在同一条直线上) ,在箱体的底端装有一圆形滚轮A,A 与水平地面切于点 D,AEDN,某一时刻,点 B 距离水平面 38cm,点 C 距离水平面 59cm (1)求圆形滚轮的半径 AD 的长; (2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,已知某人的手自然下垂在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时,点 C 距离水平地面 73.5cm,求此时拉杆箱

24、与水平面 AE 所成角CAE 的大小(精确到 1 ,参考数据:sin500.77,cos500.64,tan501.19) 【答案】 (1)圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm; (2)CAF=50 【解析】 (1)作 BHAF 于点 G,交 DM 于点 H则 BGCF,ABGACF 设圆形滚轮的半径 AD 的长是 xcm则=,即=,解得:x=8 则圆形滚轮的半径 AD 的长是 8cm; (2)CF=73.58=65.5(m) 则 sinCAF=0.77, 则CAF=50 23.(10 分)如图,已知ABC 中,ACB90 ,D 是边 AB 的中点,P 是边 AC 上一动点,BP 与 CD 相

25、交 16 于点 E (1)如果 BC6,AC8,且 P 为 AC 的中点,求线段 BE 的长; (2)联结 PD,如果 PDAB,且 CE2,ED3,求 cosA 的值; (3)联结 PD,如果 BP22CD2,且 CE2,ED3,求线段 PD 的长 【答案】 (1)4133(2)63(3) 15. 【解析】解: (1)P 为 AC 的中点,AC=8,CP=4, ACB=90 ,BC=6,BP=2 13, D 是边 AB 的中点,P 为 AC 的中点,点 E 是ABC 的重心, 241333BEBP, (2)过点 B 作 BFCA 交 CD 的延长线于点 F, BDFDBFDADCCA, BD=DA,FD=DC,BF=AC, CE=2,ED=3,则 CD=5,EF=8,2184CPCEBFEF,14CPCA, 13CPPA,设 CP=k,则 PA=3k, PDAB,D 是边 AB 的中点,PA=PB=3k,2 2BCk,2 6ABk, 4ACk,6cos3A , 17 (3)ACB=90 ,D 是边 AB 的中点,12CDBDAB, 222BPCD,22BPCD CDBD AB, PBD=ABP,PBDABP,BPD=A, A=DCA,DPE=DCP, PDE=CDP,DPEDCP,2PDDE DC, DE=3,DC=5,.