1、2022年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若气温零上记作，则气温零下记作（ ）A. B. C. D. 2. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）A. B. C. D. 5. 如图是中5个相同的正方体搭成的立体图形，则它
2、的主视图为（ ）A. B. C. D. 6. 李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）A. 10.5%B. 10%C. 20%D. 21%7. 如图，则的度数是（ ）A. B. C. D. 8. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在中，对角线相交于点O，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 10. 已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）A. 24B. C. D. 二、填空题（本人题共8小题，第1112题每小题3分
3、，第1318题每小题4分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业时间情况，比较适合的调查方式是_（填“全面调查”或“抽样调查”）12. 分式有意义，则x应满足的条件是_13. 九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为_14. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，要使ABCDEF，还需添加一个条件是_（只需添一个）15. 根据物理学规
4、律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为_s时，小球达到最高点16. 如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为_m（结果保留根号）17. 平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为_18. 如图，点O是正方形的中心，中，过点D，分别交于点G，M，连接若，则的周长为_三、解答题（本大题共8小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19 （1）计算：；（2）解不等式组：20. 为了
5、了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表平均数众数中位数A县区3.8533B县区3.8542.5（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为_名；（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由21. 【阅读材料】老师的问题：已知：如图，求作：菱形，使点C，D分别在上小明的作法：（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；（3）连接四边形就是所
6、求作的菱形，【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形是菱形22. 不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别（1）从袋子中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是_；（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球求两次摸到球的颜色为“一红一黄”的概率23. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接（1）求直径的长；（2）若，计算图中阴影部分的面积24. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示（1）写出图中点B表示实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（
7、单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元求a的值25. 如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接（1）当点E在上时，作，垂足M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值26. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”（1）在；三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有_（填序号）；（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”
8、有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围2022年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 若气温零上记作，则气温零下记作（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据气温是零上2记作2，则可以表示出气温是零下3，从而可以解答本题【详解】解：气温是零上2记作2，气温是零下3记作3故选：A【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义2. 下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
9、根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【详解】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意；B不是轴对称图形，故本选项不合题意；C不是轴对称图形，故本选项不合题意；D是轴对称图形，故本选项符合题意故选：D【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置3. 沪渝蓉高铁是国家中长期铁路网规划“八纵八横”之沿江高铁通道的主通道，其中南通段总投资约39000000000元，将39000000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|1
10、0，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10时，n是正整数数【详解】解：由题意可知：，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4. 用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设第三根木棒的长为xcm，再根据三角形的三边关系得出x取值范围即可【详解】解：设第三根木棒的长为xcm，则63x63，即3x9观察选项，只有选项D符合题意故选：D【
11、点睛】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边5. 如图是中5个相同的正方体搭成的立体图形，则它的主视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可【详解】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，故选：A【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提6. 李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（ ）A. 10.5%B. 10%C. 20%D. 21
12、%【答案】B【解析】【分析】设每月盈利的平均增长率为x，根据今年1月盈利3000元，3月盈利3630元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：3000（1x）23630，解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去）故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7. 如图，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质可得1280，结合，两式相加即可求出【详解】解：如图，41，3421280，故选：C【点睛】本题考查了平行
13、线的性质，三角形外角的性质，求出1280是解题的关键8. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出直线ykx在直线yx3上方所对应的自变量的范围即可【详解】解：根据图象可得：不等式kxx3的解集为：x1故选：D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键9. 如图，在中，对角线相交于点O，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30角的直角三角形性质以及勾股定理可
14、得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M，ACBC，ABC60，BAC30，BC4，AB8，AC，四边形ABCD是平行四边形，设，则，故选：C【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围10. 已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）A. 24B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求
15、出，进而可得答案【详解】解：；，的最大值为，故选：B【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键二、填空题（本人题共8小题，第1112题每小题3分，第1318题每小题4分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是_（填“全面调查”或“抽样调查”）【答案】抽样调查【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断【详解】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完
16、成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查12. 分式有意义，则x应满足的条件是_【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可【详解】解：分式有意义，即，故答案为：【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为013. 九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三
17、问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为_【答案】5x+45=7x-3【解析】【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x的方程，此题得解【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3故答案为：5x+45=7x-3【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键14. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，要使ABCDEF，还需添加一个条件是_（只需添一个）【答案】BC=EF或AB=DE或AC=DF（
18、填一个）【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理进行添加即可.【详解】解：ABED，ACFD，BE，ACBDFE，任意添加一组对应边相等即可证明ABCDEF，故可添加BC=EF或AB=DE或AC=DF，故答案为BC=EF或 AB=DE或AC=DF（填一个）.【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为_s时，小球达到最高
19、点【答案】2【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解【详解】根据题意，有，当时，有最大值故答案为：2【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用16. 如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为_m（结果保留根号）【答案】#【解析】【分析】在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，BC=DE，BD=CE，由题意可知：，在中，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三
20、角形并解直角三角形17. 平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为_【答案】【解析】【分析】由点A、B、C的坐标可知，mn，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据列式求出，进而可得k的值【详解】解：点是函数图象上的三点， mn，点B、C关于原点对称，设直线BC的解析式为，代入得：，解得：，直线BC的解析式为，不妨设m0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，把xm代入得：，D（m，），AD，而当m0时，同样可得，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的
21、图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键18. 如图，点O是正方形的中心，中，过点D，分别交于点G，M，连接若，则的周长为_【答案】【解析】【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FHCD于点H，解直角三角形可得BG，AGAB，然后证明ABGHFD（AAS），可得DHAGABCD，BCHF，进而可证BCMFHM（AAS），得到MHMCCD，BMFM，然后根据等腰三角形三线合一求出DFFM，则BGDFFMBM，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FHCD于点H，AGAB，B
22、G，BEF90，ADC90，EGDEDG90，EDGHDF90，EGDHDFAGBEGD，AGBHDF，在ABG和HFD中，ABGHFD（AAS），AGDH，ABHF，在正方形中，ABBCCDAD，C90，DHAGABCD，BCHF，在BCM和FHM中，BCMFHM（AAS），MHMCCD，BMFM，DHMH，FHCD，DFFM，BGDFFMBM，BF，M是BF中点，O是BD中点，BEF是直角三角形，OM，EM，BD，BED是直角三角形，EO，的周长EOOMEM3，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜
23、边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键三、解答题（本大题共8小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）计算：；（2）解不等式组：【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】(1)首先利用平方差公式进行因式分解，再进行约分和加法运算，即可求得结果；(2)首先解每一个不等式，再据此即可求得不等式组的解集【小问1详解】解： 【小问2详解】解：由解得，由解得，所以，原不等式组的解集为【点睛】本题考查了分式的混合运算，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键20.
24、为了了解八年级学生本学期参加社会实践活动的天数情况，A，B两个县区分别随机抽查了200名八年级学生根据调查结果绘制了统计图表，部分图表如下：A，B两个县区的统计表平均数众数中位数A县区3.8533B县区3.8542.5（1）若A县区八年级共有约5000名学生，估计该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天学生约为_名；（2）请对A，B两个县区八年级学生参加社会实践活动的天数情况进行比较，做出判断，并说明理由【答案】（1）3750 （2）见详解【解析】【分析】（1）根据A县区统计图得不小于三天的比例，根据总数乘以比例即可得到答案；（2）根据平均数、中位数和众数的定义进行比较即可【小问1详解】解：
25、根据A县区统计图得，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的比例为：，该县区八年级学生参加社会实践活动不少于3天的学生约为：名，故答案为：3750；【小问2详解】A县区和B县区的平均活动天数均为3.85天，A县区和B县区的平均活动天数相同；A县区的中位数是3，B县区的中位数是2.5，B县区参加社会实践活动小于3天的人数比A县区多；A县区的众数是3，B县区的众数是4，A县区参加社会实践人数最多的是3天，B县区参加社会实践人数最多的是4天【点睛】本题考查数据统计、平均数、中位数和众数，解题的关键是熟练掌握扇形统计图、平均数、中位数和众数的相关知识21. 【阅读材料】老师的问题：已知：如图，求作
26、：菱形，使点C，D分别在上小明的作法：（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；（3）连接四边形就是所求作的菱形，【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形是菱形【答案】见解析【解析】【分析】由作图可知ADABBC，然后根据可得四边形ABCD是平行四边形，再由ADAB可得结论【详解】解：由作图可知ADABBC，即，四边形ABCD是平行四边形，又ADAB，平行四边形ABCD是菱形【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键22. 不透明的袋子中装有红球、黄球、蓝球各一个，这些球除颜色外无其他差别（1）从袋子
27、中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是_；（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球求两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到“一红一黄”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案小问1详解】解：不透明的袋子中共有3个球，其中1个蓝球，随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是，故答案为：；【小问2详解】根据题意画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况数，其中摸到“一红一黄”的情况有2种，则两次摸到的球的颜色为“一红一黄”的概率是【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率
28、公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）23. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，点E在的延长线上，连接（1）求直径的长；（2）若，计算图中阴影部分的面积【答案】（1）4 （2）6【解析】【分析】（1）设辅助线，利用直径、角平分线的性质得出的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论（2）由（1）已知，得出的度数，根据圆周角的性质结合得出，再根据直径、等腰直角三角形的性质得出的值，进而利用直角三角形面积公式求出，由阴影部分面积可知即为所求【小问1详解】解：如图所示，连接，为的直
29、径，平分，即【小问2详解】解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，弦弦，劣弧劣弧为的直径，【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性质建立等式关系是解本题的关键24. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/、
30、12元/，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的关系如图所示（1）写出图中点B表示的实际意义；（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元求a的值【答案】（1）当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等 （2）， （3）80【解析】【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；（2）利用待定系数法求函数解析式即可；（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为
31、时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可【小问1详解】解：由图可知：B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等【小问2详解】解：由图可知：过，设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，解得：，甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：；当时，乙函数图象过，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，；当时，乙函数图象过，设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为：，利用待定系数法得：，解得：，；综上所述：乙两种苹果销售额y（单
32、位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式为；【小问3详解】解：甲的利润为：，乙的利润为：当时，甲乙的利润和为：，解得（舍去）；当时，甲乙的利润和为：，解得；当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息25. 如图，矩形中，点E在折线上运动，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角等于，连接（1）当点E在上时，作，垂足为M，求证；（2）当时，求的长；（3）连接，点E从点B运动到点D的过程中，试探究的最小值【答案】（1）见详解 （2） （3）【解析】【分析】（1）证明即可得证（2）借助，在中求解（
33、3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可【小问1详解】如图所示，由题意可知，由旋转性质知：AE=AF，在和中，【小问2详解】在中，则，中，则，由（1）可得，在中，则，故CF的长为【小问3详解】如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作于点H，由（1）知，故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小在与中，即，在与中，即，故的最小值；如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作，由题意可知，在与中，故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；由于，故四边形DQRK是矩形
34、；，故此时DF的最小值为；由于，故DF的最小值为【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用26. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”（1）在；三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有_（填序号）；（2）若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围【答案】（1） （2）3或； （3）【解析】【分析】（1）根据“n
35、阶方点”的定义逐个判断即可；（2）如图作正方形，然后分a0和a0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y2x1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，n）和点（n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围【小问1详解】解：点到x轴的距离为2，大于1，不是反比例函数图象的“1阶方点”，点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，和是反比例函数图象的“1阶方点”，故答案为：；【小问2详解】如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），
36、（2，2），（2，2），（2，2），当a0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（2，2）或（2，2），把（2，2）代入得：，解得：（舍去）；把（2，2）代入得：，解得：；当a0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，则过点（2，2）或（2，2），把（2，2）代入得：，解得：；把（2，2）代入得：，解得：（舍去）；综上，a的值为3或；【小问3详解】二次函数图象的顶点坐标为（n，），二次函数图象的顶点坐标在直线y2x1上移动，y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（n，n），（n，n），（n，n）的正方形有交点，如图，当过点（n，n）时，将（n，n）代入得：，解得：，当过点（n，n）时，将（n，n）代入得：，解得：或（舍去），由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键