1、第2章轴对称图形一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1下例各时刻是轴对称图形的为（）A13:08B12:21C12:50D10:502如图，在中，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）ABCD3已知，点A是内任意一点，点B和点C分别是射线OM和射线ON上的动点（M、N不与点O重合），当周长取最小值时，则的度数为（）ABCD4如图，在中，点D是BC边上一点，已知，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（）ABCD5如图，在中，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则等于（）A19B20C24D256如图，在ABC中，B、C的平
2、分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：BDF，ADE都是等腰三角形；DEBDCE；ADE的周长等于ABAC；BFCF；若A80，则BFC130，其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个7如图，中，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分BAC，过点D作于点M，则（）A3B4C5D68如图，E是BC延长线上的一点，ADBC，BD，CD，AP，DP分别平分ABC，ACE，BAC，BDC，则P的度数为（）A30B42C45D509如图，ABC中，CABCBA48，点O为ABC内一点，OAB12，OBC18，则ACO+AOB（）A190B195C200D21010如图，
3、在中，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若，则D过点作于点，则二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11如图，点P是AOB内任意一点，OP=4cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，AOB=30则PMN周长的最小值=_ .12如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形CDEFCF交AD于点G，若是等腰三角形，则_13如图，在中，、的垂直平分线分别交于、两点，并且相交于点，且，则的度数是_14如图，在RtABC中，BAC90，点D在BC上，过D作DFBC交BA的延长线于F，连接AD，C
4、F，若CFE32，ADB45，则B_15如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，点在边上，连接，则_16如图，M，N是AOB的边OA上的两个点(OMON)，AOB30，OMa，MN4若边OB上有且只有1个点P，满足PMN是等腰三角形，则a的取值范围是_17如图，在ABC中，C45，ADBC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MNFB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN1：7，SABD15，则SABE_18如图，在中，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是_三、解答题（本大题共6小题，共60分）19（8分）如图，在中，平分，于，交于.
5、求证：（1）；（2）.20（8分）如图，已知ABCADC90，BCCD，CACE(1) 求证：ACBACD；(2) 过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P 连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE； 点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合21（10分）如图1，在ABC中，BAC的平分线AD与BCA的平分线CE交于点O(1) 求证：AOC90ABC；(2) 当ABC90时，且AO3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明22（10分）（1）如图1，在等腰ABC中，AB=AC和等腰ADE中，AE=AD
6、，BAC=DAE=90，B，E，D三点在同一直线上，求证：BDC=90；（2）如图2，等腰ABC中，AB=AC，BAC=90，D是ABC外一点，且BDC=90，求证：ADB=4523（10分）如图，已知和均为等腰三角形，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE(1) 如图1，若，求证：；(2) 在（1）的条件下，求的度数；拓广探索：(3) 如图2，若，CF为中BE边上的高，请直接写出的度数和EF的长度24（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)【模型呈现】如图，AD为的中线，交AD的延长线于点E，求证：(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中，E是B
7、C中点，连接AE，DE，AE平分，求证：DE平分(3)【拓展探索】如图，在中，于点D，过点B作交的平分线于点E，过点E作交BC于点F，若，求证：参考答案1B【分析】把时刻的表示法当成一个图形，再根据轴对称图形的特征容易判断正确选项解：分别把A、B、C、D四个时刻的表示法看成一个图形，根据轴对称图形的特征不难得到正确选项是B故选B【点拨】本题考查轴对称图形的判断，在理解题意的基础上利用轴对称图形的定义和特征进行判断是解题关键2B【分析】先通过作图过程可得AD平分BAC,DEAB,然后证明ACDAED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意解：由题意
8、可得：AD平分BAC,DEAB,在ACD和AED中AED=C，EAD=CAD,AD=ADACDAED（AAS）DE=DC,AE=AC,即C、D正确；在RtBED中，BDE=90-B在RtBED中，BAC=90-BBDE=BAC，即选项A正确；选项B，只有AE=EB时，才符合题意故选B【点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键3B【分析】分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于，的周长的最小值，然后得到等腰中，即可得出解：分别作点关于、的对称点、，连接，交于，交于，则，根据对称轴的性质，可得，则的周长的最小值，等腰中，故选：【点
9、拨】本题考查了轴对称最对路线问题，正确作出辅助线，得到等腰中，是关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点4B【分析】过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可解：过点E作于M，于N，于H，如图，平分，平分，平分，由三角形外角可得：，而，故选：B【点拨】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分5B【分析】根据垂直平分线和等腰三角形性质，得；根据三角形外角性
10、质，得；根据轴对称的性质，得，；根据补角的性质计算得，根据三角形内角和的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案解：BD的垂直平分线交AB于点E， 将沿AD折叠，点C恰好与点E重合， 故选：B【点拨】本题考查了轴对称、三角形内角和、三角形外角、补角、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和、三角形外角的性质，从而完成求解6B【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质解：B、C的角平分线交于点F，DBFCBF，ECFBCF，设DBFCBF，ECFBCF，DFBCBF，EFCBCF，DBFDFB，EFCECF，DBDF，EFEC，BD
11、F与CEF为等腰三角形，DEDFEFBDCE，ADE的周长为ADAEDEADAEBDCEABAC，只有当ABC是等腰三角形时，ADE是等腰三角形，且BFCF，正确，不正确，A80，FBCFCB50，BFC18050130，故正确故选：B【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键7A【分析】如图（见分析），先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据垂直平分线的性质可得，又根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，设，从而可得，最后根据建立等式求解
12、即可得解：如图，过点D作，交AC延长线于点N，连接BD、CD，AD平分，在和中，OD垂直平分BC，在和中，设，又，解得，即，故选：A【点拨】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键8C【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出ABAC利用等腰三角形的性质得出APBCPAD90设ADBCBDADBx，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果解：BD是ABC的平分线，ABDCBD，ADBC，ADBCBD，ABDADBABAD同理：ACADABACAP平分BAC，APBCADBC，APADPAD90设ADB
13、CBDADBx，ABC2xABAC，ACBABC2xPAC902xDP平分BDC，设BDPCDPy，BDC2yADCADB+BDCx+2yACDA，ACDADCx+2yDAC180ACDADC1802（x+2y）PAD90，PAC+DAC90902x+1802（x+2y）90整理得：x+y45，ADPADB+BDPx+y，ADP45P90ADP45故选：C【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键9D【分析】作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP由题意可求出由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线
14、，即得出，从而得出，进而可求出由图易求出，由三角形外角性质可求出，即再根据，即得出，从而可证明，即得出AC=AO由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出的值，再根据三角形内角和定理可求出的值，相加即可解：如图，作于点D，延长BO交CD于点P，连接AP由题意可求出，CD为AB的垂直平分线，又，AC=AO，故选D【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难正确做出辅助线是解题关键10A【分析】如图1中，作于只要证明即可；如图2中，作于只要证明即可得出错误；因为，推出点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的
15、点；如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可由于缺少条件无法证明，故错误，解：A、如图1中，作于，故A正确，符合题意；B、如图2中，作于同理可知，故B错误，不符合题意C、，点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的点故C错误，不符合题意；D、如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可由于缺少条件无法证明，故D错误，不符合题意，故选：A【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题114cm试题分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N
16、在CD上时，PMN的周长最小解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，PM=CM，OP=OC，COA=POA；点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB，OC=OD=OP=4cm,COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60，COD是等边三角形，CD=OC=OD=4cm.PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DNCD4cm.故答案为4cm.点睛：本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定. 作点P关于OA、O
17、B的对称点C、D是解题的关键所在.1240或50【分析】如图：利用翻折前后的角相等得到1+GFC=1+23=150,再根据三角形的内角和定理得到3=2-30,最后分情况讨论即可解答解：由翻折可知,3=EFC,CD210,1+GFC=1+23=360-（CD）=150,1=180-2-3,代入式得3=2-30,把代入得1+22=210,若1=2,由式可得,1=2=70,3=40,若1=3,由式可得,1=3=50,2=80,若2=3,则不成立,说明此种情况不存在,综上EFG=40或50故答案是40或50【点拨】本题考查了图形的翻折，三角形的内角和，难度较大,熟悉三角形和四边形的内角和定理以及正确的
18、分情况讨论是解题关键13【分析】根据四边形内角和为求出，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，结合图形计算，得到答案解：、的垂直平分线相交于点，、的垂直平分线分别交于、两点，故答案为：【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等1477【分析】CF的中点T，连接DT，AT，证明ATCF ，AC= AF，得到AFC = 45， 根据直角三角形的两锐角互余计算即可解：取CF的中点T，连接DT，AT， BAC90，FDBC，CAFCDF90，ATDT=CF，TDTCTA，TDATAD，TDCT
19、CD，ADB45，ADT+TDC135，DAT+TCD135，ATC360213590，ATCF，CTTF，ACAF，AFC45，BFD453213，BDF90，B90BFD77，故答案为：77【点拨】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加斜边上的中线1590#90度【分析】设BD、EF交于点G，先证明BDEF，则有AFE=90+ABC，再证明2BDE=BDC=90-ABC，即可求解解：设BD、EF交于点G，如图，BF=BE，BEF是等腰三角形，BD平分ABC，ABD=DBC，BDEF，BGE=BGF=90，AFE=BGF+ABG，AFE=90+ABC，D
20、E平分BDC，2BDE=BDC，C=90，BDC+DBC=90，BDC+ABC=90，2BDE=BDC=90-ABC，故答案为：90【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质等知识，证明BDEF，是解答本题的关键16a8或a=4【分析】如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，PMN是等腰三角形，另外当PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个解：如图，作线段MN的垂直平分线交OB于点OP，连接PM，PN，则PM=PN，PMN是等腰三角形，过点M作MHOB于H，当MHMN，即MH4时，满足构成等腰三角形的点P恰好只
21、有一个，当MH=4时，AOB=30，OM=2MH=8，当a8时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，另外当PMN是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，此时a=4，故答案为：a8或a=4【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会特殊位置解决问题17【分析】过点F作FGBN于点G，根据已知条件证明ABDBFG，可得BDFG，ADBG，再证明BDEFGN可得DEGN，根据DE：BN1：7，可得GN：BN1：7，设EDx，DE：BG1：6，可得ADBG6x， AE5x，然后根据SABD15，进而可得SABE解：如图，过点F作FGBN于点G，ADBC
22、，ADC90，C45，DAC45，MNFB，FBN+FNB90，点M恰在BN的垂直平分线上，MBMN，ABNFNB，ABN+BAD90，BADFBN，AFBFBC+CBAD+DACBAF，BABF，在ABD和BFG中， ，ABDBFG（AAS），BDFG，ADBG，BED+EBD90，BAD+ABD90，BEDABDBFG=FNG，在BDE和FGN中，BDEFGN（AAS），DEGN，DE：BN1：7，GN：BN1：7，设EDx，DE：BG1：6，ADBG6x，AEADED6xx5x，SABD15，SABE=故答案为：【点拨】本题是三角形的综合题，属于中考题中填空题压轴题，考查全等三角形的判定
23、与性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识18【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，PC+PQ的最小值即为CM的长度，CM=，即PC+PQ的最小值为 ，故答案为【点拨】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解
24、题关键19（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）连接DF，证FAEOAE，推出AFAO，AFOAOF，求出ODDF，求出BFDF，即可得出答案；（2）在AD上截AMOF，连接OM，证AMOOFB，推出MOBFOD，求出DEME，ADOFDM2DE，即可证明证明：（1）连接DF，OFAD，AEFAEO90，AD平分FAO，FAEOAE，在FAE和OAE中，FAEOAE（ASA），AFAO，AFOAOF，ADOF，FEOE，DFDO，DFODOF，AFOAOF，AFDAOB90，AOB90，AOBO，B45，FDBAFOB904545B，BFDF，ODBF；（2）解：在AD上截AMOF，
25、连接OM，OABB45，AD平分OAB，OAM22.5，ODDF，DFODOF，FDB45DFODOF，FOB22.5OAM，在AMO和OFB中，AMOOFB（SAS），MOBFOD，OFAD，DEME，ADOFDM2DE【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力20(1)见分析(2)见分析；见分析【分析】（1）用HL证明RtABCRtADC，即可得到结论；（2）证明NECNPC (SAS)即可；作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，证明 MP=30即可(1)证明：在RtABC和RtADC中，BCCD，AC=AC，RtA
26、BCRtADC，ACB=ACD；(2)RtABCRtADC，BAC=CAD，CA=CE，CAE=CED，EBA=90，BEA=BAC=CAE=30，PDAE，MPPD，AEMP，PMC=MAE=30，MEAB，MEB=90，MEA=120，MAE=30，EMA=30，CMP，CEME，MCP=MCE=60，NECNPC (SAS)，EN=PN， N是EP的中点，NCPE，AM垂直平分PE；作P点关于AE的对称点，连接M交AE于点O，AM垂直平分PE，ME=MP，EMP=60，MPE=60，EPD=30，=30， MP=30，MP=60，O点与E点重合【点拨】此题考查了全等三角形的判定及性质定理
27、，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键21(1)见分析(2)AE+CD=AC，证明见分析【分析】（1）求出BAC+BCA=180-ABC，根据角平分线定义求出OAC=BAC，OCA=BCA，即可求出OAC+OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证AEOAMO，DCONCO，推出EOA=MOA，CON=COD，OD=ON，求出MON=MOA=45，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解(1)证明：ABC+ACB+BAC=180，BAC+BCA=180-A
28、BC，BAC的平分线AD与BCA的平分线CE交于点OOAC=BAC，OCA=BCA，OAC+OCA=（BAC+BCA）=（180-ABC）=90-ABC，AOC=180-（OAC+OCA）=180-（90-ABC），即AOC=90+ABC；(2)解：AE+CD=AC，证明：如图2，AOC=90+ABC=135，EOA=45，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在AEO和AMO中，AEOAMO，同理DCONCO，EOA=MOA，CON=COD，OD=ON，EOA=MOA=CON=COD=45，MON=MOA=45，过M作MKAD于K，MLON于L，MK=ML，
29、SAOM=AOMK，SMON=ONML，AO=3OD，AN=AM=AE，AN+NC=AC，AE+CD=AC【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键22（1）证明见分析；（2）证明见分析【分析】（1）先证明BAECAD得ABE=ACD，由BAC=90得ABC+ACB=ABE+DBC+ACB=ACD+ACB+DBC=DCB+DBC=90，则BDC=90 ；（2）过点A作AMAD，交BD于点M，证明ABMACD，则AM=AD，则ADM=AMD=45，即可证明ADB=45证明：（1）如图1，BAC=DAE=9
30、0，BAC=BAE+EAC，DAE=CAD+EAC，BAE=CAD，在BA E和CAD中， BAECAD（SAS），ABE=ACD，BAC=90，ABC+ACB=ABE+DBC+ACB=ACD+ACB+DBC=DCB+DBC=90，BDC=90（2）如图2，过点A作AMAD，交BD于点M，BAC=BDC=90，ABM+DBC+ACB=90， ACD+ACB+DBC=90，ABM=ACD，AMAD，MAD=90，BAC=BAM+MAC，DAM=CAD+MAC，BAM=CAD，在ABM和ACD中， ，ABMACD（ASA），AM=AD，MAD=90，ADB=AMD=45【点拨】此题考查全等三角形的
31、判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，证明三角形全等是解题的关键23(1)证明见分析(2)BEC80(3)BEC120，EF2【分析】（1）根据SAS证明即可（2）利用全等三角形的性质解决问题即可（3）同法可证，推出EC=BD=4，由BEC=BAC=120，推出FCE=30即可解决问题（1）证明：如图1中，ABCACBADEAED，EADCAB，EACDAB，AEAD，ACAB，在BAD和CAE中，（2）解：如图1中，设AC交BE于OABCACB50，BAC18011080，ABOECO，EOCAOB，CEOBAO80，即BEC80（3）解：如图2中，CABEAD
32、120，BADCAE，ABAC，ADAE，BADACE，ECBD4，由（2）同理可证BECBAC120，FEC60，CF为中BE边上的高，F90，FCE30，EFEC2.【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型24(1)证明见分析(2)证明见分析(3)证明见分析【分析】(1)根据平行线的性质可得，根据AD为的中线，可得，据此即可证得，即可证得结论；(2)过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H，首先由角平分线的性质可得，再根据垂直的定义及平行线的性质，可证得，据此即可证得，即可证得结论；(3)延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，首先由，AE平分，可得，可求得，据此即可证得，可得，可证得，据此可证得，再根据斜边直角边定理，可证得，据此即可证得结论（1）证明：，AD为的中线，在和中，（2）证明：如图，过点E分别作于点F，于点G，交DC的延长线于点H又AE平分，在和中，DE平分；（3）证明：如图，延长AB交FE延长线于点G，过点G作交CB的延长线于点H，AE平分，在和中， 又，在和中，在和中，即，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义、判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键