1、 2022 年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 1010 题，每题题，每题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ） A2 B C2 D3 2下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ） A B C D 3一组数据 2，4，5，6，5对该组数据描述正确的是（ ） A平均数是 4.4 B中位数是 4.5 C众数是 4 D方差是 9.2 4下列运算正确的是（ ） Aa3b2+2a2b33a5b5 B （2a2b）36a6b3 C22 D+ 5下列尺规作图不能得到平行线的是（ ） A B
2、 C D 6如图，AOE15，OE平分AOB，DEOB交OA于点D，ECOB，垂足为C若EC2，则OD的长为（ ） A2 B2 C4 D4+2 7下列说法正确的是（ ） 若二次根式有意义，则x的取值范围是x1 78 若一个多边形的内角和是 540，则它的边数是 5 的平方根是4 一元二次方程x2x40 有两个不相等的实数根 A B C D 8实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆O1与O2的半径为 3 米，且O1经过O2的圆心O2已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ） A4 米 B6 米 C8 米 D12 米 9如图，菱形ABCD中，AB2，ABC60，矩形BEFG的边EF经过点C，
3、且点G在边AD上，若BG4，则BE的长为（ ） A B C D3 10如图，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DNx，AN+MNy，已知y与x之间的函数图象如图所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（ ） A B2 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 题，每题题，每题 3 3 分，共分，共 1818 分）分） 11截止 2022 年 1 月中国向 120 多个国家和国际组织提供超 20 亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家20 亿用科学记数法表示为 12如图，在ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB3.
4、7，AC2.3，则ADC的周长是 13按一定规律排列的数据依次为，按此规律排列，则第 30 个数是 14 如图，ABBC于点B，ABAD于点A， 点E是CD中点， 若BC5，AD10，BE， 则AB的长是 15如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且ECF45，将ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处已知反比例函数y1和y2分别经过点B、点E，若SCOD5，则k1k2 16如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8
5、 题，共题，共 7272 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明）分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明） 17 （8 分） （1）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解 （2）先化简，再求值： （+1），其中a4sin30（3）0 18 （7 分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图 “平均每天观看冬奥会时长”频数分布表 观看时长（分） 频数（人） 频率 0 x15 2 0.05 15 x30 6 0.15 30 x45 18 a 45 x60 0.25 60 x75 4 0.1
6、（1）频数分布表中，a ，请将频数分布直方图补充完整； （2）九年级共有 520 名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过 60分钟的有 人； （3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率 19 （8 分）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆ABCD于点B某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD1.2m，DE1.4m同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的 1m高的标杆影长为 0.25m（标杆影子在坡面DN上） ，此时光线A
7、E与水平线的夹角为 80.5，求旗杆AB的高度 （参考数据：sin80.50.98，cos80.50.17，tan80.56） 20 （8 分）如图，已知一次函数yax+b与反比例函数y（x0）的图象交于A（2，4） ，B（4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D （1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集； （2）求反比例函数与一次函数的解析式； （3）点P在y轴上，且SAOPSAOB，请求出点P的坐标 21 （8 分）如图，以AB为直径的O与ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD （1）求证：DE是O的切线； （2）若DE5，cosABD，求OE
8、的长 22 （10 分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6600 元，第二批花了 8000 元，第一批每个挂件的进价是第二批的 1.1 倍，且第二批比第一批多购进 50 个 （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个 60 元时，每周能卖出 40 个，若每降价 1 元，每周多卖 10 个，由于货源紧缺，每周最多能卖90 个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2 经过A（，0） ，B（3，）两点，
9、与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，过P作PDx轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使QCB45？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 24 （12 分）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线 （1）如图 1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图 2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M （1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证
10、明；如果不成立，请说明理由； 连接DM，求EMD的度数； 若DM6，ED12，求EM的长 参考答案解析参考答案解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 1010 题，每题题，每题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ） A2 B C2 D3 【分析】根据数轴得到点A表示的数为2，再求2 的相反数即可 【解答】解：点A表示的数为2， 2 的相反数为 2， 故选：C 【点评】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键 2下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ） A B C D 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及
11、圆锥的三视图进行判断即可 【解答】解：A该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意； B该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意； C该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意； D该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意； 故选：D 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提 3一组数据 2，4，5，6，5对该组数据描述正确的是（ ） A平均数是 4.4 B中位数是 4.5 C众数是 4 D方差是 9.2 【分析】将数据按照从小到大重新排列
12、，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得 【解答】解：将这组数据重新排列为 2，4，5，5，6， 所以这组数据的众数为 5，故选项C不合题意； 中位数为 5，故选项B不合题意； 平均数为4.4，故选项A符合题意； 方差为（24.4）2+（44.4）2+2（54.4）2+（64.4）21.84， ，故选项D不合题意； 故选：A 【点评】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义 4下列运算正确的是（ ） Aa3b2+2a2b33a5b5 B （2a2b）36a6b3 C22 D+ 【分析】把每一选项按照运算法则计
13、算后判断结果即可 【解答】解：a3b2+2a2b3不能合并，因为不是同类项，A选项错误； （2a2b）38a6b3，B选项也错误； 22，C选项也错误； +3，D选项正确 故选：D 【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算 5下列尺规作图不能得到平行线的是（ ） A B C D 【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断 【解答】解：通过尺规作图不能得到平行线的为 故选：
14、D 【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线的判定 6如图，AOE15，OE平分AOB，DEOB交OA于点D，ECOB，垂足为C若EC2，则OD的长为（ ） A2 B2 C4 D4+2 【分析】过点E作EHOA于点H，根据角平分线的性质可得EHEC，再根据平行线的性质可得ADE的度数，再根据含 30角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明ODDE，即可求出OD的长 【解答】解：过点E作EHOA于点H，如图所示： OE平分AOB，ECOB， EHEC， AOE15，OE平分AOB， AOC
15、2AOE30， DEOB， ADE30， DE2HE2EC， EC2， DE4， ADE30，AOE15， DEO15， AOEDEO， ODDE4， 故选：C 【点评】本题考查了角平分线的性质，含 30角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键 7下列说法正确的是（ ） 若二次根式有意义，则x的取值范围是x1 78 若一个多边形的内角和是 540，则它的边数是 5 的平方根是4 一元二次方程x2x40 有两个不相等的实数根 A B C D 【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可 【解答】解：若二次
16、根式有意义，则 1x0，解得x1 故x的取值范围是x1，题干的说法是错误的 89，故题干的说法是错误的 若一个多边形的内角和是 540，则它的边数是 5 是正确的 4 的平方根是2，故题干的说法是错误的 （1）241（4）170， 一元二次方程x2x40 有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形 8实验学校的花坛形状如图所
17、示，其中，等圆O1与O2的半径为 3 米，且O1经过O2的圆心O2已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ） A4 米 B6 米 C8 米 D12 米 【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出AO1O2和BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AO1O2AO2O1BO1O2BO2O160，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可 【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2， 等圆O1与O2的半径为 3 米，O1经过O2的圆心O2， AO1AO2BO1BO2O1O23 米， AO1O2和BO1O2是等边三角形， AO1O
18、2AO2O1BO1O2BO2O160， 优弧所对的圆心角的度数是 3606060240， 花坛的周长为 28（米） ， 故选：C 【点评】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键 9如图，菱形ABCD中，AB2，ABC60，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG4，则BE的长为（ ） A B C D3 【分析】过点G作GMBC于点M，过点C作CNAD于点N，由菱形的性质得出ABBCCD2，ADBC，ABCD60，ADBC，由直角三角形的性质求出MG3，证明GBMBCE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案 【解答】解：
19、过点G作GMBC于点M，过点C作CNAD于点N， 四边形ABCD为菱形， ABBCCD2，ADBC，ABCD60，ADBC， MGN90， 四边形GMCN为矩形， GMCN， 在CDN中，D60，CD2， CNCDsin6023， MG3， 四边形BEFG为矩形， E90，BGEF， BCEGBM， 又EBMG， GBMBCE， ， ， BE， 故选：B 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 10如图，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DNx，AN+MNy，已知y与x之间的函数图
20、象如图所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（ ） A B2 C D 【分析】由A、C关于BD对称，推出NANC，推出AN+MNNC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N 四边形ABCD是正方形， O是BD的中点， 点M是AB的中点， N是ABC的重心， NOBO， NDBD， A、C关于BD对称， NANC， AN+MNNC+MN， 当M、N、C共线时，y的值最小， y的值最小就是MC的长， MC2， 设正方形的边长为m，则BMm， 在 R
21、tBCM中，由勾股定理得：MC2BC2+MB2， 20m2+（m）2， m4， BD4， aNDBD4， 故选：A 【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 题，每题题，每题 3 3 分，共分，共 1818 分）分） 11截止 2022 年 1 月中国向 120 多个国家和国际组织提供超 20 亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家20 亿用科学记数法表示为 2109 【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时
22、，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n是负整数 【解答】解：20 亿20000000002109 故答案为：2109 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值 12如图，在ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB3.7，AC2.3，则ADC的周长是 6 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BDCD，进一步即可求出ADC的周长 【解答】解：边BC的垂直平分线DE交AB于点D， BDCD， AB3.7，AC
23、2.3， ADC的周长为AD+CD+ACAB+AC6， 故答案为：6 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键 13按一定规律排列的数据依次为，按此规律排列，则第 30 个数是 【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n30 时即可求解 【解答】解：， 第n个数是， 当n30 时， 故答案为： 【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键 14 如图，ABBC于点B，ABAD于点A， 点E是CD中点， 若BC5，AD10，BE， 则AB的长是 12 【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证BCEFDE，可得DFBC5，B
24、EEF，由勾股定理可求AB的长 【解答】解：如图，延长BE交AD于点F， 点E是DC的中点， DECE， ABBC，ABAD， ADBC， DBCE，FEDBEC， BCEFDE（ASA） ， DFBC5，BEEF， BF2BE13， 在 RtABF中，由勾股定理可得AB12 故答案为：12 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键 15如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且ECF45，将ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处已知反比例函数y1和y2分别经过点B、点E，若SCOD5，则k1k
25、2 10 【分析】作EHy轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得DCHEOH，再证明BCEOCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k1k2的值 【解答】解：作EHy轴于点H， 则四边形BCHE、AEHO都为矩形， ECH45， BCE+OCH45， DOC+OCH45， BCEOCD， BCOC，BCOD， BCEOCD（ASA） ， SBCESCOD5， SCEH5， S矩形BCHE10， 根据反比例函数系数k的几何意义得： k1k2S矩形BCHE10， 故答案为：10 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判
26、定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键 16如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 4 【分析】在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P，此时PA+2PB2（）2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果 【解答】解：如图， 在BAC的外部作CAE15，作BFAE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， AFB90 ABAC，ADBC， CADBAD， EADCAE+CAD30， PF， PA+2PB2（）2（PF+PB）2BF， 在 RtABF中，AB4，BAFBAC+CAE45， BFA
27、Bsin4542， （PA+2PB）最大2BF4， 故答案为：4 【点评】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 题，共题，共 7272 分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明）分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明） 17 （8 分） （1）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解 （2）先化简，再求值： （+1），其中a4sin30（3）0 【分析】 （1）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组的最小整数解 （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简
28、，然后将a的值代入原式即可求出答案 【解答】解： （1）由得：x1， 由得：x2， 不等式组的解集为：2x1， 该不等式组的最小整数解为x2 （2）原式+1 （+） ， 当a4sin30（3）041211 时， 原式4 【点评】本题考查不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型 18 （7 分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图 “平均每天观看冬奥会时长”频数分布表 观看时长（分） 频数（人） 频率 0 x15 2 0.05 15 x30 6 0.15 30 x45 18 a 45
29、 x60 0.25 60 x75 4 0.1 （1）频数分布表中，a 0.45 ，请将频数分布直方图补充完整； （2）九年级共有 520 名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过 60分钟的有 52 人； （3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率 【分析】 （1）根据 0 x15 的频数与频率，求出调查的总人数，再用 30 x45 的频数除以总人数，求出a，然后求出 45x60 的频数，从而补全统计图； （2）用总人数乘以平均每天观看冬奥会时长超过 60 分钟的人数所占的百分
30、比即可； （3） 首先根据题意画出树状图， 然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到甲、 乙两名同学的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）调查的总人数有：20.0540（人） ， a0.45， 45x60 的人数有：400.2510（人） ， 补全统计图如下： （2）估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过 60 分钟的有：5200.152（人） ； 故答案为：52； （3）画树状图得： 共有 12 种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是 2 种， P（恰好抽到甲、乙两名同学） 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频率分布直方图的知识用到的知识点为：概率所求情况数与总情
31、况数之比 19 （8 分）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆ABCD于点B某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD1.2m，DE1.4m同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的 1m高的标杆影长为 0.25m（标杆影子在坡面DN上） ，此时光线AE与水平线的夹角为 80.5，求旗杆AB的高度 （参考数据：sin80.50.98，cos80.50.17，tan80.56） 【分析】设MN为竖直立在坡面DN上的 1m高的标杆，ME为标杆影子，长为 0.25m，作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的
32、高度 【解答】解：如图，设MN为竖直立在坡面DN上的 1m高的标杆，ME为标杆影子，长为 0.25m， 作DFCD交AE于点F，作FHAB于点H， DFMN， ， ， DF5.6， BHDF5.6， 在 RtAHF中，AFH80.5， tanAFH， tan80.56， AH7.2， 旗杆AB的高度为 5.6+7.212.8（m） 【点评】本题考查了锐角三角函数和相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定 20 （8 分）如图，已知一次函数yax+b与反比例函数y（x0）的图象交于A（2，4） ，B（4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于
33、点C、点D （1）根据图象直接写出不等式ax+b的解集； （2）求反比例函数与一次函数的解析式； （3）点P在y轴上，且SAOPSAOB，请求出点P的坐标 【分析】 （1）通过图象位置关系解不等式 （2）用待定系数法法求解析式 （2）先求AOB的面积，再求P的坐标 【解答】解： （1）当y的图象在yax+b图象的下方时，ax+b成立， 2x4 （2）将A（2，4）代入y得：8m， 反比例函数为：y 将A（2，4） ，B（4，2）代入yax+b得：， 解得：， 一次函数的表达式为：yx+6 （3）在yx+6 中，当y0 时，x6， C（6，0） SABOSAOCSBOC OC（yAyB） 62
34、6， SAOP63， P在y轴上， OP|xA|3， OP3 P（0，3）或（03） 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键 21 （8 分）如图，以AB为直径的O与ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD （1）求证：DE是O的切线； （2）若DE5，cosABD，求OE的长 【分析】 （1）连接OD，可推出BDC90，进而得出DEBE，进而证明DOEBOE，进一步得出结论； （2）可推出CABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE 【解答】 （1）证明：如图， 连接O
35、D， AB为O的直径， BDCADB90， E是BC的中点， DEBEEC， 在DOE和BOE中， ， DOEBOE（SSS） ， ODEABC90， ODDE 点D在O上， DE是O的切线； （2）解：ABC90， BAD+CBD90， 由（1）知：BDC90，BC2DE， C+DBC90，BC2DE10， CABD， 在 RtABC中， AC， OAOB，BECE， OE 【点评】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识 22 （10 分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了 6600 元，第二批花了 8
36、000 元，第一批每个挂件的进价是第二批的 1.1 倍，且第二批比第一批多购进 50 个 （1）求第二批每个挂件的进价； （2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个 60 元时，每周能卖出 40 个，若每降价 1 元，每周多卖 10 个，由于货源紧缺，每周最多能卖90 个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 【分析】 （1） 设第二批每个挂件的进价为x元， 则第一批每个挂件的进价为 1.1x元， 根据题意列出方程，求解即可； （2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据
37、“每周最多能卖 90 个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论 【解答】解： （1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为 1.1x元， 根据题意可得，+50， 解得x40 经检验，x40 是原分式方程的解，且符合实际意义， 1.1x44 第二批每个挂件的进价为 40 元 （2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元， 根据题意可知，w（y40）40+10（60y）10（y52）2+1440， 100， 当x52 时，y随x的增大而减小， 40+10（60y）90， y58， 当y58 时，w取最大，此时w10（5852）2+14401080 当每个挂件售价定为 58
38、 元时，每周可获得最大利润，最大利润是 1080 元 【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键 23 （11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+2 经过A（，0） ，B（3，）两点，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，过P作PDx轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使QCB45？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线
39、的解析式； （2）设出点P的坐标，确定出PDCO，由PDCO，列出方程求解即可； （3）过点D作DFCP交CP的延长线于点F，过点F作y轴的平行线EF，过点D作DEEF于点E，过点C作CGEF于点G，证明DEFFGC（AAS） ，由全等三角形的性质得出DEFG，EFCG，求出F点的坐标，由待定系数法求出直线CF的解析式，联立直线CF和抛物线解析式即可得出点P的坐标 【解答】解： （1）将点A（，0） ，B（3，）代入到yax2+bx+2 中得： ，解得：， 抛物线的解析式为yx2+x+2； （2）设点P（m，m2+m+2） ， yx2+x+2， C（0，2） ， 设直线BC的解析式为ykx+c
40、， ，解得， 直线BC的解析式为yx+2， D（m，m+2） ， PD|m2+m+2m2|m23m|， PDx轴，OCx轴， PDCO， 当PDCO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形， |m23m|2，解得m1 或 2 或或， 点P的横坐标为 1 或 2 或或； （3）当Q在BC下方时，如图，过B作BHCQ于H，过H作MNy轴，交y轴于M，过B作BNMH于N， BHCCMHHNB90， QCB45， BHC是等腰直角三角形， CHHB， CHM+BHNHBN+BHN90， CHMHBN， CHMHBN（AAS） ， CMHN，MHBN， H（m，n） ， C（0，2） ，B（3，）
41、 ， ，解得， H（，） ， 设直线CH的解析式为ypx+q， ，解得， 直线CH的解析式为yx+2， 联立直线CF与抛物线解析式得， 解得或， Q（，） ； 当Q在BC上方时，如图，过B作BHCQ于H，过H作MNy轴，交y轴于M，过B作BNMH于N， 同理得Q（，） 综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键 24 （12 分）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线 （1）如图
42、1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 AECF ，位置关系是 AECF ； （2）如图 2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M （1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； 连接DM，求EMD的度数； 若DM6，ED12，求EM的长 【分析】 （1）证明ADECDF（SAS） ，由全等三角形的性质得出AECF，DAEDCF，由直角三角形的性质证出EMC90，则可得出结论； （2）同（1）可证ADECDF（SAS） ，由全等三角形的性质得出AECF，EF，则可得出结
43、论； 过点D作DGAE于点G，DHCF于点H， 证明DEGDFH（AAS） ， 由全等三角形的性质得出DGDH，由角平分线的性质可得出答案； 由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案 【解答】解： （1）ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线， ADBDCD，ADBC， ADECDF90， 又DEDF， ADECDF（SAS） ， AECF，DAEDCF， DAE+DEA90， DCF+DEA90， EMC90， AECF 故答案为：AECF，AECF； （2）（1）中的结论还成立， 理由：同（1）可证ADECDF（SAS） ， AECF，EF， F+ECF90， E+ECF90， EMC90， AECF； 过点D作DGAE于点G，DHCF于点H， EF，DGEDHF90，DEDF， DEGDFH（AAS） ， DGDH， 又DGAE，DHCF， DM平分EMC， 又EMC90， EMDEMC45； EMD45，DGM90， DMGGDM， DGGM， 又DM6， DGGM6， DE12， EG6， EMGM+EG6+6 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键