1、北京市东城区20212022学年高一上期末数学试题一、选择题共10小题，每小题3分，共30分 1. 已知全集，则（ ）A B. C. D. 2. 在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为（ ）A. B. C. D. 3. 已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 24. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 5. 设，则（ ）A. B. aC. D. 6. 函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 7. 设，则（ ）A. B. C. D. 8. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条
2、件9. 某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：0xy0200则的解析式为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域是，那么函数在区间上（ ）A. 有最小值无最大值B. 有最大值无最小值C. 既有最小值也有最大值D. 没有最小值也没有最大值第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共5小题，每小题3分，共15分11. 函数最小值为_12. 已知幂函数（是常数）图象经过点，那么_13. 已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为_14. 已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为_15. 设函数，则是_（填“奇函数”或“偶函数”）；对于一
3、定的正数T，定义则当时，函数的值域为_三、解答题共6小题，共55分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知集合，集合（1）当时，求；（2）当时，求m的取值范围17. 已知函数（1）若，求不等式的解集；（2）若，求在区间上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围18. 已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件：图象关于点对称；条件：的图象关于直线对称（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分19. 已知函数（1
4、）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；（2）设（k为常数）有两个零点，且，当时，求k的取值范围20. 人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（时，1环表示距离城市中心03公里的圈层；时，2环表示距离城市中心36公里的圈层；以此类推
5、）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：年份b20062.20.1320162.30.10（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；（2）2016年该市某环处人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环（参考数据：）21. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，都有；对任意（1）求；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）北京市东城区20212022学年高一上期末数学试题一、选择题共10小题，每小题3分，共
6、30分 1. 已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以；故选：C2. 在直角坐标系中，已知，那么角的终边与单位圆坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求解即可【详解】因为，所以角的终边与单位圆坐标为，故选：A3. 已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.4. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
7、析】根据指数函数和幂函数的图象性质即可判断.【详解】根据指数函数和幂函数的图象性质可得B选项符合.故选：B.5. 设，则（ ）A. B. aC. D. 【答案】C【解析】【分析】由求出的值，再由诱导公式可求出答案【详解】因为，所以，所以，故选：C6. 函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数的单调性，利用函数零点存在性定理，即可得解.【详解】由为减函数，而也为减函数，所以为减函数，由，所以零点在区间上，故选：B7. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得；【详解】解：因为，即，又，即，又
8、，即，所以；故选：D8. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】若，如，则，故充分性不成立；若，则，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.9. 某同学用“五点法”画函数在一个周期内的简图时，列表如下：0xy0200则的解析式为（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】由表格中的五点，由正弦型函数的性质可得、求参数，即可写出的解析式.【详解】由表中数据知：且，则，即，又，可得.故选：D.10. 已知函数的定义域是，那么函数在区间上
9、（ ）A. 有最小值无最大值B. 有最大值无最小值C. 既有最小值也有最大值D. 没有最小值也没有最大值【答案】A【解析】【分析】依题意不等式的解集为，即可得到且，再根据二次函数的性质计算在区间上的单调性，即可得到函数的最值；【详解】解：因为函数的定义域是，即不等式的解集为，所以且，即，所以，函数开口向上，对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，所以，没有最大值；故选：A第二部分（非选择题 共70分）二、填空题共5小题，每小题3分，共15分11. 函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据正弦型函数的性质求的最小值.【详解】由正弦型函数的性质知：，的最小值为.故答案为：.12. 已知幂函数（是
10、常数）的图象经过点，那么_【答案】【解析】【分析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；【详解】解：因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以；故答案：13. 已知函数是定义在R上的增函数，且，那么实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用函数单调性的定义求解即可.【详解】由已知条件得，解得， 则实数的取值范围为.故答案为：.14. 已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出的图象，如下图所示：关于的方程有且仅
11、有一个实数根，函数的图象与有且只有一个交点，由图可知，则实数的取值范围是.故答案为：.15. 设函数，则是_（填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数T，定义则当时，函数的值域为_【答案】 . 偶函数 . 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性；分别求出分段函数每段上的值域，从而求出的值域为.【详解】函数定义域为R，且，故是偶函数；，因为，所以，当时，当时，故的值域为故答案为：偶函数，三、解答题共6小题，共55分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知集合，集合（1）当时，求；（2）当时，求m的取值范围【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用集合的交运算求即可
12、.（2）根据已知，由集合的交集结果可得，即可求m的取值范围【小问1详解】由题设，而，.【小问2详解】由，显然，可得.17. 已知函数（1）若，求不等式解集；（2）若，求在区间上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x值；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1） （2）当时函数取得最小值，当时函数取得最大值； （3）【解析】【分析】（1）根据，代入求出参数的值，再解一元二次不等式即可；（2）首先由求出的值，再根据二次函数的性质求出函数在给定区间上的最值；（3）参变分离可得对任意恒成立，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解；【小问1详解】解：因为且，所以，解得，
13、所以，解，即，即，解得，即原不等式的解集为；【小问2详解】解：因为，所以，所以，所以，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数取得最小值，当时函数取得最大值；【小问3详解】解：因为对任意，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立，因为当且仅当，即时取等号；所以，即，所以18. 已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件：的图象关于点对称；条件：的图象关于直线对称（1）请写出你选择的条件，并求的解析式；（2）在（1）的条件下，求的单调递增区间注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据周期可得
14、，选择条件：由可求出；选择条件：由可求出；（2）令可求出单调递增区间.【小问1详解】的最小正周期为，则.选择条件：因为的图象关于点对称，所以，则，因为，所以，则；选择条件：因为的图象关于直线对称，所以，则，、因为，所以，则；【小问2详解】由（1），令，解得，所以的单调递增区间为.19. 已知函数（1）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；（2）设（k为常数）有两个零点，且，当时，求k的取值范围【答案】（1）在区间上的单调递减，证明详见解析； （2）【解析】【分析】（1）在区间上的单调递减，任取，且，再判断的符号即可；（2）令，得到，根据，转化为有两个零点，且，求解.【小问1详解】
15、解：在区间上的单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，因为，所以，所以，即，所以在区间上的单调递减；【小问2详解】令，则 ，因为 ，所以 ，则 ，即，因为（k为常数）有两个零点，且，所以（k为常数）有两个零点，且，所以，解得.20. 人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况其中x是圈层序号，
16、将圈层序号是x的区域称为“x环”（时，1环表示距离城市中心03公里的圈层；时，2环表示距离城市中心36公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：年份b20062.20.1320162.30.10（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；（2）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环（参考数据：）【答案】（1）1.7 （2）4【解析】【分析】（2）根据表中数据，由求解；（2）根据2016年该市某环处的人
17、口密度为市中心人口密度的，由求解.【小问1详解】解：由表中数据得：；【小问2详解】因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，所以，即，所以，解得，所以该环是这个城市的4环.21. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数x，y，都有；对任意（1）求；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）【答案】（1） （2）为偶函数，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）令，化简可求出，（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，（3）利用赋值求解即可【小问1详解】令，则，得或，因对任意，所以【小问2详解】为偶函数证明：令，则，得，所以为偶函数【小问3详解】令，则，因为，所以，当时，当时，当时，当时， ，所以即当时，所以函数的零点为