1、北京市顺义区2021-2022学年高一上期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 4. 设命题，使得，则命题为的否定为（ ）A. ，B. ，使得C. ，D. ，使得5. 已知函数的图象经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 7. 函数的零点个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数，
2、则函数在上单调递增，是恒成立的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:第一档水量为240立方米/户年及以下部分；第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；第三档水量为360立方米/户年以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年整年用水花
3、费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）.A. 474立方米B. 482立方米C. 520立方米D. 540立方米二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11. _.12. 已知函数，则当_时，函数取到最小值且最小值为_.13. 函数恒过定点_.14. 使得成立的一组，的值分别为_.15. 关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间单调递增的最大值为1 在有4个零点其中所有正确结论的编号是_.三、解答题共6道题，共85分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知关于不等式解集为.（1）若，求的值；（2）若，求实数取值范围；（3）若非空集合，请直接写出符
4、合条件的整数的集合.17. 在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，. （1）求，的值；（2）求的值.18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.19. 已知函数（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）若函数为奇函数，求满足不等式实数的取值范围.20. 为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含
5、量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.（1）求从药物释放开始，与的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.21. 若函数在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”.（1）函数是否有漂移点？请说明理由；（2）证明函数在上有漂移点；（3）若函数 在上有漂移点，求实数取值范围.北京市顺义区2021-2022学年高一上期末数学试卷一、选择题
6、共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合， 根据集合的交集的概念及运算，可得.故选：B.2. 下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的定义逐个分析判断【详解】对于A，定义域为，因为，所以是偶函数，所以A错误，对于B，定义域为，因为，且，所以是非奇非偶函数，所以B错误，对于C，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以C错误，对于D，定义域为，因为，所以是奇函数，所以D正确，故选：D3. 函数的定义域为（
7、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由被开方数非负求解即可【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故选：A4. 设命题，使得，则命题为的否定为（ ）A. ，B. ，使得C. ，D. ，使得【答案】C【解析】【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答.【详解】依题意，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题的否定是：，.故选：C5. 已知函数的图象经过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值即可.【详解】因为函数的图象经过点，所以，则.故选：C.6. 已知，则，的大小关系
8、是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件利用指数、对数函数的性质直接比较作答.【详解】函数R上单调递增，而，则，又，即，函数在上单调递增，则，所以.故选：A7. 函数的零点个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.详解】由得：，即，解得，即，所以函数的零点个数为2.故选：C8. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对于ACD，举例判断，对于B，分两种情况判断详解】对于A，若时，满足，而不满足，所以A错误，对于B，当时，则一定成立，当时，由，得，则，所以
9、B正确，对于C，若时，满足，而不满足，所以C错误，对于D，若时，则满足，而不满足，所以D错误，故选：B9. 已知函数，则函数在上单调递增，是恒成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义证明即可.【详解】因为函数在上单调递增，则，恒成立，即恒成立，即.所以 “”是“”的充分不必要条件.故选：A.10. 某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:第一档水量为240立方米/户年及以下部分；第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；第
10、三档水量为360立方米/户年以上部分.家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）.A. 474立方米B. 482立方米C. 520立方米D. 540立方米【答案】D【解析】【分析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.【详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.若时，则；若时，则；若时，则.令，解得：故选：D第二部分（非选择题 共110
11、分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11. _.【答案】【解析】【详解】试题分析：由题：考点：三角函数的诱导公式.12. 已知函数，则当_时，函数取到最小值且最小值为_.【答案】 . . 【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当即等号成立.故答案为：；.13. 函数恒过定点_.【答案】【解析】【分析】根据函数图象平移法则和对数函数的性质求解即可【详解】将的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到的图象，因为的图象恒过定点，所以恒过定点，故答案为：14. 使得成立的一组，的值分别为_.【答案】，（不唯一）【解析】【分析】使得成立，
12、只需，举例即可.【详解】使得成立，只需，所以,，使得成立的一组，的值分别为，故答案为：，（不唯一）15. 关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间单调递增的最大值为1 在有4个零点其中所有正确结论的编号是_.【答案】【解析】【分析】利用奇偶性定义可判断；时，可判断；分、时求出可判断故； 时，由可判断.【详解】因为，所以正确；当时，当时，时，单调递减，故错误；当时，；当时，综上的最大值为1，故正确； 时，由得，解得，由不存在零点，所以在有2个零点，故错误.故答案为：.三、解答题共6道题，共85分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知关于不等式的解集为.（1）若，求的值；（2）若
13、，求实数的取值范围；（3）若非空集合，请直接写出符合条件的整数的集合.【答案】（1）3； （2）； （3）.【解析】【分析】(1)由给定解集可得2，3是方程的二根即可求解作答.(2)根据给定条件列出关于a的不等式求解作答.(3)分a大于2或小于2两类讨论作答.【小问1详解】因方程的根为或，而不等式的解集为，则2，3是方程的二根，所以.【小问2详解】因为，即有，解得：，所以实数的取值范围为.【小问3详解】因非空，则，当时，显然集合不是集合的子集，当时，而，则，所以整数的集合是.17. 在平面直角坐标系中，角（）和角（）的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的
14、纵坐标分别为，. （1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）先利用任意角的三角函数的定义求出，再利用同角三角函数的关系可求得答案，（2）先利用诱导公式化简，再代值计算即可【小问1详解】因为在平面直角坐标系中, 角，的顶点均与坐标原点重合，终边分别与单位圆交于两点，且两点的纵坐标分别为，又因为，根据三角函数的定义得：，所以，所以，.【小问2详解】18. 已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若当时，求的最大值和最小值及相应的取值.【答案】（1）最小正周期为， （2）最小值为-1，的值为，最大值为2，的值为【解析】【分析】（1）利用周期公式可得最
15、小正周期，由的单调递增区间可得的单调递增区间；（2）由得，当，即时，函数取得最大值，当，即时，函数取得最小值可得答案.【小问1详解】函数的最小正周期为，令因为的单调递增区间是，由 ，解得，所以，函数的单调递增区间是.【小问2详解】令，因为，所以，即， 当，即时，函数取得最大值，因此的最大值为，此时自变量的值为；当，即时，函数取得最小值，因此的最小值为，此时自变量的值为.19. 已知函数（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）若函数为奇函数，求满足不等式的实数的取值范围.【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3）【解析】【
16、分析】（1）利用奇函数的定义可得的值；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据的奇偶性和单调性可得的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为，因为为奇函数，所以， 所以，所以，所以.【小问2详解】函数在上单调递减. 下面用单调性定义证明：任取，且，则因为在上单调递增，且，所以，又，所以，所以函数在上单调递减.【小问3详解】因为为奇函数，所以，由得，即， 由（2）可知,函数在上单调递减，所以， 即，解得或，所以的取值范围为.20. 为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单
17、位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.（1）求从药物释放开始，与的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.【答案】（1）； （2）可以，理由见解析.【解析】【分析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答.(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答.【小问1详解】依题意，当时，设，因函数的图象经过点A，即，解得，又当时，解得，而图象过点，则
18、，因此，所以与的函数关系式是.【小问2详解】由(1)知，因药物释放完毕后有，则当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下，有，解得：，因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21. 若函数在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”.（1）函数是否有漂移点？请说明理由；（2）证明函数在上有漂移点；（3）若函数 在上有漂移点，求实数的取值范围.【答案】（1）没有，理由见解析； （2）证明见解析；
19、 （3）.【解析】【分析】(1)根据给定定义列方程求解判断作答.(2)根据给定定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答.(3)根据给定定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答.【小问1详解】假设函数有“漂移点”，则，此方程无实根，所以函数没有漂移点.【小问2详解】令，则，有，即有，而函数在单调递增，因此，在上有一个实根，所以函数在上有漂移点.小问3详解】依题意，设在上的漂移点为，则，即，亦即，整理得：，由已知可得，令，则在上有零点，当时，的图象的对称轴为，而，则，即，整理得，解得，则，当时，0，则不成立，当时，在上单调递增，又，则恒大于0，因此，在上没有零点.综上得，.【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数的图象及其性质，利用数形结合的方法解决问题.