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北京市通州区2022年高一下期末数学试卷(含答案解析)

1、北京市通州区2021-2022学年高一下期末质量检测数学试卷一选择题共10小意,每小题4分,共40分.1. 已知向量,且,则( )A. B. C. D. 2. 已知复数(其中i是虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某市6月前10天空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,则这组数据的第75百分位数是( )A. 85B. 85.5C. 86D. 98.54. 如图,在长方体中,则下列结论正确的是( )A. 点平面B. 直线平面C. 直线与直线是相交直线D. 直线与直线是异面直线5. 抛掷一颗

2、质地均匀的骰子,有如下随机事件:“点数不大于3”,“点数大于3”,“点数大于5”;“点数为奇数”;“点数为i”,其中.下列结论正确的是( )A. B. C. 与互斥D. 与互为对立6. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有1个白色球,3个黑色球,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则两个球都是黑色球的概率是( )A. B. C. D. 7. 已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则8. 如图,在长方体中,则下列结论:直线与直线所成的角为;直线与平面所成的角为;平面与平面所成二面角为;平面与平面所成的二面角为直二面

3、角.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 如图,点O是正六边形的中心,则下面结论正确的是( )A. B. C. D. 向量与能构成一组基底10. 在中,角A,B,C所对边分别为,的角平分线交于点D,则( )A. B. C. D. 二填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 某单位共有职工人,其中高级职称人,中级职称人,初级职称人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本,则从高级职称中抽取的人数为_.12. 已知(其中i为虚数单位),则_;_.13. 如图,在正方体中,则四棱锥的表面积为_;若该正方体的顶点都在球O的球面上,则球O的体积为_.14. 小李同学一周

4、的总开支分布如下表所示,一周的食品开支如下图所示,则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为_.占比日常娱乐食品通信储蓄其他15. 如图,在正方体中,E为的中点,F为正方体棱的中点,则满足条件直线平面的点F的个数是_.三解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为一号和二号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;(2)求下列事件的概率;“两个点数之和是5”;“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.17. 如图,在正方体中,.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线和平

5、面所成的角.18. 如图,在三棱维中,平面平面.(1)求证:;(2)求证:平面.19 已知点.(1)求;(2)若点M满足,求M的坐标;(3)若点N满足,且,求的值.20. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,过点A的平面与棱分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证:平面平面;(2)若平面,(i)求的值;(ii)求三棱锥的体积.21. 小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛,每局两人比赛,没有平局,一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲概率为,小明胜乙的概率为,甲胜乙的概率为,比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛,后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的

6、比赛,在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者,比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的,所以让小明决定第一局的两个比赛者(小明可以选定自己比赛,也可以选定甲乙比赛).(1)若小明选定第一局由甲、乙比赛,求“只进行三局,小明就成为获胜者”的概率;(2)请帮助小明进行第一局的决策,使得小明最终成为获胜者的概率最大,说明理由.北京市通州区2021-2022学年高一下期末质量检测数学试卷一选择题共10小意,每小题4分,共40分.1. 已知向量,且,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求即可.【详解】向量,且, ,解得:.故选:D.2. 已知复数(其

7、中i是虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行计算,再确定所在复平面的象限.【详解】因为,所以在复平面对应的点位于第四象限.故选:D.3. 某市6月前10天的空气质量指数为35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,则这组数据的第75百分位数是( )A. 85B. 85.5C. 86D. 98.5【答案】C【解析】【分析】按照求解百分位数的流程,先计算出,故选取第8个数作为第75百分位数.【详解】,故从小到大排列后,35,53,54,58,72,80,85,86,111,125,

8、 取第8个数作为第75百分位数,第8个数是86,故选:C4. 如图,在长方体中,则下列结论正确的是( )A. 点平面B. 直线平面C. 直线与直线是相交直线D. 直线与直线是异面直线【答案】D【解析】【分析】根据给定图形,利用点、线、面的位置关系判断作答.【详解】在长方体中,直线平面,点,且不重合,即点平面,A不正确;点平面,点平面,即直线平面,B不正确;直线平面,则与平面无公共点,直线平面,所以直线与直线没有公共点,C不正确;直线平面,即直线与平面无公共点,直线平面,则直线与直线没有公共点,又,直线,即直线与直线不平行,因此直线与直线是异面直线,D正确.故选:D5. 抛掷一颗质地均匀的骰子,

9、有如下随机事件:“点数不大于3”,“点数大于3”,“点数大于5”;“点数为奇数”;“点数为i”,其中.下列结论正确的是( )A. B. C. 与互斥D. 与互为对立【答案】B【解析】【分析】利用事件的关系与运算判断A,B;利用互斥事件与对立事件的意义判断C,D作答.【详解】因事件含有“点数为2”的基本事件,而事件不含这个基本事件,A不正确;事件含有3个基本事件:“点数为1”,“点数为3”, “点数为5”,即,B正确;事件与都含有“点数为6”的基本事件, 与不互斥,C不正确;事件与不能同时发生,但可以同时不发生,与不对立,D不正确.故选:B6. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有1个白色

10、球,3个黑色球,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则两个球都是黑色球的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】给4个球编号,利用古典概率公式借助列举法计算作答.【详解】记1个白色球为A,3个黑色球为b,c,d,依题意,从袋中不放回地依次随机摸出2个球的概率问题,相当于随机摸出两个球的概率问题,从袋中随机摸出两个球的试验的不同结果是:Ab,Ac,Ad,bc,bd,cd,共有6个,两个球都是黑色球的事件含有的结果为:bc,bd,cd,共有3个,所以两个球都是黑色球的概率是.故选:C7. 已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A. 若,则B. 若

11、,则C. 若,则D. 若,则【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系即可逐一判断.【详解】若,则可能平行,可能异面,故A错误;根据平行线中的一条平行于平面,则另一条也平行于平面,故B正确,则或,故C错误,不一定垂直于,故D 错误,故选:B8. 如图,长方体中,则下列结论:直线与直线所成的角为;直线与平面所成的角为;平面与平面所成的二面角为;平面与平面所成的二面角为直二面角.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】对于,由,则直线与直线所成角与直线与直线所成的角相等,即,利用锐角三角函数计算即可;对于,由平面,得到直线与平面所成的角为,再利

12、用锐角三角函数计算即可; 对于,知平面,由线面垂直的性质得 ,从而得到平面与平面所成的二面角为,计算即可; 对于,知平面,由面面垂直的判定定理得到 平面平面,即可得出结论.【详解】对于,由题意得,则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等,即,在长方体中,所以,因为,所以,即直线与直线所成的角为,故正确;对于,在长方体中,平面,所以直线与平面所成的角为,因为,所以,则直线与平面所成的角为,故正确;对于,在长方体中,平面,平面,平面,所以,又因为平面平面,所以平面与平面所成的二面角为,由得,则平面与平面所成的二面角为,故错误;对于,在长方体中,平面,平面,所以平面平面,则平面与平面所成的二面角

13、为直二面角,故正确;故选:C.9. 如图,点O是正六边形的中心,则下面结论正确的是( )A. B. C. D. 向量与能构成一组基底【答案】A【解析】【分析】由正六边形性质及向量加法的线性运算可判断每一个选项.【详解】对于A,由正六边形的性质可知,所以,故A正确;对于B,由正六边形的性质可知,从而可知与不可能共线,故B不正确;对于C,故C不正确;对于D,由正六边形的性质可知与平行,故向量与不能构成一组基底,故D不正确.故选:A10. 在中,角A,B,C所对的边分别为,的角平分线交于点D,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角形面积相等,即可求解.【详解】解:如图所示

14、,,即即,故选:D.二填空题共5小题,每小题5分,共25分.11. 某单位共有职工人,其中高级职称人,中级职称人,初级职称人.现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本,则从高级职称中抽取的人数为_.【答案】【解析】【分析】利用分层抽样可计算得出从高级职称中抽取的人数.【详解】设高级职称中抽取的人数为,则,解得.故答案为:.12. 已知(其中i为虚数单位),则_;_.【答案】 . 2 . 【解析】【分析】根据复数相等以及复数的模,即可求解.【详解】解:,所以,所以,故答案为:2;.13. 如图,在正方体中,则四棱锥的表面积为_;若该正方体的顶点都在球O的球面上,则球O的体积为_.【答案】 .

15、# . 【解析】【分析】由四棱锥的结构特征求出各个面的面积作答,求出正方体外接球半径即可计算得解.【详解】在正方体中,平面,平面,平面,因此,在四棱锥中,而,所以四棱锥的表面积;正方体外接球O的直径是正方体的体对角线长,则球O的半径,所以球O的体积为.故答案为:;14. 小李同学一周的总开支分布如下表所示,一周的食品开支如下图所示,则小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比约为_.占比日常娱乐食品通信储蓄其他【答案】20%【解析】【分析】利用条形图求出蔬菜开支占食品开支的比例,再结合数表即可求解作答.【详解】由条形图知,小李同学一周的蔬菜开支占食品开支的比例是:,而一周的食品开支占总开支的百分比

16、60%,所以小李同学一周的蔬菜开支占总开支的百分比为:.故答案为:20%15. 如图,在正方体中,E为的中点,F为正方体棱的中点,则满足条件直线平面的点F的个数是_.【答案】【解析】【分析】为了得到直线平面,只需求得平面平面,即平面内的任意一条直线都与平面平行,进而求得点的个数.【详解】分别取的中点,连接,在正方体中,四边形是平行四边形,又平面,平面,平面,同理平面,又,平面,平面,平面平面,平面内的任意一条直线都与平面平行,则满足条件直线平面的点可以是的任何一个, 点F的个数是个.故答案为:.三解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 抛掷两枚质地均匀的骰子(

17、标记为一号和二号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;(2)求下列事件的概率;“两个点数之和是5”;“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”.【答案】(1),是古典概型; (2);.【解析】【分析】(1)确定试验每个样本点的构成,写出样本空间,再判断样本空间的样本点个数及是否等可能作答.(2)用列举法分别写出事件A,B所含样本点,再由古典概率公式计算作答.【小问1详解】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果,用数字表示一号骰子出现的点数,用数字表示二号骰子出现的点

18、数,则数组表示这个试验的一个样本点,所以这个试验的样本空间为:,样本空间共有36个样本点,由于骰子的质地均匀,因此各个样本点出现的可能性相等,所以这个试验是古典概型.【小问2详解】由(1)知,事件A所含样本点为:,共4个,所以;事件B所含样本点为: ,共15个,所以.17. 如图,在正方体中,.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求直线和平面所成的角.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)【解析】【分析】(1)由线面平行的判定可证明;(2)先证明线线垂直,从而可得线面垂直;(3)由(2)可得即为所求的角,再解三角形即可.【小问1详解】证明:因为在正方体中,可知,而平面,平面,

19、所以平面.【小问2详解】证明:因为在正方体中,可知平面,且平面,所以,又因为、是正方形的对角形,因此,又,且平面,所以平面.【小问3详解】设与的交点为,连接,由(2)可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形,设正方体棱长为2,可得,所以,因此直线和平面所成的角为.18. 如图,在三棱维中,平面平面.(1)求证:;(2)求证:平面.【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定、性质推理作答.(2)在平面内过点A作于,利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答.【小问1详解】在三棱维中,因,平面,于是得平面,而平面,所以.【小问2详解】在平面内过点A作于,

20、如图,因平面平面,平面平面,则有平面,而平面,于是得,由(1)知,平面,所以平面.19. 已知点.(1)求;(2)若点M满足,求M的坐标;(3)若点N满足,且,求的值.【答案】(1)16 (2) (3)当时, ,当时, 【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标表示,即可求解.(2) 根据向量的坐标加减法,即可求解.(3)根据向量的数量积和模的坐标表示,即可求解.【小问1详解】解:【小问2详解】解:设,即,得.【小问3详解】解:设,得,解得或,当时,得,解得当时,得,解得20. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,过点A的平面与棱分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处).(1)求证

21、:平面平面;(2)若平面,(i)求的值;(ii)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析 (2)(i);(ii)【解析】【分析】(1)先用线面垂直的判定证明平面,可得平面平面 (2)(i)由题意可得,再得是的中点,所以 (ii)根据平面,可得,进一步可得,再求得到平面的距离从而可得体积【小问1详解】因为平面,且平面,所以因为为正方形,所以,又,且平面,所以平面,又平面,所以平面平面小问2详解】(i)连接因为 平面,所以 由,及为正方形,可得,因此,所以 是的中点 所以 (ii)由题意,可得,从而可知为直角三角形,且,又因为平面,可得,因此可得,所以,即,所以.设到平面的距离为,根据底面,从而有

22、,所以21. 小明同学与甲、乙二位同学进行一场乒乓球比赛,每局两人比赛,没有平局,一局决出胜负.已知每局比赛小明胜甲的概率为,小明胜乙的概率为,甲胜乙的概率为,比赛胜负间互不影响.规定先由其中2人进行第一局比赛,后每局胜者再与此局未比赛的人进行下一局的比赛,在比赛中某人首先获胜两局就成为这次比赛的获胜者,比赛结束.因为小明是三人中水平最弱的,所以让小明决定第一局的两个比赛者(小明可以选定自己比赛,也可以选定甲乙比赛).(1)若小明选定第一局由甲、乙比赛,求“只进行三局,小明就成为获胜者”的概率;(2)请帮助小明进行第一局的决策,使得小明最终成为获胜者的概率最大,说明理由.【答案】(1); (2

23、)小明与乙比赛,理由见解析.【解析】【分析】(1)把“只进行三局,小明就成为获胜者”的事件分拆成两个互斥事件的和,再求出每个事件的概率即可计算作答.(2)按第一局比赛双方分成3种情况,分别计算出小明最终成为获胜者的概率,再比较大小作答.【小问1详解】第一局由甲、乙比赛,“只进行三局,小明就成为获胜者”事件A,第一局甲胜,第二局小明胜,第三局小明胜的事件,第一局乙胜,第二局小明胜,第三局小明胜的事件,事件与互斥,,,则有,所以“只进行三局,小明就成为获胜者”的概率是.【小问2详解】第一局小明与甲比赛,小明最终成为获胜者的事件,是以下3个互斥事件的和:小明胜甲,小明胜乙的事件;小明胜甲,乙胜小明,甲胜乙,小明胜甲的事件;甲胜小明,乙胜甲,小明胜乙,小明胜甲的事件,第一局小明与乙比赛,小明最终成为获胜者的事件,是以下3个互斥事件的和:小明胜乙,小明胜甲的事件;小明胜乙,甲胜小明,乙胜甲,小明胜乙的事件;乙胜小明,甲胜乙,小明胜甲,小明胜乙的事件,第一局由甲与乙比赛,小明最终成为获胜者,只能是小明连胜两局,由(1)知小明最终成为获胜者的概率是,显然,所以第一局小明与乙比赛,小明最终成为获胜者的概率最大.【点睛】关键点睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,相互独立事件的积是解题的关键.