1、北京市丰台区2021-2022学年高一下期末练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 2. 已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（ ）A. 20B. 47C. 60D. 943. 值是A. B. C. D. 4. 中，记，将等式右边展开，整理得（ ）A. B. C. D. 5. 已知向量，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ）A. ，B. ，C. ，2D. ，26. 如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的现用一竖直的平面去截这个几何
2、体，则截面图形不可能是（ ）A. B. C. D. 7. 已知直线，与平面，能使成立的条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，8. 古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数记，则（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在直角梯形中，若为中点，则（ ）A. 1B. C. 2D. 410. 如图，在棱长为的正方体中，、是棱上任意两点，且，、是正方形及其内部的动点，且，则四面体的体积的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若一个球表面积与其体积在数值上相等，则此球的
3、半径为_.12. 在中，若，则的面积为_13. 如果为纯虚数，那么_14. 木工小张在处理如图所示一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足_（选出你认为正确的全部结论）；与直线相交；与直线相交15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则_三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，（1）求；（2）若，求17. 已知两个单位向量、的夹角为，若向量，（1）求证：；
4、（2）求与的夹角18. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，（1）求的最小值；（2）若，求实数的值；（3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围19. 已知函数（1）若，求的值；（2）若，且，求20. 如图，在直角梯形中，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF（1）求证：直线平面ADF；（2）求证：直线平面ADF；（3）当平面平面ABEF时，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直并证明你的结论条件：；条件：；条件：21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作，当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定（1）
5、分别根据下列已知条件求：，；，；（2）若向量，求证：；（3）若A，B，C是以为圆心的单位圆上不同的点，记，（i）当时，求的最大值；（ii）写出的最大值（只需写出结果）北京市丰台区2021-2022学年高一下期末练习数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1. 复数的虚部为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的概念判断即可；【详解】解：复数的虚部为；故选：C2. 已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（ ）A. 20B. 47C. 60D. 94【答案】D【解析】【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分
6、别为5，4，3,所以该长方体的表面积为故选：D3. 的值是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.4. 在中，记，将等式右边展开，整理得（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在三角形中，利用平面向量三角形法则列出关系式，两边平方后，利用平面向量的数量积运算法则变形即可求得结果【详解】，即故选：B.5. 已知向量，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ）A. ，B. ，C. ，2D. ，2【答案】A【
7、解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，且，所以，所以，解得；故选：A6. 如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解.【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图；对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B；
8、对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D.故选：C7. 已知直线，与平面，能使成立的条件是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用平面与平面的位置关系可判断AC；利用直线与平面的位置关系可以判断B；利用面面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A，则与相交或，故A错误；对于B，则与相交或，故B错误；对于C，则，故C正确；对于D，没有说明直线，相交，故不能通过线面平行证明面面平行，故D错误；故选：C8. 古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过
9、图来构造无理数记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用锐角三角函数求出，再利用两角和余弦公式计算可得；【详解】解：由图可知，所以故选：B9. 如图，在直角梯形中，若为的中点，则（ ）A. 1B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，令，得到点的坐标，利用坐标法计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，令，则，所以，所以，所以，故选：C10. 如图，在棱长为的正方体中，、是棱上任意两点，且，、是正方形及其内部的动点，且，则四面体的体积的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】设直线交直线于点，连接、，设，分析可得，
10、即可求得结果.【详解】设直线交直线于点，连接、，则，过点、在平面内分别作，垂足分别为、，因为平面平面，平面平面，平面，平面，同理可得平面，设，当且仅当时，等号成立，故四面体的体积的最大值为.故选：A.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_.【答案】3【解析】【分析】根据题意，球的表面积与其体积在数值上相等，设球的半径为，则，即可求出此球的半径.【详解】解：由于球的表面积与其体积在数值上相等，设球的半径为，则，解得：，即此球的半径为3.故答案为：3.【点睛】本题考查球的表面积公式和体积公式，属于基础题
11、.12. 在中，若，则的面积为_【答案】【解析】【分析】直接利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，所以；故答案为：13. 如果为纯虚数，那么_【答案】【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数为纯虚数，即可得到实部为且虚部不为，从而求出；详解】解：，又因为复数为纯虚数，所以，解得；故答案为：14. 木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足_（选出你认为正确的全部结论）；与直线相交；与直线相交【答案】【解析】【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论.【详
12、解】延长、交于点，则、的延长线也过点，如下图所示：因为，则平面，则直线即为所求作的直线，所以，直线与直线、直线都相交.故答案为：.15. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则_【答案】#-0.5【解析】【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为可知，则，即又，即，即，化简得故答案为：三、解答题共6小题，共85分解答
13、应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，（1）求；（2）若，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理计算可得；【小问1详解】解：因为，即由余弦定理，因为，所以；【小问2详解】解：因为，由正弦定理，即，所以；17. 已知两个单位向量、的夹角为，若向量，（1）求证：；（2）求与的夹角【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积计算出、，即可证得结论成立；（2）计算出，利用平面向量数量积计算出的值，即可得解.【小问1详解】解：由平面向量数量积的定义可得，所以，故结论成立.小问2详解】解：，所以，故，因此，与的夹角为.
14、18. 在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，（1）求的最小值；（2）若，求实数的值；（3）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用复数的模长公式求得，再结合二次函数求最值即可；（2）利用复数的几何意义及向量垂直的坐标表示可求解；（3）利用复数的除法运算，结合第一象限点的特点，列关于的不等式，求解即可.【小问1详解】，故的最小值为【小问2详解】由题设知，解得【小问3详解】由题知，解得所以实数的取值范围是19. 已知函数（1）若，求的值；（2）若，且，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简，然后代入即可
15、求解；（2）利用辅助角公式化简，其中，由已知结合诱导公式可知，再利用二倍角公式即可得解.小问1详解】由题设，函数 【小问2详解】由题设，函数，其中若，则，即，即，所以利用二倍角公式20. 如图，在直角梯形中，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF（1）求证：直线平面ADF；（2）求证：直线平面ADF；（3）当平面平面ABEF时，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直并证明你的结论条件：；条件：；条件：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，且，即可得证；（2）依题意可得且，即可得到，从而得证；（3）根据面
16、面垂直的性质得到平面，即可得到，再根据所选条件一一证明即可；【小问1详解】证明：在直角梯形中，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】证明：依题意可得且，所以四边形平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；【小问3详解】证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选，所以，所以，此时，所以如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选：，则，所以，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选：，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；21. 在平面直角坐标系中，为
17、坐标原点，对任意两个向量，作，当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定（1）分别根据下列已知条件求：，；，；（2）若向量，求证：；（3）若A，B，C是以为圆心的单位圆上不同的点，记，（i）当时，求的最大值；（ii）写出的最大值（只需写出结果）【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； （3）（i）；（ii） 【解析】【分析】（1）由求解；（2）由证明；（3）（i）设， 由求解；（ii）求解.【小问1详解】解：因为，且，所以；又，是 ；【小问2详解】因为向量，且向量，则，所以，同理，所以；【小问3详解】（i）设，因为，所以，所以，当，即时，取得最大值；（ii）的最大值为