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北京市石景山区2022年高一下期末数学试卷(含答案解析)

1、2022年北京市石景山区高一下期末数学试卷一选择题共10小题,每小题4分,共40分.1. 在平面直角坐标系中,角以为始边,它的终边经过点,则( )A. B. C. D. 2. 已知向量,若,则( )A. B. C. D. 3. 已知正方体的棱长为,其八个顶点都在一个球面上,则这个球的半径是( )A. B. C. D. 4. 在中,点为中点,记,则( )A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后,得到函数的图象,则函数( )A. 是奇函数,最小正周期为B. 是偶函数,最小正周期为C. 是奇函数,最小正周期为D. 是偶函数,最小正周期为6. 在锐角中,则下列等式中成立的是(

2、)A B. C. D. 7 设向量,如果,那么( )A. B. C. D. 8. 设是两条不同直线,是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出的是( )A. ,且B. ,且C. ,且D. ,且9. 记函数的最小正周期为,若,为的零点,则的最大值为( )A. B. C. D. 10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构,风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米,总高约米,匀速旋转一周时间为分钟,配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素,该摩天轮的示意图如图所示,游客从离地面最近的位置进入座舱,旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现,他们两人

3、进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中,他们所在的高度之和的最大值约为( )A. 米B. 米C. 米D. 米二填空题共5小题,每小题4分,共20分.11 计算_.12. 函数在区间上为增函数,则实数的一个取值可以为_.13. 如果,那么_.14. 已知向量满足,则_.15. 在正方体中,为线段上的动点,且与不重合,为线段的中点.给出下列三个结论:;三棱锥的体积不变;平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.其中,所有正确结论的序号为_.三解答题共5小题,共40分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 在中,.(1)如果,求的值;(2)如果锐角的面积为,求的长度.17.

4、 已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像;(2)若函数在区间上有两个零点,请写出的取值范围,无需说明理由.18. 如图,已知三棱柱中,侧面和是矩形,分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求证:三棱柱为直三棱柱.19. 如图,在四棱锥中,平面底面,底面为平行四边形,.(1)求证:;(2)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.20. 在中,为内部(包含边界)的动点,且.(1)求;(2)求取值范围.2022年北京市石景山区高一下期末数学试卷一选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在平面直角坐标系中,

5、角以为始边,它的终边经过点,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数定义即可求出.【详解】根据正弦函数的定义可得.故选:D.2. 已知向量,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.【详解】因为,所以,解得.故选:D.3. 已知正方体的棱长为,其八个顶点都在一个球面上,则这个球的半径是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据外接球的直径为正方体的体对角线可求.【详解】由题可得外接球的直径为正方体的体对角线,设半径为,所以,所以.故选:B.4. 在中,点为中点,记,则( )A. B. C.

6、D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量线性运算的几何表示即得.【详解】因为点为中点,所以.故选:C.5. 将函数图象上所有点向左平移个单位后,得到函数的图象,则函数( )A. 奇函数,最小正周期为B. 是偶函数,最小正周期为C. 是奇函数,最小正周期为D. 是偶函数,最小正周期为【答案】A【解析】【分析】根据平移得出即可判断奇偶性和最小正周期.【详解】向左平移个单位后得,所以为奇函数,最小正周期为.故选:A6. 在锐角中,则下列等式中成立的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】A.根据正弦定理直接判断;B.根据余弦定理直接判断;C.根据正弦定理和二倍角公式直接判断;D.由

7、正弦定理边角互化直接判断.【详解】解:对于A.由正弦定理可得,所以必成立,故A正确;对于B.由余弦定理可知,所以,所以不正确;对于C.由正弦定理可知,若满足,即 ,即,则,所以只有时,才成立,所以不正确;对于D.根据正弦定理(其中R为的外接圆的半径),则,故不正确.故选:A.7. 设向量,如果,那么( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为,再将,分别用坐标表示出来,最后根据坐标形式下的向量垂直对应的关系式求解出的值.【详解】因为,所以,因为,所以,所以,所以,又,所以故选:C8. 设是两条不同的直线,是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,

8、一定能推出的是( )A. ,且B. ,且C. ,且D. ,且【答案】B【解析】【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可【详解】对于A:,且,则,故A错误;对于B:一条直线垂直于平面,则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面,易知B正确;对于C:,且,则或或n与相交均有可能,故C错误;对于D:,且,则则或或n与相交均有可能,故D错误;故选:B9. 记函数的最小正周期为,若,为的零点,则的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先表示出,根据求出,再根据为函数的零点,即可求出的最小值,从而得的最大值;【详解】因为所以最小正周期,因为,又,所以,即,又为的零点,所以,解得

9、,因为,所以当时,所以的最大值为,故选:B10. 石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构,风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米,总高约米,匀速旋转一周时间为分钟,配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素,该摩天轮的示意图如图所示,游客从离地面最近的位置进入座舱,旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现,他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中,他们所在的高度之和的最大值约为( )A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】【分析】角速度为,游客从离地面最近的位置进入座舱,游玩中到地面的距离为,进而甲乙在摩天轮上游玩的

10、过程中他们所在的高度之和,再利用三角函数值域的研究方法求解即可【详解】因为角速度为,所以游客从离地面最近的位置进入座舱,游玩中到地面的距离为,由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和,因为,所以,所以,所以,所以,即他们所在的高度之和的最大值约为,故选:C二填空题共5小题,每小题4分,共20分.11. 计算_.【答案】#【解析】【分析】逆用正弦的和角公式进行计算.【详解】故答案为:12. 函数在区间上为增函数,则实数的一个取值可以为_.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围,再写出一个正确答案即可.【详解】解:因为正切函数的单调递增区间为,又函数

11、在区间上为增函数,所以.故答案为:(答案不唯一)13. 如果,那么_.【答案】1【解析】分析】根据题意,分式分子分母同除以由已知化弦为切求解【详解】由,得故答案为:114. 已知向量满足,则_.【答案】#【解析】【分析】由平方结合数量积的定义即可求出.【详解】因为,所以,所以,因为,所以.故答案为:.15. 在正方体中,为线段上的动点,且与不重合,为线段的中点.给出下列三个结论:;三棱锥的体积不变;平面截正方体所得的截面图形一定是矩形.其中,所有正确结论的序号为_.【答案】【解析】【分析】对于,连接,由线面垂直的性质和判定可证得平面,由此可判断;对于,由,点F到平面ABC距离是正方体的棱长的一

12、半,是定值可判断;对于,延长BE交CD于点G,过点G作交于点H,连接,则四边形就是面截正方体所得的截面图形,由此可判断;【详解】解:对于,连接,因为平面,所以,又,所以平面,所以,同理可证,又,所以平面,故平面,所以,故正确;对于,因为,而为线段的中点,所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半,是个定值,又是定值,所以三棱锥的体积不变,故正确;对于,延长BE交CD于点G,过点G作交于点H,连接,则四边形就是面截正方体所得的截面图形,而平面,又平面,所以,又,所以,又,所以四边形一定是矩形.同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示,仍得四边形一定是矩形.故正确;所以正确的命题为:,故

13、答案为:. 三解答题共5小题,共40分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16. 在中,.(1)如果,求的值;(2)如果锐角的面积为,求的长度.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据正弦定理求解即可;(2)根据面积公式可得,再根据余弦定理可得【小问1详解】由正弦定理,可得.因为,所以,所以,所以.【小问2详解】由题意知,可得.在锐角中,.由余弦定理,.所以.17. 已知函数.(1)请用五点法做出一个周期内的图像;(2)若函数在区间上有两个零点,请写出的取值范围,无需说明理由.【答案】(1)答案见解析 (2)【解析】【分析】(1)根据五点法列表描点连线即可求解;(2)结合图象求解直

14、接写出结果即可【小问1详解】列表00100【小问2详解】的取值范围是.18. 如图,已知三棱柱中,侧面和是矩形,分别为和的中点.(1)求证:平面;(2)求证:三棱柱为直三棱柱.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)取中点为,连接,由三角形中位线的性质,平行的传递性,线面平行的判定定理证明即可;(2)由线面垂直的判定定理证明平面即可得证小问1详解】取中点为,连接.在中,因为点为的中点,所以,且.在三棱柱中,且,又因为点为的中点,所以.所以,且.所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面平面,所以平面.【小问2详解】因为侧面和是矩形,所以.又因为,平面,平面,所以平面.所以

15、三棱柱为直三棱柱.19. 如图,在四棱锥中,平面底面,底面为平行四边形,.(1)求证:;(2)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,指出点的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)存在,点为棱的中点【解析】【分析】(1)由线面垂直证明线线垂直即可.(2)先假设存在.连接BD,由中位线证得线线平行,故而得到线面平行.【小问1详解】因为平面底面,平面底面,平面,所以平面.又因为平面,所以.【小问2详解】解:存在,点为棱的中点.连接,交于点,连接,如图所示:因为底面为平行四边形,所以点为的中点.在中,因为点分别为的中点.所以,且.又因为平面平面,所以平面.20. 在中,为内部(包含边界)的动点,且.(1)求;(2)求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由余弦定理求得,再由平方即可求出;(2)以A为原点建立直角坐标系,设,则可得,即可求出范围.【小问1详解】在中,由余弦定理,即,解得或(舍),所以.所以.【小问2详解】以A为原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系.设,则点坐标为.由(1)知,所以点坐标为,点坐标为.所以.所以.因为,所以.所以,所以.所以的取值范围是所以.