1、北京市平谷区北京市平谷区 20212021- -20222022 学年高一上期末考试数学试题学年高一上期末考试数学试题 一一 选择题选择题 1. 设全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+，集合 = *2,4,6,8+，那么 =（ ） A. *9+ B. *1,3,5,7,9+ C. *1,3,5+ D. *2,4,6+ 2. 函数() = cos.2 6/的最小正周期是（ ） A. 2 B. C. D. 4 3. 下列各式化简后的结果为cos的是（ ） A. sin. +2/ B. sin(2 + ) C. sin. 2/ D. sin(2 ) 4. 下列不等式成立的是（ ） A.
2、log312 log23 log25 B. log312 log25 log23 C. log23 log312 log25 D. log23 log25 ，则2 2 B. 若，则 C. 若 ， 1 D. 若2 2， 0，则1 0, 0, )则“()是偶函数“是“ =2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某人围一个面积为 32m2矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下） ，墙高 3m，新墙的造价为 1000 元/m2，则当 x 取（ ）时，总造价最低？（假设旧墙足够长） A. 9 B. 8 C. 16
3、D. 64 9. 已知定义在上的偶函数()满足下列条件：()是周期为 2的周期函数；当 (0,1)时，() = 2 1.那么(log23)值为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 2 10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为 5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间： = 0时，点与钟面上标12 的点重合，当 ,0,60-，两点间的距离为（单位：cm） ，则等于（ ） A. 5sin2 B. 10sin2 C. 5sin30 D. 10sin60 二二 填空题（本大题共填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11. 函数(
4、) =1+ lg( + 1)定义域是_. 12. 已知奇函数 f（x） ，当 0，() = 2+ 3，那么(2) =_. 13. 已知tan = 3，则sincos =_ 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，设角 始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.45,35/，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点(2,2).那么tan =_， 2=_. 15. 从 2008 年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是 2009年至 2016 年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年 12月 31日的统
5、计结果). 根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是_ 2015 年这一年,高铁运营里程数超过 0.5 万公里; 2013 年到 2016年高铁运营里程平均增长率大于 2010到 2013高铁运营里程平均增长率; 从 2010 年至 2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年; 从 2010 年至 2016年，新增高铁运营里程数逐年递增; 三三 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知集合 = 2|13 log8 13， = *|2 2 128+，全集 = . （1）求，；
6、（2）求( )； （3）如果 = *| 0)最小正周期是 . （1）求的值； （2）求证：当 00,7121时() 32. 20. 已知函数() = 2+ 2(0 2)2+ 2(2 0). （1）求.23/，.12/的值； （2）作出函数的简图； （3）由简图指出函数的值域； （4）由简图得出函数的奇偶性，并证明. 21. 已知函数() = sin(2 +4)，4 34. （1）列表，描点，画函数()的简图，并由图象写出函数()的单调区间及最值； （2）若(1) = (2)，(1 2)，求(1+ 2)值. 北京市平谷区北京市平谷区 20212021- -20222022 学年高一上期末考试数学
7、试题学年高一上期末考试数学试题 一一 选择题选择题 1. 设全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+，集合 = *2,4,6,8+，那么 =（ ） A. *9+ B. *1,3,5,7,9+ C. *1,3,5+ D. *2,4,6+ 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的定义分析可得，即可得答案 【详解】根据题意，全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+，而 = *2,4,6,8+， 则 = *1,3,5,7,9+， 故选：B 2. 函数() = cos.2 6/的最小正周期是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得| = 2，再代入三角
8、函数的周期公式 =2|求解 【详解】根据三角函数的周期公式 =2|得， 函数() = cos.2 6/的最小正周期是 =2|=22= ， 故选：C 3. 下列各式化简后的结果为cos的是（ ） A. sin. +2/ B. sin(2 + ) C. sin. 2/ D. sin(2 ) 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简每一个选项即得解. 【详解】解：A. sin. +2/ = cos； B. sin(2 + ) = sin； C. sin. 2/ = cos； D. sin(2 ) = sin. 故选：A 4. 下列不等式成立的是（ ） A. log312 log23 log25
9、 B. log312 log25 log23 C. log23 log312 log25 D. log23 log25 log312 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的单调性直接比较大小. 【详解】因为log312 log31 = 0， 1 = log22 log23 log24 = 2， 2 = log24 log25 log28 = 3，所以log312 log23 ，则2 2 B. 若，则 C. 若 ， 1 D. 若2 2， 0，则1 ，当 = 0时， 2= 2，所以A不成立； B若，当 0时，则 ，所以B不成立； C因为 两边同除以，则11，所以C成立 D若2 2且 0，当2 0
10、0时，则 1，则D不成立 故选：C 7. 已知函数() = sin( + )( 0, 0, )则“()是偶函数“是“ =2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案. 【详解】若 =2，则() = sin( +2) = cos，() = cos() = cos = ()，所以()为偶函数； 若() = sin( + )为偶函数，则 = +2， ，不一定等于2. 所以“()是偶函数“是“ =2”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】关键点点睛：掌握必要不充
11、分条件的概念是解题关键. 8. 某人围一个面积为 32m2的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下） ，墙高 3m，新墙的造价为 1000 元/m2，则当 x 取（ ）时，总造价最低？（假设旧墙足够长） A. 9 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由题设总造价为 = 3000( +64)，应用基本不等式求最小值，并求出等号成立时的值即可. 【详解】由题设，总造价 = 1000 3 ( + 2 32) = 3000( +64) 6000 64= 48000， 当且仅当 = 8时等号成立，即 = 8时总造价最低. 故选：B. 9. 已知定义在上偶函数
12、()满足下列条件：()是周期为 2 的周期函数；当 (0,1)时，() = 2 1.那么(log23)值为（ ） A 12 B. 13 C. 14 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的周期为 2和函数()是定义在上的偶函数， 可知(log23) = .log243/， 再根据条件，即可求出结果. 【详解】因为()是周期为 2的周期函数， 所以(log23) = (log23 2) = .log234/ = .log243/， 又函数()定义在上的偶函数，所以(log23) = .log243/ = .log243/ 又当 (0,1)时，() = 2 1，所以.log243/ =
13、 2log243 1 =43 1 =13. 所以(log23)值为13. 故选：B. 10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为 5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间： = 0时，点与钟面上标12 的点重合，当 ,0,60-，两点间的距离为（单位：cm） ，则等于（ ） A. 5sin2 B. 10sin2 C. 5sin30 D. 10sin60 【答案】D 【解析】 【分析】由题知圆心角为30，过 O作 AB的垂线，通过计算可得. 【详解】由题知，圆心角为30，过 O 作 AB 的垂线，则 = 2 5 sin302= 10sin60 故选：D 二二 填空题（本大题共填空题（本大题共 5 小题，请
14、把答案填在答题卡中相应题中横线上）小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11. 函数() =1+ lg( + 1)的定义域是_. 【答案】*| 1且 0+ 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果. 【详解】根据题意可得如下不等式组， 2 0 + 1 0 解得 1且 0. 答案：*| 1且 0+. 12. 已知奇函数 f（x） ，当 0，() = 2+ 3，那么(2) =_. 【答案】10 【解析】 【分析】根据函数奇偶性把求(2)的值，转化成求(2)的值. 【详解】由 f（x）为奇函数，可知() = ()，则(2) = (2) 又当 0，() = 2+ 3，则(2)
15、= 22+ 3 2 = 10 故(2) = (2) = 10 故答案为：10 13. 已知tan = 3，则sincos =_ 【答案】310 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【详解】tan=3，sincos=sincossin2:cos2=tantan2:1=310 . 故答案为310. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，设角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点.45,35/，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点(2,2).那么tan =_， 2=_. 【答案】
16、 . 34#0.75 . 35#-0.6 【解析】 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果 【详解】由三角函数的定义及已知可得： sin =35，cos =45 所以tan =3545=34 又2= cos(2+ ) = sin = 35 故答案为：34，35 15. 从 2008 年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是 2009年至 2016 年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年 12月 31日的统计结果). 根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是_ 2015 年这一年,高铁运营里程数超过 0.5 万
17、公里; 2013 年到 2016年高铁运营里程平均增长率大于 2010到 2013高铁运营里程平均增长率; 从 2010 年至 2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年; 从 2010 年至 2016年，新增高铁运营里程数逐年递增; 【答案】 【解析】 【分析】根据数据折线图，分别进行判断即可. 【详解】看 2014，2015年对应的纵坐标之差小于2 1.5 = 0.5，故错误； 连线观察 2013年到 2016 年两点连线斜率更大，故正确； 2013 年到 2014 年两点纵坐标之差最大，故正确； 看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故错误； 故答案为：. 三三
18、 解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 已知集合 = 2|13 log8 13， = *|2 2 128+，全集 = . （1）求，； （2）求( )； （3）如果 = *| +，且 ，求的取值范围. 【答案】 （1） = ,2,8-， = (1,7) （2）( ) = (,2) ,7 ,+) （3）(2,+) 【解析】 【分析】 （1）根据函数 = log8和函数 = 2的单调性，可以直接得到的范围 （2）先求出集合与集合的交集，再求补集即可 （3）根据集合和集合的交集为空集，可直接求出的取值
19、范围 【小问 1 详解】 根据题意，可得：log8813 log8 1 = log88，函数 = log8在区间(0,+)上单调递增，则有：2 8 故有： = *|2 8+ 函数 = 2在区间(,+)上单调递增，则有： = *|1 7+ 综上，答案为： = ,2,8-， = (1,7) 【小问 2 详解】 由（1）可知： = ,2,8-， = (1,7) 则有： = *|2 7+ 故有：( ) = (,2) ,7 ,+) 故答案为：(,2) ,7,+) 【小问 3 详解】 由于 = *|2 8+，且 ， = *| 2， 故的取值范围为：(2,+) 故答案为：(2,+) 17. 已知 是第二象限
20、角，且tan = 512. （1）求sin，cos的值； （2）求sin( 5) + cos(3 )的值. 【答案】 （1）sin =513,cos = 1213； （2）713. 【解析】 【分析】 （1）解方程组sin2 + cos2 = 1sin = 512cos即得解； （2）直接利用诱导公式化简求值. 【小问 1 详解】 解：因为tan = 512，所以sincos= 512， sin = 512cos 又sin2 + cos2 = 1，是第二象限角， 所以sin =513,cos = 1213. 【小问 2 详解】 解：sin( 5) + cos(3 ) = sin( ) + co
21、s( ) = sin cos = 513+1213=713. 18. 已知二次函数() = 2 ( + 1) + 1. （1）当对称轴为 = 1时， （i）求实数 a 的值； （ii）求 f（x）在区间,2,2-上的值域. （2）解不等式() 0. 【答案】 （1） （i）13； （ii）,53,43-. （2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1） （i）解方程(:1)2= 1即得解； （ii）利用二次函数的图象和性质求解； （2）对分类讨论解不等式. 【小问 1 详解】 解： （i）由题得;(:1)2=(:1)2= 1, + 1 = 2, = 13； （ii）() = 13223 + 1
22、，对称轴为 = 1， 所以当 ,2,2-时，()max= (1) = 13+23+ 1 =43. ()min= (2) = 4343+ 1 = 53. 所以 f（x）在区间,2,2-上的值域为,53,43-. 【小问 2 详解】 解：2 ( + 1) + 1 0， 当 = 0时， + 1 0, 1； 当 0时，( 1)( 1) 0, 1=1 0,2= 1， 当0 1时，不等式的解集为*| 1或 1+； 当 0时，( 1)( + 1) 0, 1=1 0,2= 1， 所以不等式的解集为*|1 1+. 综上，当 = 0时，不等式的解集为*| 1+； 当0 1时，不等式的解集为*| 1或 1+； 当
23、0)最小正周期是 . （1）求的值； （2）求证：当 00,7121时() 32. 【答案】 （1）2； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）解方程 = =2|即得解； （2）利用三角函数的图象和性质，结合不等式逐步求出函数的最值即得证. 【小问 1 详解】 解：由题得 = =2|, = 2, 0, = 2. 【小问 2 详解】 证明：() = sin.2 3/， 因为0 712, 0 2 76, 3 2 376 3， 3 2 356， 32 sin(2 3) 1， 所以当 00,7121时() 32. 即得证. 20. 已知函数() = 2+ 2(0 2)2+ 2(2 0). （1）
24、求.23/，.12/的值； （2）作出函数的简图； （3）由简图指出函数的值域； （4）由简图得出函数的奇偶性，并证明. 【答案】 （1）(23) = 89，(12) =34； （2）作图见解析； （3）,1,1-； （4）()为奇函数，证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据对应区间，将自变量代入解析式求值即可. （2）应用五点法确定点坐标列表，再描点画出函数图象. （3）由（2）图象直接写出值域. （4）由（2）图象判断奇偶性，再应用奇偶性定义证明即可. 【小问 1 详解】 由解析式知：(23) = (23)2+ 2 (23) = 89，(12) = (12)2+ 2 12=34. 【
25、小问 2 详解】 由解析式可得： 2 1 0 1 2 () 0 1 0 1 0 ()的图象如下： 【小问 3 详解】 由（2）知：()的值域为,1,1-. 【小问 4 详解】 由图知：()为奇函数，证明如下： 当0 2，2 0时，() = ()2+ 2 () = 2 2 = ()； 当2 0，0 2时，() = ()2+ 2 () = 2 2 = ()； 又()的定义域为,2,2-，则()为奇函数，得证. 21. 已知函数() = sin(2 +4)，4 34. （1）列表，描点，画函数()的简图，并由图象写出函数()的单调区间及最值； （2）若(1) = (2)，(1 2)，求(1+ 2)的
26、值. 【答案】 （1）图象见解析，在,4,8-、,58,34-上递增，在(8,58)上递减，且最大值为 1，最小值为-1； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据解析式，应用五点法确定点坐标列表，进而描点画图象，由图象判断单调性、最值. （2）讨论(1) = (2)对应函数值的区间，根据正弦型函数的对称性确定1+ 2，进而求(1+ 2). 【小问 1 详解】 由解析式可得： 4 8 8 38 58 34 () 22 0 1 0 -1 22 ()的图象如下图示： ()在,4,8-、,58,34-上递增，在(8,58)上递减，且最大值为 1，最小值为-1. 【小问 2 详解】 1、若(1) = (2) (22,1)，(1 2)，则1+ 2=4，故(1+ 2) = (4) =22； 2、若(1) = (2) = 22，(1 2)， 当1+ 2=4，则(1+ 2) = (4) =22； 当1+ 2=54 ,4,34-，此时(1+ 2)无解； 当1+ 2=2，则(1+ 2) = (2) = 22； 3、若(1) = (2) (1,22)，(1 2)，则1+ 2=54 ,4,34-，故(1+ 2)无解；