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北京市平谷区2021-2022学年高一上期末考试数学试卷(含答案解析)

1、北京市平谷区北京市平谷区 20212021- -20222022 学年高一上期末考试数学试题学年高一上期末考试数学试题 一一 选择题选择题 1. 设全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+,集合 = *2,4,6,8+,那么 =( ) A. *9+ B. *1,3,5,7,9+ C. *1,3,5+ D. *2,4,6+ 2. 函数() = cos.2 6/的最小正周期是( ) A. 2 B. C. D. 4 3. 下列各式化简后的结果为cos的是( ) A. sin. +2/ B. sin(2 + ) C. sin. 2/ D. sin(2 ) 4. 下列不等式成立的是( ) A.

2、log312 log23 log25 B. log312 log25 log23 C. log23 log312 log25 D. log23 log25 ,则2 2 B. 若,则 C. 若 , 1 D. 若2 2, 0,则1 0, 0, )则“()是偶函数“是“ =2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某人围一个面积为 32m2矩形院子,一面靠旧墙,其它三面墙要新建(其平面示意图如下) ,墙高 3m,新墙的造价为 1000 元/m2,则当 x 取( )时,总造价最低?(假设旧墙足够长) A. 9 B. 8 C. 16

3、D. 64 9. 已知定义在上的偶函数()满足下列条件:()是周期为 2的周期函数;当 (0,1)时,() = 2 1.那么(log23)值为( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 2 10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为 5cm,秒针绕点匀速旋转,当时间: = 0时,点与钟面上标12 的点重合,当 ,0,60-,两点间的距离为(单位:cm) ,则等于( ) A. 5sin2 B. 10sin2 C. 5sin30 D. 10sin60 二二 填空题(本大题共填空题(本大题共 5 小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上)小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上) 11. 函数(

4、) =1+ lg( + 1)定义域是_. 12. 已知奇函数 f(x) ,当 0,() = 2+ 3,那么(2) =_. 13. 已知tan = 3,则sincos =_ 14. 在平面直角坐标系 xOy 中,设角 始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点.45,35/,将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点(2,2).那么tan =_, 2=_. 15. 从 2008 年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是 2009年至 2016 年高铁运营总里程数的折线图图(图中的数据均是每年 12月 31日的统

5、计结果). 根据上述信息下列结论中,所有正确结论的序号是_ 2015 年这一年,高铁运营里程数超过 0.5 万公里; 2013 年到 2016年高铁运营里程平均增长率大于 2010到 2013高铁运营里程平均增长率; 从 2010 年至 2016年,新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年; 从 2010 年至 2016年,新增高铁运营里程数逐年递增; 三三 解答题(本大题共解答题(本大题共 6 小题小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. 已知集合 = 2|13 log8 13, = *|2 2 128+,全集 = . (1)求,;

6、(2)求( ); (3)如果 = *| 0)最小正周期是 . (1)求的值; (2)求证:当 00,7121时() 32. 20. 已知函数() = 2+ 2(0 2)2+ 2(2 0). (1)求.23/,.12/的值; (2)作出函数的简图; (3)由简图指出函数的值域; (4)由简图得出函数的奇偶性,并证明. 21. 已知函数() = sin(2 +4),4 34. (1)列表,描点,画函数()的简图,并由图象写出函数()的单调区间及最值; (2)若(1) = (2),(1 2),求(1+ 2)值. 北京市平谷区北京市平谷区 20212021- -20222022 学年高一上期末考试数学

7、试题学年高一上期末考试数学试题 一一 选择题选择题 1. 设全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+,集合 = *2,4,6,8+,那么 =( ) A. *9+ B. *1,3,5,7,9+ C. *1,3,5+ D. *2,4,6+ 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的定义分析可得,即可得答案 【详解】根据题意,全集 = *1,2,3,4,5,6,7,8,9+,而 = *2,4,6,8+, 则 = *1,3,5,7,9+, 故选:B 2. 函数() = cos.2 6/的最小正周期是( ) A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得| = 2,再代入三角

8、函数的周期公式 =2|求解 【详解】根据三角函数的周期公式 =2|得, 函数() = cos.2 6/的最小正周期是 =2|=22= , 故选:C 3. 下列各式化简后的结果为cos的是( ) A. sin. +2/ B. sin(2 + ) C. sin. 2/ D. sin(2 ) 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简每一个选项即得解. 【详解】解:A. sin. +2/ = cos; B. sin(2 + ) = sin; C. sin. 2/ = cos; D. sin(2 ) = sin. 故选:A 4. 下列不等式成立的是( ) A. log312 log23 log25

9、 B. log312 log25 log23 C. log23 log312 log25 D. log23 log25 log312 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的单调性直接比较大小. 【详解】因为log312 log31 = 0, 1 = log22 log23 log24 = 2, 2 = log24 log25 log28 = 3,所以log312 log23 ,则2 2 B. 若,则 C. 若 , 1 D. 若2 2, 0,则1 ,当 = 0时, 2= 2,所以A不成立; B若,当 0时,则 ,所以B不成立; C因为 两边同除以,则11,所以C成立 D若2 2且 0,当2 0

10、0时,则 1,则D不成立 故选:C 7. 已知函数() = sin( + )( 0, 0, )则“()是偶函数“是“ =2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的概念,结合三角函数知识可得答案. 【详解】若 =2,则() = sin( +2) = cos,() = cos() = cos = (),所以()为偶函数; 若() = sin( + )为偶函数,则 = +2, ,不一定等于2. 所以“()是偶函数“是“ =2”的必要不充分条件. 故选:B 【点睛】关键点点睛:掌握必要不充

11、分条件的概念是解题关键. 8. 某人围一个面积为 32m2的矩形院子,一面靠旧墙,其它三面墙要新建(其平面示意图如下) ,墙高 3m,新墙的造价为 1000 元/m2,则当 x 取( )时,总造价最低?(假设旧墙足够长) A. 9 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由题设总造价为 = 3000( +64),应用基本不等式求最小值,并求出等号成立时的值即可. 【详解】由题设,总造价 = 1000 3 ( + 2 32) = 3000( +64) 6000 64= 48000, 当且仅当 = 8时等号成立,即 = 8时总造价最低. 故选:B. 9. 已知定义在上偶函数

12、()满足下列条件:()是周期为 2 的周期函数;当 (0,1)时,() = 2 1.那么(log23)值为( ) A 12 B. 13 C. 14 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的周期为 2和函数()是定义在上的偶函数, 可知(log23) = .log243/, 再根据条件,即可求出结果. 【详解】因为()是周期为 2的周期函数, 所以(log23) = (log23 2) = .log234/ = .log243/, 又函数()定义在上的偶函数,所以(log23) = .log243/ = .log243/ 又当 (0,1)时,() = 2 1,所以.log243/ =

13、 2log243 1 =43 1 =13. 所以(log23)值为13. 故选:B. 10. 某时钟的秒针端点到中心点的距离为 5cm,秒针绕点匀速旋转,当时间: = 0时,点与钟面上标12 的点重合,当 ,0,60-,两点间的距离为(单位:cm) ,则等于( ) A. 5sin2 B. 10sin2 C. 5sin30 D. 10sin60 【答案】D 【解析】 【分析】由题知圆心角为30,过 O作 AB的垂线,通过计算可得. 【详解】由题知,圆心角为30,过 O 作 AB 的垂线,则 = 2 5 sin302= 10sin60 故选:D 二二 填空题(本大题共填空题(本大题共 5 小题,请

14、把答案填在答题卡中相应题中横线上)小题,请把答案填在答题卡中相应题中横线上) 11. 函数() =1+ lg( + 1)的定义域是_. 【答案】*| 1且 0+ 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解方法即可得出结果. 【详解】根据题意可得如下不等式组, 2 0 + 1 0 解得 1且 0. 答案:*| 1且 0+. 12. 已知奇函数 f(x) ,当 0,() = 2+ 3,那么(2) =_. 【答案】10 【解析】 【分析】根据函数奇偶性把求(2)的值,转化成求(2)的值. 【详解】由 f(x)为奇函数,可知() = (),则(2) = (2) 又当 0,() = 2+ 3,则(2)

15、= 22+ 3 2 = 10 故(2) = (2) = 10 故答案为:10 13. 已知tan = 3,则sincos =_ 【答案】310 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值 【详解】tan=3,sincos=sincossin2:cos2=tantan2:1=310 . 故答案为310. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题 14. 在平面直角坐标系 xOy 中,设角 的始边与 x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点.45,35/,将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转2后与单位圆交于点(2,2).那么tan =_, 2=_. 【答案】

16、 . 34#0.75 . 35#-0.6 【解析】 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求出结果 【详解】由三角函数的定义及已知可得: sin =35,cos =45 所以tan =3545=34 又2= cos(2+ ) = sin = 35 故答案为:34,35 15. 从 2008 年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是 2009年至 2016 年高铁运营总里程数的折线图图(图中的数据均是每年 12月 31日的统计结果). 根据上述信息下列结论中,所有正确结论的序号是_ 2015 年这一年,高铁运营里程数超过 0.5 万

17、公里; 2013 年到 2016年高铁运营里程平均增长率大于 2010到 2013高铁运营里程平均增长率; 从 2010 年至 2016年,新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年; 从 2010 年至 2016年,新增高铁运营里程数逐年递增; 【答案】 【解析】 【分析】根据数据折线图,分别进行判断即可. 【详解】看 2014,2015年对应的纵坐标之差小于2 1.5 = 0.5,故错误; 连线观察 2013年到 2016 年两点连线斜率更大,故正确; 2013 年到 2014 年两点纵坐标之差最大,故正确; 看相邻纵坐标之差是否逐年增加,显然不是,有增有减,故错误; 故答案为:. 三三

18、 解答题(本大题共解答题(本大题共 6 小题小题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. 已知集合 = 2|13 log8 13, = *|2 2 128+,全集 = . (1)求,; (2)求( ); (3)如果 = *| +,且 ,求的取值范围. 【答案】 (1) = ,2,8-, = (1,7) (2)( ) = (,2) ,7 ,+) (3)(2,+) 【解析】 【分析】 (1)根据函数 = log8和函数 = 2的单调性,可以直接得到的范围 (2)先求出集合与集合的交集,再求补集即可 (3)根据集合和集合的交集为空集,可直接求出的取值

19、范围 【小问 1 详解】 根据题意,可得:log8813 log8 1 = log88,函数 = log8在区间(0,+)上单调递增,则有:2 8 故有: = *|2 8+ 函数 = 2在区间(,+)上单调递增,则有: = *|1 7+ 综上,答案为: = ,2,8-, = (1,7) 【小问 2 详解】 由(1)可知: = ,2,8-, = (1,7) 则有: = *|2 7+ 故有:( ) = (,2) ,7 ,+) 故答案为:(,2) ,7,+) 【小问 3 详解】 由于 = *|2 8+,且 , = *| 2, 故的取值范围为:(2,+) 故答案为:(2,+) 17. 已知 是第二象限

20、角,且tan = 512. (1)求sin,cos的值; (2)求sin( 5) + cos(3 )的值. 【答案】 (1)sin =513,cos = 1213; (2)713. 【解析】 【分析】 (1)解方程组sin2 + cos2 = 1sin = 512cos即得解; (2)直接利用诱导公式化简求值. 【小问 1 详解】 解:因为tan = 512,所以sincos= 512, sin = 512cos 又sin2 + cos2 = 1,是第二象限角, 所以sin =513,cos = 1213. 【小问 2 详解】 解:sin( 5) + cos(3 ) = sin( ) + co

21、s( ) = sin cos = 513+1213=713. 18. 已知二次函数() = 2 ( + 1) + 1. (1)当对称轴为 = 1时, (i)求实数 a 的值; (ii)求 f(x)在区间,2,2-上的值域. (2)解不等式() 0. 【答案】 (1) (i)13; (ii),53,43-. (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1) (i)解方程(:1)2= 1即得解; (ii)利用二次函数的图象和性质求解; (2)对分类讨论解不等式. 【小问 1 详解】 解: (i)由题得;(:1)2=(:1)2= 1, + 1 = 2, = 13; (ii)() = 13223 + 1

22、,对称轴为 = 1, 所以当 ,2,2-时,()max= (1) = 13+23+ 1 =43. ()min= (2) = 4343+ 1 = 53. 所以 f(x)在区间,2,2-上的值域为,53,43-. 【小问 2 详解】 解:2 ( + 1) + 1 0, 当 = 0时, + 1 0, 1; 当 0时,( 1)( 1) 0, 1=1 0,2= 1, 当0 1时,不等式的解集为*| 1或 1+; 当 0时,( 1)( + 1) 0, 1=1 0,2= 1, 所以不等式的解集为*|1 1+. 综上,当 = 0时,不等式的解集为*| 1+; 当0 1时,不等式的解集为*| 1或 1+; 当

23、0)最小正周期是 . (1)求的值; (2)求证:当 00,7121时() 32. 【答案】 (1)2; (2)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)解方程 = =2|即得解; (2)利用三角函数的图象和性质,结合不等式逐步求出函数的最值即得证. 【小问 1 详解】 解:由题得 = =2|, = 2, 0, = 2. 【小问 2 详解】 证明:() = sin.2 3/, 因为0 712, 0 2 76, 3 2 376 3, 3 2 356, 32 sin(2 3) 1, 所以当 00,7121时() 32. 即得证. 20. 已知函数() = 2+ 2(0 2)2+ 2(2 0). (1)

24、求.23/,.12/的值; (2)作出函数的简图; (3)由简图指出函数的值域; (4)由简图得出函数的奇偶性,并证明. 【答案】 (1)(23) = 89,(12) =34; (2)作图见解析; (3),1,1-; (4)()为奇函数,证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据对应区间,将自变量代入解析式求值即可. (2)应用五点法确定点坐标列表,再描点画出函数图象. (3)由(2)图象直接写出值域. (4)由(2)图象判断奇偶性,再应用奇偶性定义证明即可. 【小问 1 详解】 由解析式知:(23) = (23)2+ 2 (23) = 89,(12) = (12)2+ 2 12=34. 【

25、小问 2 详解】 由解析式可得: 2 1 0 1 2 () 0 1 0 1 0 ()的图象如下: 【小问 3 详解】 由(2)知:()的值域为,1,1-. 【小问 4 详解】 由图知:()为奇函数,证明如下: 当0 2,2 0时,() = ()2+ 2 () = 2 2 = (); 当2 0,0 2时,() = ()2+ 2 () = 2 2 = (); 又()的定义域为,2,2-,则()为奇函数,得证. 21. 已知函数() = sin(2 +4),4 34. (1)列表,描点,画函数()的简图,并由图象写出函数()的单调区间及最值; (2)若(1) = (2),(1 2),求(1+ 2)的

26、值. 【答案】 (1)图象见解析,在,4,8-、,58,34-上递增,在(8,58)上递减,且最大值为 1,最小值为-1; (2)答案见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据解析式,应用五点法确定点坐标列表,进而描点画图象,由图象判断单调性、最值. (2)讨论(1) = (2)对应函数值的区间,根据正弦型函数的对称性确定1+ 2,进而求(1+ 2). 【小问 1 详解】 由解析式可得: 4 8 8 38 58 34 () 22 0 1 0 -1 22 ()的图象如下图示: ()在,4,8-、,58,34-上递增,在(8,58)上递减,且最大值为 1,最小值为-1. 【小问 2 详解】 1、若(1) = (2) (22,1),(1 2),则1+ 2=4,故(1+ 2) = (4) =22; 2、若(1) = (2) = 22,(1 2), 当1+ 2=4,则(1+ 2) = (4) =22; 当1+ 2=54 ,4,34-,此时(1+ 2)无解; 当1+ 2=2,则(1+ 2) = (2) = 22; 3、若(1) = (2) (1,22),(1 2),则1+ 2=54 ,4,34-,故(1+ 2)无解;