1、北京市怀柔区2021-2022学年高二上期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 直线倾斜角为（ ）A. B. C. D. 2. 圆的圆心为（ ）A. B. C. D. 3. 给出下列判断，其中正确的是（ ）A. 三点唯一确定一个平面B. 一条直线和一个点唯一确定一个平面C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内4. 已知向量，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（ ）A. 2B. C. D. 6. 椭圆离心率为（ ）A B. C. D. 7. 若一个
2、正方体的全面积是72，则它的对角线长为（ ）A. B. 12C. D. 68. 已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 9. 点到直线的距离为2，则的值为（ ）A. 0B. C. 0或D. 0或10. 已知，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 双曲线的实轴长为_.12. 经过、两点的直线斜率为_.13. 过点且与直线平行的直线的方程是_.14. 若，三点共线，则m的值为_.15. 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.
3、三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16. 已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.（1）过点；（2）与直线垂直17. 如图，在三棱锥中，平面平面，都是等腰直角三角形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.18. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求抛物线的标准方程.19. 已知点，线段是圆的直径.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.20. 如图所示，在正方体中，E是棱的中点.（）求直线BE与平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点F，使平面？证明
4、你的结论. 21. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆方程；（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若，求的取值范围.北京市怀柔区2021-2022学年高二上期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，利用直线的倾斜角与斜率的关系可求得该直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，直线的方程即为，则，因此，.故选：C2. 圆的圆心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆的标准方程求解.【详解】圆的圆心为，故选：D3. 给出下列判断，其中正确的是（
5、）A. 三点唯一确定一个平面B. 一条直线和一个点唯一确定一个平面C. 两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D. 空间两两相交的三条直线在同一平面内【答案】C【解析】【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.【详解】对A，如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；对B，如果这个点在这条直线上，就不能确定一个平面，故B错误；对C，两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，C正确；对D，空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选：C4. 已知向量，则
6、（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的模公式求解.【详解】因向量，所以，故选：A5. 已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.【详解】故选：D6. 椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率【详解】在椭圆中，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可7. 若一个正方体的全面积是72，则它的对角线长为（ ）A. B. 12C. D. 6【答案】D
7、【解析】【分析】根据全面积得到正方体的棱长，再由勾股定理计算对角线.【详解】设正方体的棱长为，对角线长为，则有，解得，从而，解得.故选：D8. 已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为： 故选：A9. 点到直线的距离为2，则的值为（ ）A. 0B. C. 0或D. 0或【答案】C【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】解：点到直线的距离为，解得或.故选：C.10. 已知，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
8、析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.【详解】由，视为原点到直线上点的距离的平方，根据点到直线垂线段最短，可得，所有的取值范围为，故选：C.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 双曲线的实轴长为_.【答案】4【解析】【分析】根据双曲线标准方程的特征即可求解.【详解】由题可知.故答案为：4.12. 经过、两点的直线斜率为_.【答案】【解析】【分析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.13. 过点且与直线平行的直线的方程是_.【答案】【解析】【分析】设出直线的
9、方程，代入点的坐标，求出直线的方程.【详解】设过点且与直线平行的直线的方程为，将代入，则，解得：，所以直线的方程为.故答案为：14. 若，三点共线，则m的值为_.【答案】【解析】【分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出【详解】由，三点共线，可知所在的直线与所在的直线平行，又，由已知可得，解得故答案为：15. 若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】由椭圆方程得到F，O的坐标，设P(x，y)(2x2)，利用数量积的坐标运算将转化为二次函数最值求解.【详解】由椭圆1，可得F(1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(2x2)，则x2
10、xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当x2时， 取得最大值6.故答案为：6【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及应用以及椭圆的几何性质和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）16. 已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.（1）过点；（2）与直线垂直.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用两点式写出直线的方程； （2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.【小问1详解】直线经过，两点，由两点式得直线的方程为.【小问2详解】与直线垂直 直线的斜率为由点斜式得直线的方程为.
11、17. 如图，在三棱锥中，平面平面，都是等腰直角三角形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得MNAB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得ABBC，VCAC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC平面ABC，从而有ABVC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明：M，N分别为VA，VB的中点，MNAB，AB平面CMN，MN平面CMN，AB平面CMN【小问2详解】证明：ABC和VAC均是等腰直角三角形，ABBC，ACCV，ABBC，VCAC，平面VAC平面ABC，
12、平面VAC平面ABCAC，VC平面ABC，AB平面ABC，ABVC，又VCBCC，AB平面VBC18. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.（1）求双曲线渐近线方程；（2）求抛物线的标准方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.【小问1详解】因为双曲线过点，所以 所以，得又因为，所以所以双曲线的渐近线方程【小问2详解】由（1）得 所以 所以双曲线的右焦点是所以抛物线的焦点是所以，所以所以抛物线的标准方程19. 已知点，线段是圆的直径.（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方
13、程.【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】(1)AB两点的中点为圆心，AB两点距离的一半为半径；(2)分斜率存在和不存在，根据垂径定理即可求解.【小问1详解】已知点，线段是圆M的直径，则圆心坐标为，半径，圆的方程为；【小问2详解】由(1)可知圆的圆心，半径为.设为中点，则，则.当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意；当的斜率存在时，设的方程为，即kxy20，则，解得，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.20. 如图所示，在正方体中，E是棱的中点.（）求直线BE与平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. 【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【详解】
14、设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.（）依题意，得，所以.在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则.即直线BE和平面所成的角的正弦值为.（）在棱上存在点F，使.事实上，如图所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，故.21. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为，且过点，由求解；（2）设直线AC方程为，则直线BD的方程为，分时，与椭圆方程联立求得A，B的坐标，再利用数量积求解.【小问1详解】解：因为椭圆的离心率为，且过点，所以，所以 ，所以椭圆的方程为；【小问2详解】设直线AC的方程为，则直线BD的方程为.当时，联立，得，不妨设A，联立，得，当B时，当B时，当时，同理可得上述结论.综上，