1、北京市房山区2021年高二下期末检测数学试题一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知函数，则的值为（ ）A 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列是等差数列，则的值为（ ）A. 15B. C. 10D. 3. 商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ）A. 6B. 12C. 60D. 1925. 函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 6. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占70%这两个厂的产品次品率分别为1%，2%，则从这批产品中任取一件，该产品是次品
2、的概率是（ ）A. 0.015B. 0.03C. 0.0002D. 0.0177. 已知数列满足，且对于任意正整数p，q都有成立，则值为（ ）A. 8B. 16C. 32D. 648. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. B. 数列有最大项C. 数列为递增数列D. 存在正整数，当时，9. 已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数，以下4个命题：函数为偶函数；函数在区间单调递减；函数存在两个零点；函数存在极大值和极小值正确命题的个数为（ ）A 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共100分）二、
3、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. ，则_12. 在由正数组成的等比数列中，若，则的值为_13. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差_14. 一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为_15. 数列为1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，前n项和为，且数列的构造规律如下：首先给出，接若复制前面为1的项，再添加1的后继数为2，于是，然后复制前面所有为1的项，1，1，再添加2的后继数为3，于是，接下
4、来再复制前面所有为1的项，1，1，1，1，再添加3的后继数为4，如此继续现有下列判断：； ； 其中所有正确结论的序号为_三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等比数列；（3）求数列的前n项和17. 已知函数在处切线l（1）求切线l的方程；（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；（3）经过点做的切线，共有_条（填空只需写出答案）18. 某市统计部门随机调查了50户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为6组：，绘制得到如图的频率分布直方图：（1）从该市随机抽
5、取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率；（2）从样本中月均用电量在内的居民中抽取2户，记抽取到的2户月均用电量落在内的个数为X，求X的分布列及数学期望19. 已知（1）求的单调区间；（2）若在区间上，函数的图象与直线总有交点，求实数a的取值范围20. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学
6、生对活动方案是否支持相互独立（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；（3）在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小（直接写结果）21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”（1）分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；（3）已知数列为等差数列，且，求证为“数列”北京市房山区2021年高二下期末检测数学试题一、选择
7、题共10小题，每小题5分，共50分.1. 已知函数，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】直接利用导数的定义求解即可.【详解】由题意，故选：A.2. 已知数列是等差数列，则的值为（ ）A. 15B. C. 10D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解，进而可得公差，即可求.【详解】，故可得：，所以公差，因此故选：D3. 商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由独立重复事件的概率公式求解即可【详解】因为3位顾客抽奖是相互独立的且中奖率为，所以3位顾客抽奖，
8、则恰有1位中奖的概率为，故选：C4. 已知，则的值为（ ）A. 6B. 12C. 60D. 192【答案】B【解析】【分析】写出展开式的通项，再令，求出，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，所以；故选：B5. 函数的单调递减区间为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，令，则，解得，所以函数的单调递减区间为.故选：C.6. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占70%这两个厂的产品次品率分别为1%，2%，则从这批产品中任取一件，该产品是次品的概率是
9、（ ）A. 0.015B. 0.03C. 0.0002D. 0.017【答案】D【解析】【分析】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i1，2，利用全概率公式P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)即得解【详解】设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i1，2，则B1B2，且B1，B2互斥，易知P(B1)0.3，P(B2)0.7， P(A|B1)0.01，P(A|B2)0.02，P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)0.010.30.020.70.017.故选：D7. 已知数列满足，且对于任意正整数p，q都
10、有成立，则的值为（ ）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】C【解析】【分析】令，结合，求出，再令，求出.【详解】令得：，因为，所以，令得：，解得：故选：C8. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. B. 数列有最大项C. 数列为递增数列D. 存在正整数，当时，【答案】D【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为，依题意可得，再根据等差数列通项公式及前项和公式一一判断即可；【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，则，因为为递增数列，所以，则，对于A：因为，又的符号无法确定，故A错误；对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，故B错误；对于C：
11、因为，所以，当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误；对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，即一定存在正整数，当时，若，显然存在正整数，当时，故D正确；故选：D9. 已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合函数图象，利用导数法判断.【详解】当时，则，故排除AB.当时，则，令，得或，当或时，当时，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故C错误；当时，则，令，得或，当或时，当时，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故D正确故选：D.10. 已知函数，以下4个命题：函数为偶函数；函数在区间单调递减；函数存在两
12、个零点；函数存在极大值和极小值正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据函数的表达式满足的关系可判断，根据基本初等函数的单调性即可判断的单调性，进而可判断，根据零点与方程根的关系可判断，根据极值点的判断可求解.【详解】由得，故为偶函数，对，当时，单调递减，故，令或，故对；当时，故在上单调递减，由于为偶函数，故在上单调递增，故没有极小值，故错误.故选：C第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. ，则_【答案】【解析】分析】先求导，再代入计算即可【详解】函数，则，则，故答案为：12. 在由正数组成的等比数列中，若，则
13、的值为_【答案】【解析】【分析】利用等比中项及等比数列下标和性质计算可得；【详解】解：因为，所以，即，所以；故答案为：13. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差_【答案】#【解析】【分析】由题意知，随机变量的可能取值为0，1，即可得到所对应的概率，再求出期望与方差；【详解】解：由题意知，随机变量可能取值为0，1；因为，所以，故答案为：14. 一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为_【答案】【解析】【分析】求
14、的可能取值与每个值所对应的概率即可求解【详解】的可能取值为，且，所以得分Y的均值，故答案为：15. 数列为1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，前n项和为，且数列的构造规律如下：首先给出，接若复制前面为1的项，再添加1的后继数为2，于是，然后复制前面所有为1的项，1，1，再添加2的后继数为3，于是，接下来再复制前面所有为1的项，1，1，1，1，再添加3的后继数为4，如此继续现有下列判断：； ； 其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得数列中，有，其余项都为1；据此依次分析选项，即可得答案【详解】根据题意，由数列的构造规律可得：，则有，其余项都为1；对于，当时，
15、则有，当时，则有错误；对于，前20项中，其余项为1，则，的值均为1，故正确；对于，当时，故，正确；对于，当时，当时，则在前2022项中，不是1的项有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，其余2012项都为1，则，正确；故答案为：三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）证明数列是等比数列；（3）求数列的前n项和【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式与求和公式求解即可；（2）由等比数列的定义证明即可；（3）由分组求和法求解即可【小问1详解】设等差数列的公
16、差为，由，.所以，解得，所以；【小问2详解】由（1）可知，所以，所以数列是首项为4，公比4的等比数列；【小问3详解】因为，所以17. 已知函数在处的切线l（1）求切线l的方程；（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；（3）经过点做的切线，共有_条（填空只需写出答案）【答案】（1）； （2）图象见解析； （3）3.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）利用函数解析式画图即可；（3）切点未知，设切点，求导数得斜率，表示切线方程，利用过点，得关于的一元三次方程，利用函数性质判断方程根的个数，从而得切线条数.【小问1详解】解：，切点纵坐标为，切线斜率为：故切线l的方程
17、为：；【小问2详解】解：如下图所示：【小问3详解】解：设切点坐标为，所以切线斜率为：所以 ，故切线方程为：又切线过点，所以，整理得：令，解得，又，且，故有三个根.此方程在实数上有三个不同的根，经过点做的切线有3条.故答案为：3.18. 某市统计部门随机调查了50户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为6组：，绘制得到如图的频率分布直方图：（1）从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率；（2）从样本中月均用电量在内的居民中抽取2户，记抽取到的2户月均用电量落在内的个数为X，求X的分布列及数学期望【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出样本均用电量在
18、以下的概率，再用样本估计总体即可；（2）先求出X的可能取值，再求出每个值的概率，即可求解【小问1详解】由样本可知：随机抽取一户，该户居民月均用电量在以下的概率，从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下概率为；【小问2详解】从样本中月均用电量在内的居有户，月均用电量在内的居有户，故样本中月均用电量在内的居民总共由9户，则 X的可能取值为，且，所以X的分布列为19. 已知（1）求的单调区间；（2）若在区间上，函数的图象与直线总有交点，求实数a的取值范围【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间
19、；（2）由（1）可得在上的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域，即可得解.【小问1详解】解：因为定义域为，所以，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】解：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，又，所以，因为函数的图象与直线总有交点，所以.20. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案
20、二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；（3）在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小（直接写结果）【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意可得的可能取值为、，求出所对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望；（3）依题意可得，根据方差的性质计算可得；【小问1详解】解：依题意支持方案二的学生中，男生
21、有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.【小问2详解】解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，则，则的可能取值为、，所以，所以的分布列为：所以.【小问3详解】解：依题意可得，所以，即.21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”（1）分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；（3）已知数列为等差数列，且，求证为“数列”【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析；【解析】【分析】（1）根据题中定义判断（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有
22、解（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解【小问1详解】数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，所以数列1，2，3，4，是“数列”；因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以数列2，6，8，12不是“数列”；【小问2详解】不是“数列”假设是“数列”，因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列综上可得不是“数列”【小问3详解】设等差数列的公差为，则，假设存在三项使得，成立，即，展开得，当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；所以中存在成等比数列所以，数列为“数列”