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北京市石景山区2021-2022学年高二下学期期末数学试卷(含答案解析)

1、2022年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分 1. 已知等差数列的通项公式为, 则它的公差是A. B. C. 2D. 52. 如果一个物体的运动方程为,其中的单位是千米,的单位是小时,那么物体在4小时末的瞬时速度是( )A. 12千米/小时B. 24千米/小时C. 48千米/小时D. 64千米/小时3. 一名老师和四名学生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法为A. 4种B. 12种C. 24种D. 120种4. 在的展开式中,含项的系数为( )A. 21B. 21C. 35D. 355. 已知曲线在处的切线方程是,则与分别为A. 5,B.

2、 ,5C. ,0D. 0,6. 从中任取个不同的数,事件“取到的个数之和为偶数”,事件“取到两个数均为偶数”,则A. B. C. D. 7. 下列命题错误的是( )A. 随机变量,若,则B. 线性回归直线一定经过样本点的中心C. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1D. 设,且,则8. 已知数列的前项和为,若,则( )A. 2B. C. D. 9. 已知函数有两个零点,则实数的取值范围为( )A B. C. D. 10. 等差数列的前项和为,前项积为,已知,则( )A 有最小值,有最小值B. 有最大值,有最大值C. 有最小值,有最大值D. 有最大值,有最小值第二部分(非选择

3、题 共60分)二、填空题共5小题,每小题4分,共20分11. 离散型随机变量的分布列如下表:012则_;_12. 在的展开式中,二项式系数之和为_;各项系数之和为_(用数字作答)13. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是_14. 在数列中,则_15. 若存在常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立或(和恒成立),则称此直线为和的“隔离直线”已知函数,有下列命题:直线为和的“隔离直线”若为和的“隔离直线”,则的范围为存在实数,使得和有且仅有唯一的“隔离直线”和之间一定存在“隔离直线”,且的最小值为其中所有正确命题的序号是_三、解答题共5小题,共40分解答应写出文字说明

4、、演算步骤或证明过程16. 已知数列是公比为2的等比数列,且成等差数列 (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前项和17. 某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响,假设这名射手射击3次(1)求恰有2次击中目标的概率;(2)现在对射手3次射击进行计分:每击中目标1次得1分,未击中目标得0分;若仅有2次连续击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分记为射手射击3次后的总得分,求的概率分布列与数学期望18. 已知函数,当时,取得极值(1)求,值;(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围19. 某单位共有员工45人,其中男员工27人,女员工18人上级部门为了对该单位

5、员工的工作业绩进行评估,采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少;(2)考核前,评估小组从抽取的5名员工中,随机选出3人进行访谈,设选出的3人中男员工人数为,求随机变量的分布列和数学期望;(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工笔试成绩分别为78,85,89,92,96;结合答辩情况,他们的考核成绩分别为95,88,102,106,99这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为,试比较与的大小(只需写出结论)20. 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)存在,当时,恒有,求实数的取值范围2022年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷一、选择题

6、共10小题,每小题4分,共40分 1. 已知等差数列的通项公式为, 则它的公差是A. B. C. 2D. 5【答案】B【解析】【分析】求得,由此求得公差.【详解】依题意,故公差为,故选B.【点睛】本小题主要考查利用等差数列通项公式求等差数列的公差,属于基础题.2. 如果一个物体的运动方程为,其中的单位是千米,的单位是小时,那么物体在4小时末的瞬时速度是( )A. 12千米/小时B. 24千米/小时C. 48千米/小时D. 64千米/小时【答案】C【解析】【分析】对v求导,代入t值即可.【详解】由,则当,故选:C.【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数的概念的问题,属于基础题.3. 一名老师和四名学

7、生站成一排照相,学生请老师站在正中间,则不同的站法为A. 4种B. 12种C. 24种D. 120种【答案】C【解析】【详解】一名老师和四名学生站成一排照相,老师站在正中间,则不同的站法为种,选C.4. 在的展开式中,含项的系数为( )A. 21B. 21C. 35D. 35【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项,再令求出,再代入计算可得;【详解】解:二项式展开式的通项为,令,解得,所以含项的系数为;故选:D5. 已知曲线在处的切线方程是,则与分别为A. 5,B. ,5C. ,0D. 0,【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得到f(5)等于直线的斜率1,由切点横坐标为5,

8、得到纵坐标即f(5)【详解】由题意得f(5)=5+5=0,f(5)=1故选D【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题6. 从中任取个不同的数,事件“取到的个数之和为偶数”,事件“取到两个数均为偶数”,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得和的值,然后利用条件概率计算公式,计算出所求的概率.【详解】依题意,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算,考查运算求解能力,属于基础题.7. 下列命题错误的是( )A. 随机变量,若,则B. 线性回归直线一定经过样本点的中心C. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1D. 设,且,则【答

9、案】D【解析】【分析】对A,根据二项分布的数学期望求解即可;对B,根据回归直线的性质判断即可;对C,根据相关系数的性质判断即可;对D,根据正态分布的对称性判断即可【详解】对A,随机变量,若,则,即,故A正确;对B,线性回归直线一定经过样本点的中心,故B正确;对C,两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1,故C正确;对D,设,且,则,故D错误;故选:D8. 已知数列的前项和为,若,则( )A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前项和公式求出数列通项,再利用裂项相消法即可得解.【详解】解:,所以.故选:C.9. 已知函数有两个零点,则实数的取值范围为( )

10、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令,转化为,设,利用导数求得函数单调性和最值,把函数的零点,转化为与的图像有两个交点,结合图像,即可求解.【详解】由题意,函数的定义域为,令,即,即,设,可得,当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增.又,作出简图,如图所示,要使得函数有两个零点,只需与图像有两个交点,所以,即实数的取值范围是.故选:A.10. 等差数列的前项和为,前项积为,已知,则( )A. 有最小值,有最小值B. 有最大值,有最大值C. 有最小值,有最大值D. 有最大值,有最小值【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得,进而求得,结合数列的有关性质确定正确选项.【详解】

11、依题意,由解得,所以等差数列的前项和满足:最小,无最大值.当时:,且为递减数列,故有最大值,没有最小值.故选:C第二部分(非选择题 共60分)二、填空题共5小题,每小题4分,共20分11. 离散型随机变量的分布列如下表:012则_;_【答案】 . . #0.5【解析】【分析】根据分布列的性质求出参数,再计算期望和方差.【详解】由分布列可知:,得;所以;.故答案为:;.12. 在的展开式中,二项式系数之和为_;各项系数之和为_(用数字作答)【答案】 16 . 256【解析】【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和;再用赋值法求各项系数之和.【详解】在的展开式中,二项式系数之和为;令,即各项

12、系数和为.故答案为:;.13. 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数,则应满足,即可求解【详解】,因为函数在上是单调函数,故只能满足在上恒成立,即,解得故答案为:14. 在数列中,则_【答案】2【解析】【分析】根据数列的递推公式,发现规律,即数列为周期数列,然后求出即可.【详解】由,可得,从而可得:,故数列是周期为3的数列,可得:故答案为:15. 若存在常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立或(和恒成立),则称此直线为和的“隔离直线”已知函数,有下列命题:直线为和的“隔离直线”若为和的“隔离直线”,则的范围为

13、存在实数,使得和有且仅有唯一的“隔离直线”和之间一定存在“隔离直线”,且的最小值为其中所有正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可【详解】对于,因为当时,所以直线为和的“隔离直线”,所以正确,对于,因为为和的“隔离直线”,所以恒成立,所以,所以,恒成立,所以恒成立,因为,当且仅当即时取等号,所以,综上,所以错误,对于,设,之间的隔离直线为,即,恒成立,所以,所以,因为(),所以()恒成立,当时,不合题意,当时,符合题意,当时,令,对称轴为,所以只需满足,所以且,所以,所以,同理可得,所以和之间一定存在“隔离直线”,且的最小值为, 和之间有无数条“隔离直线

14、”,且实数不唯一,所以错误,正确,故答案为:三、解答题共5小题,共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16. 已知数列是公比为2的等比数列,且成等差数列 (1)求数列的通项公式; (2)记,求数列的前项和【答案】(1);(2)【解析】【详解】(1)由题意可得,即,解得:,数列的通项公式为(2),=17. 某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响,假设这名射手射击3次(1)求恰有2次击中目标的概率;(2)现在对射手的3次射击进行计分:每击中目标1次得1分,未击中目标得0分;若仅有2次连续击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分记为射手射击3次后的总得分,求的概率分布

15、列与数学期望【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)先记“射手射击3次,恰有2次击中目标”为事件,根据题中条件,即可得出结果;(2)先由题意确定的可能取值,求出对应概率,进而可得出分布列,再由分布列求出期望即可.【详解】(1)记“射手射击3次,恰有2次击中目标”为事件,因为射手每次射击击中目标的概率是,所以;(2)由题意可得,可能取值为,;,;所以的分布列如下:因此,.【点睛】本题主要考查独立重复试验,以及离散型随机变量的分布列与期望,熟记概率计算公式,以及分布列与期望的概念即可,属于常考题型.18. 已知函数,当时,取得极值(1)求,的值;(2)若对于任意,不等式恒成立,求实数的取值范围

16、【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式组,求出a,b的值;(2)问题转化为f(x)m2m2对任意x0恒成立,求出f(x)的最小值,从而求出m的范围即可【小问1详解】由,当x=1时,f(x)的极值为3,解得:,经检验,符合题意.【小问2详解】f(x)+2m2m0对任意x0恒成立,即f(x)m2m2对任意x0恒成立,即由(1)知,由得x0或x1,由得0x1函数f(x)在(1,+)上单调递增,在(0,1)上单调递减所以当x=1,即,或,即的取值范围为.19. 某单位共有员工45人,其中男员工27人,女员工18人上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估,采用

17、按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少;(2)考核前,评估小组从抽取的5名员工中,随机选出3人进行访谈,设选出的3人中男员工人数为,求随机变量的分布列和数学期望;(3)考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78,85,89,92,96;结合答辩情况,他们的考核成绩分别为95,88,102,106,99这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为,试比较与的大小(只需写出结论)【答案】(1)男员工抽取3人,女员工抽取2人 (2)分布列见解析,数学期望为 (3)【解析】【分析】(1)求出男员工与女员工人数比,从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、

18、女员工的人数;(2)求出的可能取值及对应的概率,求出分布列,数学期望;(3)计算出这5名员工笔试成绩与考核成绩的平均值,进而求出,比较出大小.【小问1详解】男员工与女员工的人数比例为,所以抽取的5人中男员工的人数为人,女员工人数为人,【小问2详解】的可能取值为,所以的分布列为:123数学期望为【小问3详解】设这5名员工笔试成绩的平均数为,考核成绩的平均数为,所以,所以.20. 已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)存在,当时,恒有,求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)求出,求导,得到,利用点斜式求出切线方程;(2)结合第一问求解出为曲线在点的切线方程,从而先求解当时,构造,求导后得到函数单调性,求出,不合题意;再考虑时,因此不存在,不合要求;最后考虑时,存在,满足要求,求出答案.【小问1详解】定义域为,所以,故曲线在点处切线方程为:【小问2详解】当时,设,则因为,所以,所以在上单调递减,所以当时,所以当时,不合要求;当时,所以,因此不存在,不合要求;当时,设,则,令,即,解得:,所以当时,所以在上单调递增,取,所以当时,综上:实数的取值范围是【点睛】导函数求解参数的取值范围问题,一般需要构造函数来进行求解,本题中要抓住关键点,就是第一问提供的思路,首先考虑,进而在考虑其他情况,求出答案.