1、北京市大兴区2021-2022学年高二下学期期末检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 函数在处的导数等于（ ）A. B. C. 1D. 22. 已知离散型随机变量的期望，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下图给出是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是（ ）A. B. C. D. 4. 已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 由成对样本数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. 直线必过B. 直线至少经过中的一点C. 直线是由中的两点确定的D. 这n个点到直线的距离之和最小6.
2、通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好402060不爱好203050合计6050110已知，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（ ）A. 爱好跳绳与性别有关B. 爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C. 爱好跳绳与性别无关D. 爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017 化简等于（ ）A. B. C. D. 8. 从生物学知道，生男孩和生女孩概率基本相等，都可以近似认为是.如果某一家庭中先后生了两个小孩：当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率是（ ）A. B. C. D. 9. 在一副去掉大
3、小王的52张扑克牌中随机抽取1张，记M表示事件“取到红桃”，N表示事件“取到J”，有以下说法：M与N互斥；M与N相互独立；与N相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（ ）A. B. C. D. 10. 为响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示（为月末时间）.则该月内：甲厂污水排放量逐渐减少；乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确说法的序号是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数，则_.12. 抛掷一枚均匀
4、的骰子，记所得点数为，则_.13. 在一次射击训练中，对一目标靶进行3次独立重复射击，若击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率为_.14. 现要从甲、乙两位射击运动员中选择一人参加某一赛事，两位运动员以往射击环数数据如下：甲的环数89100.20.602乙环数89100.40.20.4如果从平均水平和发挥稳定性角度考虑，拟选择的人选是_；理由是_.15. 设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 将二项式展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项.17.
5、 某次抽奖活动共有50张奖券，其中5张写有“中奖”字样，抽完的奖券不再放回.若甲抽完之后乙再抽.（1）求在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；（2）证明：甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.18. 某校组织一次走进大自然活动，有10名同学参加，其中6名男生，4名女生，现要在这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本.（1）求抽取的人中恰有1名女生的概率；（2）设抽取的人中，女生有名，求的分布列和.19. 某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数113561
6、93318442121100经计算，样本均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.将直径小于等于或大于等于的零件认为是次品.（1）若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为，求的估计值；（2）记为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求的分布列（用表示），.20 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的最大值与最小值.21. 已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若，求关于的方程解的个数.北京市大兴区2021-2022学年高二下学期期末检测数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 函数在处的导数等于（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】对求导，将
7、1代入求值即可.【详解】由，故.故选：B2. 已知离散型随机变量的期望，则等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】直接利用期望的性质即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：C.3. 下图给出的是两个变量之间的散点图，则两个变量之间没有相关关系的可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据散点图可得答案.【详解】图中点散乱的分布在坐标平面内，不能拟合成某条曲线或直线，所以两个变量之间没有相关关系.故选：C.4. 已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由正态分布密度函数图像的性质，
8、观察图像可得结果.【详解】解：由正态分布密度函数图像的性质可知：越大，图像对称轴越靠近右侧；越大，图像越“矮胖”，越小，图像越“瘦高”.所以由图像可知：，.故选：A.5. 由成对样本数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. 直线必过B. 直线至少经过中的一点C. 直线是由中的两点确定的D. 这n个点到直线的距离之和最小【答案】A【解析】【分析】由求经验回归方程的方法最小二乘法可判断选项【详解】解：由最小二乘法公式可知，所以经验回归方程必过，故A正确最小二乘法求出的经验回归方程不一定经过点，故BC错误；最小二乘法保证的是竖直距离之和的绝对值最小，故D错误；故选：A6. 通过随机询问
9、某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好402060不爱好203050合计6050110已知，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的为（ ）A. 爱好跳绳与性别有关B. 爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C 爱好跳绳与性别无关D. 爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001【答案】D【解析】【分析】由列联表中正确读取的数值后，根据公式去计算，将所得结果与10.828进行比较即可解决.【详解】，故，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001故选：D7. 化简等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
10、】由二项式定理写出对应的二项式，即可得答案.【详解】由，所以.故选：B8. 从生物学知道，生男孩和生女孩概率基本相等，都可以近似认为是.如果某一家庭中先后生了两个小孩：当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用列举法求出基本事件的个数，和两个小孩中有男孩包含的基本事件的个数，再根据古典概型即可求出两个小孩中有男孩的概率【详解】解：某个家庭中先后生了两个小孩，已知两个小孩中有女孩，则基本事件有：女女，男女，女男，共三种情况，其中两个小孩中有男孩包含的基本事件有2个，两个小孩中有男孩的概率为故选：D.9. 在一副去掉大小王5
11、2张扑克牌中随机抽取1张，记M表示事件“取到红桃”，N表示事件“取到J”，有以下说法：M与N互斥；M与N相互独立；与N相互独立.则上述说法中正确说法的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案.【详解】解：因为M表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃”，N表示事件“取到J”， 包括“取到红桃”，所以事件可以同时发生，所以事件不是互斥事件，故错误；52张扑克牌中有13张红桃，4张，所以，事件表示“取到红桃”，有1张，事件表示“取到除了红桃的”，有3张，所以，所以M与N相互独立，与N相互独立，故正确.故选：D.10. 为响应国家
12、节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量W与时间t的关系图如图所示（为月末时间）.则该月内：甲厂污水排放量逐渐减少；乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多；乙厂总比甲厂的污水排放量减少得更快.其中正确说法的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图形逐一分析各个命题即可得出答案.【详解】解：由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故正确；乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故正确，在接近时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加快，故错误.故选：A.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数，则_.【答案】
13、【解析】【分析】利用复合函数的求导法则可求得.【详解】，因此，.故答案为：.12. 抛掷一枚均匀的骰子，记所得点数为，则_.【答案】#0.5【解析】【分析】分别求出点数的所有基本事件的个数和点数的基本事件的个数，再根据古典概型即可得解.【详解】解：点数为有共6种情况，其中点数有这3种情况，所以.故答案为：.13. 在一次射击训练中，对一目标靶进行3次独立重复射击，若击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率为_.【答案】#0.25【解析】【分析】设每次射击没有击中目标的概率为，根据相互独立事件的乘法公式求出对一目标靶进行3次独立重复射击，没有击中目标的概率，再结合题意，求出，即可得出答案.【详
14、解】解：设每次射击没有击中目标的概率为，则击中目标的概率为，因为对一目标靶进行3次独立重复射击，击中目标的概率为，所有没有击中目标的概率为，即，解得，所有每次射击击中目标的概率为.故答案为：.14. 现要从甲、乙两位射击运动员中选择一人参加某一赛事，两位运动员以往射击环数数据如下：甲的环数89100.20.60.2乙的环数89100.40.20.4如果从平均水平和发挥稳定性角度考虑，拟选择的人选是_；理由是_.【答案】 . 甲 . ，【解析】【分析】分别求出甲、乙两位射击运动员的均值与方差，根据两人的均值与方差即可得出结论.【详解】解：，因为，所以两位运动员的平均水平一样，因为，所以甲运动员发
15、挥更加稳定，所以拟选择的人选是甲.故答案为：甲；，.15. 设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】2 【解析】【分析】试题分析：如图，作出函数与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知是函数 的极小值点， 当时， ，由图象可知的最大值是 ；由图象知当时， 有最大值；只有当 时，无最大值，所以所求 的取值范围是【考点】分段函数求最值,数形结合【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求
16、自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程【详解】三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 将二项式展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64.（1）求的值；（2）求展开式中的常数项.【答案】（1）6 （2）【解析】【分析】（1）根据二项式系数之和为即可得解；（2）求出展开式的通项，令的指数等于，即可得解.【小问1详解】解：因为二项式展开式中各项的二项式系数之和为64，所以，解得；小问2详解】解：的展开式的
17、通项为，令，则，所以展开式中的常数项为.17. 某次抽奖活动共有50张奖券，其中5张写有“中奖”字样，抽完的奖券不再放回.若甲抽完之后乙再抽.（1）求在甲中奖的条件下，乙中奖的概率；（2）证明：甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）求出甲中奖的条件下，乙抽奖时，奖券的总数列及写有“中奖”字样奖券的张数，从而可得出答案；（2）分甲不中奖和甲中奖的条件下两种情况讨论，结合条件概率公式求出乙中奖的概率，从而可得出结论.【小问1详解】解：设事件为甲中奖，事件为乙中奖，因为抽完的奖券不再放回，所以甲中奖的条件下，乙抽奖时，有张奖券且4张写有“中奖”字样，所以在
18、甲中奖的条件下，乙中奖的概率；【小问2详解】证明：，乙中奖分两种情况，当甲不中奖时，乙抽奖时，有张奖券且5张写有“中奖”字样，则在甲不中奖的条件下，乙中奖的概率，所以甲不中奖且乙中奖的概率，在甲中奖的条件下，乙中奖的概率，所以甲中奖且乙中奖的概率，所以乙中奖的概率，所以甲中奖的概率与乙中奖的概率相等.18. 某校组织一次走进大自然活动，有10名同学参加，其中6名男生，4名女生，现要在这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本.（1）求抽取的人中恰有1名女生的概率；（2）设抽取的人中，女生有名，求的分布列和.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可，
19、（2）由题意可知的可能取值为0，1，2，3，然后分别求出相应的概率，从而可求得的分布列和.【小问1详解】记事件为“抽取的3 人中恰有1名女生”，则所以抽取的人中恰有1名女生的概率为【小问2详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，3，则,，所以的分布列为0123所以19. 某工厂引进新的设备M，为对其进行评估，从设备M生产的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.将直径小于等于或大于等于的零件认为是次品.（
20、1）若从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为，求的估计值；（2）记为从流水线上随机抽取的3个零件中次品数，求的分布列（用表示），.【答案】（1） （2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据样本均值和标准差计算出次品直径所在的范围，由表格找出次品数，利用古典概型的概率公式即可计算概率.（2）从流水线上抽取，则次品数服从二项分布，依据二项分布计算期望值和方差即可.【小问1详解】解：由条件可知：，所以样本中次品共6件，则从样本中随机抽取一件，该零件为次品的概率为.【小问2详解】从流水线上抽取次品，则每件产品为次品的概率为.则，的可能取值为， 0123 所以，.20. 已知函数.（1）求曲线在
21、点处的切线方程；（2）求的最大值与最小值.【答案】（1）； （2）最小值，最大值为.【解析】【分析】（1）对求导，进而求得、，即可写出处的切线方程；（2）利用导数研究的单调性并确定极值，结合区间上函数值的符号判断最值情况.【小问1详解】由题设，则，而，故处的切线方程，即.【小问2详解】由（1），令，则或，若，则或时，在上递减；若，则时，则上递增；所以极小值为，极大值为，而上，上，综上，的最小值为，最大值为.21. 已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若，求关于的方程解的个数.【答案】（1）答案见解析； （2）1.【解析】【分析】（1）对求导，讨论、研究的符号，进而确定单调区间；（2）由（1）结合零点存在性定理判断，上零点个数即可.【小问1详解】由题设，当时，或时，即上递增；时，即上递减；当时，恒成立，即在R上递增；当时，或时，即上递增；时，即上递减；综上，则递增区间为，递减区间为；则递增区间为R，无递减区间；则递增区间为，递减区间为.小问2详解】由（1）知：时在上递增，递减.而，故上恒成立，又，即在区间存在一个零点，综上，解的个数为1.