1、北京市朝阳区2022年高二期末质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）A. B. 2.45C. 3.45D. 54.555. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选
2、出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ）A. 75B. 150C. 300D. 6006. “”是“在上恒成立”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. 曲线在点处的切线斜率小于零B. 函数在区间上单调递增C. 函数在处取得极大值D. 函数在区间内至多有两个零点8. 为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女
3、生/人14721男生/人81119合计/人221840注：独立性检验中，常用的小概率值和相应的临界值如下表：0.10.050.010.0050.0012.706384166357.87910.828根据这些数据，给出下列四个结论：依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响其中，正确结论的序号是（
4、）A. B. C. D. 9. 若对任意都有成立，其中m，M为实数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 计算：_12. 在展开式中，的系数为_；各项系数之和为_（用数字作答）13. 在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为_14. 已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为32根据以往数
5、据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为_15. 设函数的定义域为R，且满足，当时，则_；当时，的取值范围为_16. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数函数是常用的激活函数之一，其解析式为关于函数的以下结论函数是增函数；函数是奇函数；对于任意实数a，函数至少有一个零点；曲线不存在与直线垂直的切线其中所有正确结论的序号是_三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. 某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规
6、定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望18. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成
7、6组：，并整理得到如下频率分布直方图：假设同组中每个数据用该组区间的右端点值代替（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会时长在的学生人数，求X的分布列和数学期望；（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：收看新闻或收看比赛集锦，收看比赛转播或到现场观看他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：日均收看北京冬奥会的时长/小时通过方式收看通过方式收看10日均收看北京冬奥会的时长在的学生通过方式收看的平均时长分别记为，写出的大小关系（结论不要求证明）20.
8、 已知函数（1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；（3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围21. 已知集合，其中，且若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P（1）判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；（2）若集合具有性质P求证：的最大值不小于；求n的最大值北京市朝阳区2022年高二期末质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】解：，故选：D.2. 已知
9、，则下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用不等式性质以及函数单调性，即可求解.【详解】解：对于A,在R上单调递增，所以,故A正确，对于B, 两边同乘一个负数b，故得, 故B错误，对于C, ，则可知，所以，故C错误对于D, ，则可知，故D错误，故选：A.3. 下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断，以及单调性即可求解.【详解】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，故选项A不正确；对于B: ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，故选项B不正确；对于C，为奇函数，且在区间上单调递
10、增，符合题意；故选项C正确；对于D，,为偶函数，不符合题意. 故选项D不正确；故选：C.4. 已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）A. B. 2.45C. 3.45D. 54.55【答案】B【解析】【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，根据残差定义计算.【详解】把代入，得，所以在样本点处的残差.故选：B.5. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组
11、值班，则不同的排班种数为（ ）A. 75B. 150C. 300D. 600【答案】C【解析】【分析】先分组，共有种分组方法，再分配到上午和下午，共有种分配方法.【详解】解：共有(种)，故选：C .6. “”是“在上恒成立”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.【详解】在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上恒成立，故在上单调递增，所以.因为，而推不出，所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.故选：A.7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结
12、论中正确的是（ ）A. 曲线在点处的切线斜率小于零B. 函数在区间上单调递增C. 函数在处取得极大值D. 函数在区间内至多有两个零点【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；故选：D8. 为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女生/人14721男生
13、/人81119合计/人221840注：独立性检验中，常用的小概率值和相应的临界值如下表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根据这些数据，给出下列四个结论：依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响其中，正确结论的序号是（ ）A. B. C
14、. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出男生和女生经常锻炼的频率即可依据频率稳定于概率的原理判断，求出卡方值，和3.841比较即可根据小概率值的独立性检验判断.【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故正确，错误；，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故正确，错误.故选：B.9. 若对任意都有成立，其中m，M为实数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解
15、析】【分析】令，利用导数求出在的最值即可求出.【详解】令，则，由可得或，由可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在取得极大值为，在取得极小值为，又，所以，因为对任意都有成立，所以，所以，即的最小值为.故选：D.10. 已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a范围.【详解】令作出的图象如图所示：等价于，表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个整数点与所在直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有
16、点满足，当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去，当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去，因为整数，故可取故选：B第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11. 计算：_【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】解：，故答案为：2.12. 在的展开式中，的系数为_；各项系数之和为_（用数字作答）【答案】 . . 【解析】【分析】由二项展开式通项可知当时，可得的系数；令即可得到各项系数和.【详解】展开式通项为：，令，解得：，展开式中，的系数为；令，则展开式各项系数之和为.故答案为：；.13. 在一组数据0，3，5，7，10中加
17、入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为_【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确)【解析】【分析】根据平均数，方差的计算公式计算即可.【详解】解：由题意得，原数据的平均数原数据的方差为新数据的平均数，解得,新数据的方差为，将代入得，解得：，所以，故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确)14. 已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为32根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不
18、需要维修的概率为_【答案】#【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可【详解】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B，则由题可知P(A)，P(B)，从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C，从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D，则由题可知P(C)，P(D)，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为：P(AC)P(BD)P(A)P(C)P(B)P(D)故答案为：15. 设函数的定义域为R，且满足，当时，则_；当时，的
19、取值范围为_【答案】 . . 【解析】【分析】由题意可得，求出可得的值，由已知条件可得的图象关于直线对称，的周期为8，所以，则当时，作出函数在的图象，结合图象可求出结果【详解】令，则，因为当时，所以，所以，因为，所以的图象关于直线对称，所以，因为，所以，所以，所以的周期为8，所以，即当时，由函数图象可知当时，所以，即，所以当时，的取值范围为，故答案为：，16. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数函数是常用的激活函数之一，其解析式为关于函数的以下结论函数是增函数；函数是奇函数；对于任意实数a，函数至少有一个零点；曲线不存在与直线垂直的切线其中所有正确结论的序号
20、是_【答案】【解析】【分析】求出函数定义域，利用奇偶性定义判断函数奇偶性；求导研究函数单调性；数形结合求解零点问题；通过研究导函数的值域判断曲线不存在与直线垂直的切线【详解】定义域为R，所以为奇函数，正确；恒成立，所以函数是增函数，正确；当时，恒成立，所以在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，此时无零点，错误；，且，所以，故曲线不存在与直线垂直的切线正确.故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17. 某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不
21、影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望【答案】（1） （2）X的分布列为：【解析】【分析】（1）根据对立事件以及相互独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据超几何分布即可求概率，进而可得分布列以及期望.【小问1详解】有题意可知：乙能答对一道题的概率为，若两人都不能答对的概率,则至少有1人能答对的概率为【小问2详解】的取值为,X的分布列为：18. 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间【答案】（1） （
22、2）单调递增区间为：，单调递减区间为：【解析】【分析】（1）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解，（2）根据导函数的正负即可确定的单调区间.【小问1详解】由得，故，所以切线方程为：【小问2详解】的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，故的单调递增区间为：，单调递减区间为：19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：假设同组中的每个数据用该组区间的右
23、端点值代替（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在的学生人数，求X的分布列和数学期望；（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：收看新闻或收看比赛集锦，收看比赛转播或到现场观看他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：日均收看北京冬奥会时长/小时通过方式收看通过方式收看10日均收看北京冬奥会的时长在的学生通过方式收看的平均时长分别记为，写出的大小关系（结论不要求证明）【答案】（1）1.875小时 （2）分布列见解析，数学期望为 （3）【解析】
24、【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）可得的可能取值且，求出取不同值的概率即可得出分布列，求出数学期望；（3）分别计出即可比较【小问1详解】根据题意，估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值为：小时；【小问2详解】由条件可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率估计为，的可能取值为，且，则，的分布列为：0123所以的数学期望；【小问3详解】小时，因为的人数之比为，所以小时，因为的人数之比为，所以小时，所以.20. 已知函数（1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；（3）若存在三个实数，满足，求实数a取
25、值范围【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）对函数求导，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（2）对函数二次求导后求得导数的单调性即可判断出结果；（3）若存在三个实数，满足，则函数存在3个单调区间，结合（1）中函数的单调性且时，利用单调性解得结果.【小问1详解】，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，得，得，即在递减，在递增，则，故.【小问2详解】当时，得，则递增，则时，时，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点.【小问3详解】，令，得，由（1）得，又在递减，在递增，则，且时， 当时，若存在三个实数，满足，故当有两
26、根使得，故或时，此时递增，时，此时递减，且时，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即.21. 已知集合，其中，且若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P（1）判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；（2）若集合具有性质P求证：的最大值不小于；求n的最大值【答案】（1）不具有性质, （2）证明见解析，n的最大值为10【解析】【分析】（1）根据性质满足的条件可验证，不符合要求即可判断，根据性质满足的要求即可写出集合;（2）根据，由累加法即可得最大项与最小项的关系；【小问1详解】因为，故该集合不符合性质;符合性质的集合【小问2详解】，不放设，则，故，故的最大值不小于；要使最大，不妨设，则，又,所以，所以，所以，又，当且仅当时等号成立，当或6时，所以，当时，符合题意，所以最大值为10.