1、北京市丰台区2021-2022学年高二下期末数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数是（ ）A. B. 12C. D. 63. 设是数列的前n项和，若，则（ ）A. -21B. 11C. 27D. 354. 经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是（ ）A. y与x负相关B. 胸径为20cm的树，其高度一定为20mC. 经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1
2、cm，估计其高度增加0.25mD. 样本数据中至少有一对满足经验回归方程5. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）A. 10.9B. -10.9C. 5D. -56. 同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（ ）A. B. C. D. 7. 甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 8. “”是“
3、函数在处有极小值”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（ ）A. 24B. 36C. 48D. 7210. 已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（ ）A. 23B. 24C. 25D. 26第二部分（非选择题 共110分）二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了
4、问卷调查，得到如下的22列联表：经常打篮球不经常打篮球合计男生420女生820合计40则_，_12. 由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有_个.（用数字作答）13. 函数在处的瞬时变化率为_.14. 数列的通项公式为，若，则p的一个取值为_.15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论： 当时，； 在区间上单调递减； 在区间上存在极小值； 在区间上存在极小值.其中所有正确结论的序号是_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说
5、明，演算步骤或证明过程.16. 某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为. 已知该同学一周有3天骑车上学.（1）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；（2）记该同学在这3天上学途中遇到红灯天数为，求的分布列及数学期望.17. 已知等差数列的前项和为，请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和条件：；条件：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18. 已知函数，.（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）求的单调区间19. 一兴趣小组为了解种的使用情况，在某社区随机抽取
6、了人进行调查，得到使用这种的人数及每种的满意率，调查数据如下表：第种第种第种第种第种使用人数满意率（1）从这人中随机抽取人，求此人使用第种的概率；（2）根据调查数据，将使用人数超过的称为“优秀”.该兴趣小组从这种中随机选取种，记其中“优秀”的个数为，求的分布列及数学期望；（3）假设每种被社区居民评价为满意的概率与表格中该种的满意率相等， 用“”表示居民对第种满意，“”表示居民对第种不满意.写出方差、的大小关系.（只需写出结论）20. 已知函数.（1）当时，求曲线点处切线方程；（2）求证：当时，函数存在极值；（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.21. 已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1
7、阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.（1）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；（2）若数列首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；（3）若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.北京市丰台区2021-2022学年高二下期末数学试题一选择题共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接求导可得.【详解】因为，所以故选：D2. 的展开式中的系数是（ ）A. B. 12C. D. 6【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理求展开式的通项即可求解
8、.【详解】的展开式的通项为： ，令，所以的系数是：故选：C.3. 设是数列的前n项和，若，则（ ）A. -21B. 11C. 27D. 35【答案】B【解析】【分析】根据与的关系即可求解.【详解】由得，所以,故选：B4. 经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是（ ）A. y与x负相关B. 胸径为20cm的树，其高度一定为20mC. 经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm，估计其高度增加0.25mD. 样本数据中至少有一对满足经验回
9、归方程【答案】C【解析】【分析】根据经验回归方程为可判断ABC，由回归直线方程的意义可判断D.【详解】因为，故y与x正相关，故A错误；当时，由可得，故树高大约为20 m，故B错误；由知，当增加1cm时，估计其高度增加025m，故C正确；样本数据中不一定有一对满足经验回归方程，故D错误.故选：C5. 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）A. 10.9B. -10.9C. 5D. -5【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解【详解】解：因为，所
10、以，令，得瞬时速度为故选：D.6. 同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件概率公式，即可求解.【详解】事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，所以.故选：B7. 甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不
11、相同的事件数为故所求概率为故选：A8. “”是“函数在处有极小值”（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意，求出，再判断充要条件即可求解【详解】因为，且函数在处有极小值，所以，解得，经检验，当时，函数在处有极小值，符合题意.所以，故“”是“函数在处有极小值”的充分必要条件，故选：C9. 某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（ ）A. 24B. 36C. 48D. 72【答
12、案】A【解析】【分析】分2种情况讨论：甲和乙丙中1人在A小区，甲和其他三人中的1人在A小区，分别求出每种情况下的安排方法数目，由加法原理计算可得答案【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：甲和乙丙中1人在A小区，此时A小区的安排方法有种，B小区的选法有种，则此时有种安排分法，甲和其他三人中的1人在A小区，则乙丙两人分别在B，C小区，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个小区，有种安排方法，则此时有种安排方法；故有种安排方法；故选：A10. 已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（ ）A. 23B. 24C. 25D. 26【答案】B【解析】【分析】由已知可得到取不大于最大正整数，
13、分别求出的值，求和即可得解.【详解】已知是不大于的正整数，即，且求满足的正整数m的最小值，即取不大于的最大正整数，可知，且，且，且，且故正整数m的最小值为24故选：B第二部分（非选择题 共110分）二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的22列联表：经常打篮球不经常打篮球合计男生420女生820合计40则_，_.【答案】 . 16 . 16【解析】【分析】完善列联表，即可得解；【详解】解：依题意可得列联表如下：经常打篮球不经常打篮球合计男生420女生820合计40故；故答案为：；12. 由两个“
14、1”和两个“2”组成的不同的四位数有_个.（用数字作答）【答案】6【解析】【分析】利用列举法求解【详解】当首位为1时，有1122，1212，1221，有3个当首位为2时，有2211，2121，2112，有3 个，所以由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有6个，故答案为：613. 函数在处的瞬时变化率为_.【答案】1【解析】【分析】先对函数求导，再利用导数的意义将代入导函数中可求得结果【详解】因为函数的图象上各点的瞬时变化率为，所以函数在处的瞬时变化率为，故答案为：114. 数列的通项公式为，若，则p的一个取值为_.【答案】（答案不唯一，只要满足“”即可）【解析】【分析】依题意可得，即可得
15、到，从而求出的取值范围，本题属于开放性问题，只需填写合适的值即可；【详解】解：因为，且，即，所以，因为，所以当时，所以；故答案为：（答案不唯一，只要满足“”即可）15. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论： 当时，； 在区间上单调递减； 在区间上存在极小值； 在区间上存在极小值.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据函数在某点处的几何意义可逐一判断.【详解】由图可知：当时，故，故正确；,当时，由图象可知，在处的切线斜率
16、大于在处的切线斜率，故，因此 在区间上单调递增， 错；根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，正确；，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故正确.故答案为：三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为. 已知该同学一周有3天骑车上学.（1）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；（2）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为，求的分
17、布列及数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率公式即可求解；（2）首先得到随机变量的取值，再分别写出概率，再利用期望公式即可求解.【小问1详解】记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A， 则，所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为.【小问2详解】的所有可能取值为：0，1，2，3.， ， ， 的分布列为0123数学期望17. 已知等差数列的前项和为，请从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和条件：；条件：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
18、【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）选择条件：由等差通项公式列出方程，得出数列的通项公式；选择条件：由等差求和公式列出方程，得出得出数列的通项公式；（2）由，结合等比求和公式得出数列的前项和【小问1详解】选择条件：设公差为，因为，所以解得，所以.选择条件：设公差为，因为，所以解得，所以.【小问2详解】因为，所以所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以18. 已知函数，.（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）求的单调区间【答案】（1）最大值为3，最小值为0 （2）答案见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导
19、函数的零点为，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】解：（1）当时，令得，或. 当在区间上变化时，的变化情况如下表(1，2)2(2，3)-0+单调递减0单调递增因为，所以在区间上最大值为3，最小值为0.【小问2详解】（2），令得，或， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，随着的变化，的变化情况如下表 a+0-0+单调递增单调递减0单调递增所以的单调递增区间为，；的单调递减区间为.当时，随着的变化，的变化情况如下表a)+0-0+单调递增0单调递减单调递增所以的单调递增区间为(-， a)，(，+)；的单调递减区间为(a，).综上所述：当时，所
20、以的的单调递增区间为，无单调递减区间.当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.19. 一兴趣小组为了解种的使用情况，在某社区随机抽取了人进行调查，得到使用这种的人数及每种的满意率，调查数据如下表：第种第种第种第种第种使用的人数满意率（1）从这人中随机抽取人，求此人使用第种的概率；（2）根据调查数据，将使用人数超过的称为“优秀”.该兴趣小组从这种中随机选取种，记其中“优秀”的个数为，求的分布列及数学期望；（3）假设每种被社区居民评价为满意的概率与表格中该种的满意率相等， 用“”表示居民对第种满意，“”表示居民对第种不满意.写出方差、的大小关系.（只
21、需写出结论）【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量的所有可能取值为、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可计算得出的值；（3）根据两点分布的方差公式可得出、的大小关系.【小问1详解】解：记“这人中随机抽取人，此人选择第种”为事件， 由表中数据可得：人中有人选择使用了第种，所以，. 因此，从这人中随机抽取人，此人选择第种的概率为.【小问2详解】解：样本数据中有种 ，其中“优秀”有种，的所有可能取值为、， 所以，随机变量的分布列为数学期望.【小问3详解】解：由题意可知，则
22、服从两点分布，所以，因此，20. 已知函数.（1）当时，求曲线点处的切线方程；（2）求证：当时，函数存在极值；（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）求导，再根据导数的符号，结合函数极值点的定义即可得出答案；（3）求导，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，从而求得函数的最值，从而可得出答案.【小问1详解】解：当时，因为， 所以曲线在处的切线方程为， 即；小问2详解】证明：，当时，由得，随着的变化，的变化情况如下表：0单调递减 单调递增所以存在极小值，且极小值为；【小问3详解】解：，当
23、时，因为，所以， 在区间上单调递减，且，因为在区间上有零点，所以， 解得 ，所以；当时， 因为在区间上有零点，由（1）可知， ，因为函数是增函数，所以函数是增函数，又， 所以，综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间及极值，考查了利用导数解决函数的零点问题，考查了分类讨论思想.21. 已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.（1）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；（2）若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；（3）若数列的通项公式为
24、，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.【答案】（1） （2） （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据差数列的定义直接求解可得；（2）使用累加法可得；（3）先计算，时的m阶差数列，然后使用数学归纳法可证.【小问1详解】因为，所以， ；【小问2详解】因为，且，所以，所以，把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，于是，又因为，所以.【小问3详解】数列的阶差数列的通项公式为.理由如下：当时，其1阶差数列的通过项公式，阶差数列各项均为0.当时，其1阶差数列的通过项公式，2阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为0.假设时，的i阶差数列为常数，阶差数列各项均为0.当时，的1阶差数列为因为的阶差数列就是的阶差数列，由假设知的k阶差数列各项均为常数.因为的1阶差数列为，所以的1阶差数列为的1阶差数列与的1阶差数列的和，进而有的k阶差数列为的k阶差数列与的k阶差数列的和.所以，数列的阶差数列的通项公式为.