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江苏省常州市八校2021年高一上学期12月联考数学试卷(含答案解析)

1、2021-2022学年第一学期八校高一年级联合调研数学试卷一单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知集合,则( )A B. C. D. 2. 是的( )条件.A. 充要条件B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要3. 若,则角的终边在( )A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 5. 若函数则( )A. B. 2C. D. -26. 的增区间为A. B. C. D. 7. 若函数是定义在上的偶函数,在上是增函数,且,则使得的的取值范围是( )A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为,

2、且为奇函数,当时,则的所有根之和等于A. 4B. 5C. 6D. 12二多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. (多选)下列计算正确的是( )A. B. C. D. 10. 若正实数a,b满足,则下列说法错误的是( )A. 有最小值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值11. 下列说法正确的是( )A. 若幂函数的图象经过点,则解析式为B. 若函数,则在区间上单调递减C. 幂函数()始终经过点和D. 若函数,则对于任意的,有12. 若函数同时满足:对于定义域上的任意,恒有;对于定义

3、城上的任意,当时,恒有,则称函数为“理想函数”下列四个函数中,能被称为“理想函数”的有( )A. B. C. D. 三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数定义域为_.14. 已知扇形的半径为,圆心角为,则扇形的面积为_.15. 已知,则的最小值为_.16. 设函数,若有不相等实数、满足,则的取值范围是_.四解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 记函数定义域为集合,函数的值域为.求:(1),;(2),.18. 已知函数是定义在上的偶函数,当时,.(1)当时,求函数的解析式;(2)用定义证明函数在区间上是单调增函数.19. 已知函数.(1

4、)若时,求满足的实数的值;(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.20. 某种出口产品的关税税率为,市场价格(单位:千元)与市场供应量(单位:万件)之间近似满足关系式:,其中均为常数.当关税税率时,若市场价格为千元,则市场供应量约为万件;若市场价格为千元,则市场供应量约为万件.(1)试确定的值.(2)市场需求量(单位:万件)与市场价格(单位:千元)近似满足关系式:,当时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过千元时,试确定关税税率的最大值.21. 已知函数f(x)log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;(3)若函数

5、f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围22. 已知函数, .(1)证明:为偶函数;(2)若函数的图象与直线没有公共点,求 a的取值范围;(3)若函数,是否存在 m,使最小值为0.若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.2021-2022学年第一学期八校高一年级联合调研数学试卷一单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算,即可求得答案.【详解】由集合,得:,故选:B2. 是的( )条件.A. 充要条件B. 充分不必要C 必要不充分D. 既不充分也不必要【答案】C【解析

6、】【分析】举特例可说明,推不出,但成立时,一定有成立,由此可判断答案.【详解】取 ,满足,但推不出,反之,成立时,一定有成立,故是的必要不充分条件,故选:C3. 若,则角的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】判断所处的范围,即可得答案.【详解】由于,故角的终边在第一象限,故选:A4. 已知,则,的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据幂函数的性质得到,根据对数函数的性质得到,从而得到答案.【详解】,故选:B5. 若函数则( )A. B. 2C. D. -2【答案】C【解析】【分析】直接代入数据计算得到

7、答案.【详解】,.故选:.【点睛】本题考查了分段函数值的计算,意在考查学生的计算能力.6. 的增区间为A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求解定义域,然后结合二次函数的对称轴判断增区间.【详解】因为,所以;又因为的对称轴为:,且,所以增区间为,故选D.【点睛】本题考查复合函数的单调性,难度一般.对于复合函数的单调性问题,在利用“同增异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题.7. 若函数是定义在上的偶函数,在上是增函数,且,则使得的的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数在区间和上的单调性,由偶函数的性质得出,分和,解不等式组和,即可得出的取

8、值范围.【详解】因为函数是定义在上的偶函数,在上是增函数,且,所以.当时,若,可得,则,可得;若,可得,则,可得;当时,若,可得,则,可得;若,可得,则,可得.综上所述,的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查函数的性质及不等式的解法,考查化归与转化的数学思想,属于中等题.8. 已知函数的定义域为,且为奇函数,当时,则的所有根之和等于A. 4B. 5C. 6D. 12【答案】A【解析】【分析】由题可知函数的图像关于对称,求出时函数的解析式,然后由韦达定理求解【详解】因为奇函数,所以图像关于对称,所以函数的图像关于对称,即 当时,所以当时,当时,可得 当时,可得 所以的所有根之和为 故选A【点睛

9、】本题考查函数的奇偶性以及求函数的解析式,解题的关键是得出函数的图像关于对称,属于一般题二多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9. (多选)下列计算正确的是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据根式运算法则、根式与分数指数幂的运算、指数运算和对数运算法则依次判断各个选项可求得结果.【详解】,错误;,正确;,正确;,正确.故选【点睛】本题考查根式、指数幂运算、对数运算法则的应用,属于基础题.10. 若正实数a,b满足,则下列说法错误的是( )A. 有最小值B. 有最

10、小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】ABD【解析】【分析】根据,得到,求出,由此求出,从而可得答案.【详解】因为正实数a,b满足,所以,所以,故无最小值,A错误;,故,即无最小值,故B错误;,故有最小值4,C说法正确;,所以有最小值,故D错误,故选:ABD.【点睛】本题考查了判断命题的真假,考查了函数的最值,考查了二次函数求值域,属于基础题.11. 下列说法正确的是( )A. 若幂函数的图象经过点,则解析式为B. 若函数,则在区间上单调递减C. 幂函数()始终经过点和D. 若函数,则对于任意的,有【答案】CD【解析】【分析】根据幂函数的解析式,单调性依次判断每个选项得到答案.【详解】若幂

11、函数的图象经过点,则解析式为,故错误;函数是偶函数且在上单调递减,故在单调递增,错误;幂函数()始终经过点和,正确;任意的,要证,即,即,即,易知成立,故正确;故选:.【点睛】本题考查了幂函数,意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.12. 若函数同时满足:对于定义域上的任意,恒有;对于定义城上的任意,当时,恒有,则称函数为“理想函数”下列四个函数中,能被称为“理想函数”的有( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】满足,是奇函数,满足,在定义域内是减函数,问题转化为判断以下函数是否满足这两个性质.【详解】对于对于定义域内的任意,恒有,即,所以是奇函数; 对于对于定义域内的任意

12、,当时,恒有,在定义域内是减函数;对于A:,故不是奇函数,所以不是“理想函数”;对于 B:是奇函数,且是减函数,所以是“理想函数”;对于C:是奇函数,并且在R上是减函数,所以是“理想函数”;对于D:,所以是奇函数;根据二次函数的单调性,在,都是减函数,且在处连续,所以在上减函数,所以是“理想函数”.故选:BCD.【点睛】本题以新定义为背景,考查函数性质的判定,对于常用函数的单调性和奇偶性要熟练掌握,判定时可以对函数解析进行化简,以减少计算量.三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式,列出函数有意义时满足的不等式,求得答案.

13、【详解】函数需满足 ,解得 且 ,故函数的定义域为,故答案为:14. 已知扇形的半径为,圆心角为,则扇形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据扇形的面积公式 ,直接求得答案.【详解】扇形的半径为,圆心角为,故扇形的面积(),故答案为:15. 已知,则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质得到,利用基本不等式求出的最小值.【详解】因为对数有意义,所以x0,y0.由,可得:,即,当等号成立解得:(舍去).所以的最小值为4.故答案为:4.16. 设函数,若有不相等的实数、满足,则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象,设,令,求得的取值范围,可得出关于的表达式,进

14、而可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示:当时,则,此时,.设,令,由图象可知,由,可得;由,可得;由,可得,.因此,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的零点求代数式的取值范围,考查数形结合思想的应用,属于中等题.四解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 记函数的定义域为集合,函数的值域为.求:(1),;(2),.【答案】(1), (2),【解析】【分析】(1)根据函数的解析式结合对数函数的性质,可求得集合 ,利用指数函数的单调性,可求得集合;(2)根据集合的交集以及并集运算,可求得答案.【小问1详解】由函数可得 ,即 ,故,由函数 可得

15、,即;【小问2详解】由(1)可知:,.18. 已知函数是定义在上的偶函数,当时,.(1)当时,求函数的解析式;(2)用定义证明函数在区间上是单调增函数.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)设时,则,然后根据已知解析式和偶函数的性质可求出结果,(2)在上任取,且,然后作差比较的大小即可得结论【小问1详解】设时,则,由题意得:,又因为是上的偶函数,所以,得【小问2详解】证明:在上任取,且,则,所以,所以,所以函数在区间上是单调增函数.19. 已知函数.(1)若时,求满足的实数的值;(2)若存在,使成立,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由已知,令,则,

16、解得或(舍),再回代解方程即可;(2)将原问题转化为存在,使得,只需求出函数的最小值即可,再利用换元法求的最小值.【小问1详解】由题意可得令,则解得或(舍去)此时:【小问2详解】由,得令,由得令,可得在上单调递增,可得所以综上:的取值范围为20. 某种出口产品的关税税率为,市场价格(单位:千元)与市场供应量(单位:万件)之间近似满足关系式:,其中均为常数.当关税税率时,若市场价格为千元,则市场供应量约为万件;若市场价格为千元,则市场供应量约为万件.(1)试确定的值.(2)市场需求量(单位:万件)与市场价格(单位:千元)近似满足关系式:,当时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过千元时

17、,试确定关税税率的最大值.【答案】(1),;(2).【解析】【分析】(1)将关税税率,市场价格代入中,列出关于与的方程组求解;(2)利用,将表示成关于的函数,然后确定的最大值.【详解】(1)由已知得:,得解得,.(2)当时,所以,则.设,则在上单调递减,所以当时,有最小值,故当时,关税税率的最大值为.【点睛】本题考查函数的实际应用问题,考查学生分析问题、处理问题的能力,数学建模的能力,难度一般.解答时,要灵活运用题目所给条件,建立函数模型然后求解.21. 已知函数f(x)log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;(3)若函数

18、f(x)在区间0,1上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围【答案】(1)a0;(2)a0;(3)0恒成立,即a恒成立,由于(,0),故只要a0即可(3)由已知,得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间0,1上的最大值是f(0)log2(1a),最小值是f(1)log2.由题设,得log2(1a)log22,解得a.【点睛】本题考查对数函数的性质,掌握对数型复合函数的奇偶性、单调性的研究方法是解题关键22. 已知函数, .(1)证明:为偶函数;(2)若函数的图象与直线没有公共点,求 a的取值范围;(3)若函数,是否存在 m,使最小值为0.若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,.【解析】【分析】(1)证明函数的奇偶性,用定义证明;(2)根据函数的图象与直线没有公共点,用分离参数法;(3)复合函数问题,用换元法,令,讨论即可.【详解】解:(1)证明:因为,又,即,所以为偶函数.(2)原题意等价于方程无解,即方程无解.令,因为,显然,于是,即函数的值域是.因此当时满足题意.所以a的取值范围是.(3)由题意,.令,则.则,.当时,解得;当时,解得(舍去);当时,解得(舍去)综上,存在,使得最小值为0.【点睛】方法点睛:(1)对函数奇偶性的证明用定义:或;(2)分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.